文档文本内容
八年级（上）期末数学试卷
一．选择题（本大题共6 题，每题2 分，满分12 分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选
项是正确的】
1．下列各式中与
是同类二次根式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是斜边AB 上的中线，那么下列结论错误的是（
）
A．∠A+∠DCB=90°
B．∠ADC=2∠B
C．AB=2CD
D．BC=CD
3．如图，点P 在反比例函数y=
（x＞0）第一象限的图象上，PQ 垂直x 轴，垂足为Q，设
△POQ 的面积是s，那么s 与k 之间的数量关系是（ ）
A．
B．
C．s=k
D．不能确定
4．如果y 关于x 的函数y=（k2+1）x 是正比例函数，那么k 的取值范围是（ ）
A．k≠0
B．k≠±1
C．一切实数
D．不能确定
5．如果关于x 的一元二次方程（a
c
﹣）x2
2bx
﹣
+（a+c）=0 有两个相等的实数根，其中a、b、c 是
△ABC 的三边长，那么△ABC 的形状是（ ）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
6．下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．在一个三角形中，等边对等角
C．全等三角形三条对应边相等
D．全等三角形三个对应角相等
二．填空题（本大题共12 题，每题2 分，满分24 分）
7．计算：
= ．
8．函数
的定义域是 ．
9．在实数范围内因式分解：x2
3x
﹣
+1= ．
10．如果f（x）=
，那么f（2）= ．
11．已知变量x 和变量x
2
﹣，那么x
2
﹣是不是x 的函数？你的结论是： （填“是”或
“不是”）．
12．如果反比例函数y= （k≠0）的图象在每个象限内，y 随着x 的增大而减小，那么请你写
出一个满足条件的反比例函数解析式 （只需写一个）．
13．在Rt△ABC 和Rt△DEF 中，∠C=∠F=90°，∠D=30°，AB=DE，EF=BC，如果EF=
，那
么AC 的长是 ．
14．已知关于x 的方程x2+mx
6=0
﹣
的一个根为2，那么它的另一个根是 ．
15．如果点A（3，m）在正比例函数
图象上，那么点A 和坐标原点的距离是 ．
16．某产品原价每件价格为200 元，经过两次降价，且每次降价的百分率相同，现在每件售价
为162 元，那么每次降价的百分率是 ．
17．在一个角的内部（不包括顶点）且到角的两边距离相等的点的轨迹是
．
18．在△ABC 中，AB=AC，MN 垂直平分AB 分别交AB、BC 于M、N．如果△ACN 是等腰三
角形，那么∠B 的大小是 ．
三、简答题（本大题共4 题，每题5 分，满分20 分）
19．先化简再计算：
（其中ab=9）．
20．解方程：（2x
3
﹣）2=x（x
5
﹣）+6．
21．如图，已知线段a，b，求作：△ABC，使AB=AC=a，BC=b．
22．如图，正比例函数y=kx（k≠0）与反比例函数y=﹣
的图象交于点A（﹣1，m）和点B．求
点B 的坐标．
四、（本大题共3 题，第23、24 题每题7 分，第25 题8 分，满分22 分）
23．如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6，AB=10，DE 垂直平分AB，分别交AB、BC 于点
D、E．求CE 的长．
24．某商店从厂家以每件21 元的价格购进一批商品，该店可以自行定价，若每件商品售价为
a 元，则可以卖出（350
10a
﹣
）件；但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%，如果商店
计划要赚400 元，那么每件商品售价是多少元？
25．如图，AD∥BC，∠A=90°，AB=BC，点E 是AB 的中点，BD=CE．
（1）求证：BD⊥CE；
（2）联结CD、DE，试判断△DCE 的形状，并证明你的结论．
五、（本大题共2 题，第26 题10 分，第27 题12 分，满分22 分）
26．如图，点B（2，n）是直线y=k1x（k1≠0）上的点，如果直线y=k1x（k1≠0）平分∠yOx，
BA⊥x 轴于A，BC⊥y 轴于C．
（1）求k1的值；
（2）如果反比例函数y=
（k2≠0）的图象与BC、BA 分别交于点D、E，求证：OD=OE；
（3）在（2）的条件下，如果四边形BDOE 的面积是△ABO 面积的
，求反比例函数的解析式．
27．如图1，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是斜边AB 上的中线，BC=
CD．
（1）求∠DCB 的大小；
（2）如图2，点F 是边BC 上一点，将△ABF 沿AF 所在直线翻折，点B 的对应点是点H，直线
HF⊥AB，垂足为G，如果AB=2，求BF 的长；
（3）如图3，点E 是△ACD 内一点，且∠AEC=150°，联结DE，请判断线段DE、AE、CE 能否构
成直角三角形？如果能，请证明；如果不能，请说明理由．
八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共6 题，每题2 分，满分12 分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选
项是正确的】
1．下列各式中与
是同类二次根式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】同类二次根式．
【分析】先化简二次根式，再根据同类二次根式的定义判定即可．
【解答】解：A、
与
不是同类二次根式，
B、
=3 与
不是同类二次根式，
C、
=2
与
是同类二次根式，
D、
=3
与
不是同类二次根式，
故选C．
【点评】本题考查了同类二次根式，解题的关键是二次根式的化简．
2．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是斜边AB 上的中线，那么下列结论错误的是（
）
A．∠A+∠DCB=90°
B．∠ADC=2∠B
C．AB=2CD
D．BC=CD
【考点】直角三角形斜边上的中线．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出CD=AD=BD，根据等边对等角得出
∠DCB=∠B，再逐个判断即可．
【解答】解：A、∵在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是斜边AB 上的中线，
∴CD=AD=BD=
AB，
∴∠DCB=∠B，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠A+∠DCB=90°，故本选项错误；
B、∵∠DCB=∠B，∠ADC=∠B+∠DCB，
∴∠ADC=2∠B，故本选项错误；
C、∵在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是斜边AB 上的中线，
∴AB=2CD，故本选项错误；
D、根据已知不能推出BC=CD，故本选项正确；
故选D．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形性质的应用，能熟记直角三角
形斜边上的中线等于斜边的一半是解此题的关键．
3．如图，点P 在反比例函数y=
（x＞0）第一象限的图象上，PQ 垂直x 轴，垂足为Q，设
△POQ 的面积是s，那么s 与k 之间的数量关系是（ ）
A．
B．
C．s=k
D．不能确定
【考点】反比例函数系数k 的几何意义．
【分析】根据点P 在反比例函数图象上结合反比例函数系数k 的几何意义就可以求出s 与k
之间的数量关系．
【解答】解：∵点P 是反比例函数y=
图象上一点，且PQ⊥x 轴于点Q，
∴S△POQ=
|k|=s，
解得：|k|=2s．
∵反比例函数在第一象限有图象，
∴k=2s．即s=
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数的性质以及反比例函数系数k 的几何意义，解题的关键是根
据反比例函数系数k 的几何意义找出△POQ 面积s 与k 的关系．
4．如果y 关于x 的函数y=（k2+1）x 是正比例函数，那么k 的取值范围是（ ）
A．k≠0
B．k≠±1
C．一切实数
D．不能确定
【考点】正比例函数的定义．
【分析】根据正比例函数的定义，列出方程求解即可．
【解答】解：∵函数y=（k2+1）x 是正比例函数，
∴k2+1≠0，
∴k 取全体实数，
故选C．
【点评】本题考查了正比例函数的定义，掌握正比例函数的定义：形如y=kx（k≠0）的形式，叫
正比例函数．
5．如果关于x 的一元二次方程（a
c
﹣）x2
2bx
﹣
+（a+c）=0 有两个相等的实数根，其中a、b、c 是
△ABC 的三边长，那么△ABC 的形状是（ ）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
【考点】根的判别式．
【分析】由方程有两个相等的实数根以及该方程为一元二次方程，结合根的判别式即可得出
关于a、b、c 的方程组，解方程组即可得出a2=b2+c2，由此即可得出结论．
【解答】解：∵关于x 的一元二次方程（a
c
﹣）x2
2bx
﹣
+（a+c）=0 有两个相等的实数根，
∴
，即
，
解得：a2=b2+c2且a≠c．
又∵a、b、c 是△ABC 的三边长，
∴△ABC 为直角三角形．
故选A．
【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是求出a2=b2+c2．本题属于基础题，难度不大，解
决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出方程（不等式或不等式组）是关键．
6．下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．在一个三角形中，等边对等角
C．全等三角形三条对应边相等
D．全等三角形三个对应角相等
【考点】命题与定理．
【分析】分别写出原命题的逆命题，然后判断真假即可．
【解答】解：A、逆命题为两直线平行，同位角相等，正确，为真命题；
B、逆命题为：在一个三角形中等角对等边，正确，是真命题；
C、逆命题为：三条边对应相等的三角形全等，正确，是真命题；
D、逆命题为：三个角对应相等的三角形全等，错误，为假命题，
故选D．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出原命题的逆命题，难度
不大．
二．填空题（本大题共12 题，每题2 分，满分24 分）
7．计算：
=
2
．
【考点】二次根式的乘除法．
【分析】先化简二次根式，再利用二次根式的除法运算法则求出即可．
【解答】解：原式=2
÷
=2，
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了二次根式的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
8．函数
的定义域是
x ≥
3
．
【考点】函数自变量的取值范围；二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式的意义，被开方数是非负数，列不等式求得．
【解答】解：根据题意得：2x
6
﹣≥0，
解得x≥3．
【点评】当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
9．在实数范围内因式分解：x2
3x
﹣
+1=
．
【考点】实数范围内分解因式．
【分析】根据x2
3x
﹣
+1=0 的解为：x=
，根据求根公式的分解方法和特点得出答案．
【解答】解：∵x2
3x
﹣
+1=0 的解为：x=
，
∴x2
3x
﹣
+1=（x﹣
）（x﹣
）．
故答案为：（x﹣
）（x﹣
）．
【点评】此题主要考查了实数范围内分解因式，利用求根公式法得出方程的根再分解因式是
解决问题的关键．
10．如果f（x）=
，那么f（2）=
．
【考点】函数值．
【分析】将x=2 代入公式，再分母有理化可得．
【解答】解：当x=2 时，f（2）=
=
=
，
故答案为：
．
【点评】本题主要考查函数的求值，（1）当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；
（2）函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．
11．已知变量x 和变量x
2
﹣，那么x
2
﹣是不是x 的函数？你的结论是： 是 （填“是”或
“不是”）．
【考点】函数的概念．
【分析】根据函数的概念进行判断，自变量与因变量需满足一一对应的关系．
【解答】解：∵对于变量x 的每一个确定的值，变量x
2
﹣有且只有一个值与之对应，
∴根据函数的概念可知，x
2
﹣是x 的函数．
故答案为：是
【点评】本题主要考查了函数，解决问题的关键是掌握函数的概念．设在一个变化过程中有两
个变量x 与y，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与其对应，那么就说y 是x 的函数，
x 是自变量．
12．如果反比例函数y= （k≠0）的图象在每个象限内，y 随着x 的增大而减小，那么请你写
出一个满足条件的反比例函数解析式
y=
（答案不唯一） （只需写一个）．
【考点】反比例函数的性质．
【分析】先根据函数的增减性判断出k 的符号，进而可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数y= （k≠0）的图象在每个象限内，y 随着x 的增大而减小，
∴k＞0，
∴满足条件的反比例函数解析式可以是y=
．
故答案为：y=
（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．
13．在Rt△ABC 和Rt△DEF 中，∠C=∠F=90°，∠D=30°，AB=DE，EF=BC，如果EF=
，那
么AC 的长是
3
．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】先利用含30 度的直角三角形三边的关系得到DF=3，然后利用“HL”证明
Rt△ABC≌Rt△DEF，再利用全等三角形的性质得到AC 的长．
【解答】解：在Rt△DEF 中，∵∠F=90°，∠D=30°，
∴DF=
EF=
×
=3，
在Rt△ABC 和Rt△DEF 中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴AC=DF=3．
故答案为3．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质
证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
14．已知关于x 的方程x2+mx
6=0
﹣
的一个根为2，那么它的另一个根是 ﹣
3
．
【考点】根与系数的关系．
【分析】设方程的另一根为a，由一个根为2，利用根与系数的关系列出关于a 的方程，求出方
程的解得到a 的值，即为方程的另一根．
【解答】解：∵方程x2+mx
6=0
﹣
的一个根为2，设另一个为a，
∴2a=
6
﹣，
解得：a=
3
﹣，
则方程的另一根是﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2﹣
4ac≥0 时方程有解，此时设方程的解为x1，x2，则有x1+x2=﹣
，x1x2=
．
15．如果点A（3，m）在正比例函数
图象上，那么点A 和坐标原点的距离是
5
．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】先把A（3，m）代入
中求出m，从而确定A 点坐标，然后利用勾股定理计算点A
和坐标原点的距离．
【解答】解：把A（3，m）代入
得m=
×3=4，则点A 的坐标为（3，4），
所以点A 和坐标原点的距离=
=5．
故答案为5．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数图象上点的坐标满足其解析式，
于是解决此类问题时把已知点的坐标代入解析式求解．
16．某产品原价每件价格为200 元，经过两次降价，且每次降价的百分率相同，现在每件售价
为162 元，那么每次降价的百分率是
10%
．
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】解答此题利用的数量关系是：衬衫原来价格×（1﹣每次降价的百分率）2=现在价格，
设出未知数，列方程解答即可．
【解答】解：设这种衬衫平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得，
200×（1
x
﹣）2=162，
解得x1=0.1，x2=
1.9
﹣
（不合题意，舍去）；
答：这种衬衫平均每次降价的百分率为10%．
故答案为：10%．
【点评】本题考查了一元二次方程在实际生活中的应用，此题列方程得依据是：衬衫原来价格
×（1﹣每次降价的百分率）2=现在价格．
17．在一个角的内部（不包括顶点）且到角的两边距离相等的点的轨迹是 这个角的平分线
（除顶点） ．
【考点】轨迹；角平分线的性质．
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等进行解答．
【解答】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴在∠AOB 的内部且到这个角的两边距离相等的点的轨迹是∠AOB 的平分线（端点除外），
故答案为∠AOB 的平分线（端点除外）．
【点评】此题考查了点的轨迹问题，要熟悉角平分线的性质是解题的关键．
18．在△ABC 中，AB=AC，MN 垂直平分AB 分别交AB、BC 于M、N．如果△ACN 是等腰三
角形，那么∠B 的大小是
45°
或
36°
．
【考点】等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质．
【分析】首先根据线段垂直平分线的性质得出NA=NB，即可得到∠B=∠BAN=∠C．然后对
△ANC 中的边进行讨论，然后在△ABC 中，利用三角形内角和定理即可求得∠B 的度数．
【解答】解：∵MN 是AB 的中垂线，
∴NB=NA．
∴∠B=∠BAN，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
设∠B=x°，则∠C=∠BAN=x°．
1）当AN=NC 时，∠CAN=∠C=x°．
则在△ABC 中，根据三角形内角和定理可得：4x=180，
解得：x=45，则∠B=45°；
2）当AN=AC 时，∠ANC=∠C=x°，而∠ANC=∠B+∠BAN，故此时不成立；
3）当CA=CN 时，∠NAC=∠ANC=
．
在△ABC 中，根据三角形内角和定理得到：x+x+x+
=180，
解得：x=36．
即∠B 的度数为45°或36°．
故答案为45°或36°．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，正确对
△ANC 的边进行讨论是解题的关键．
三、简答题（本大题共4 题，每题5 分，满分20 分）
19．先化简再计算：
（其中ab=9）．
【考点】二次根式的化简求值．
【分析】先将题目中的式子化简，然后将ab=9 代入即可解答本题．
【解答】解：
=
=
当ab=9 时，原式=
=
．
【点评】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是明确如何化简二次根式．
20．解方程：（2x
3
﹣）2=x（x
5
﹣）+6．
【考点】解一元二次方程-公式法．
【分析】原方程化为，3x2
7x
﹣
+3=0，找出a，b，c，求出△=b2
4ac
﹣
的值，再代入求根公式即可．
【解答】解：原方程化为，3x2
7x
﹣
+3=0；
∴△=（﹣7）2
4
﹣×3×3=13；
∴
；
∴原方程的根是
，
．
【点评】本题考查了用公式法解一元二次方程，找出a，b，c，求出△=b2
4ac
﹣
的值，是解此题
的关键．
21．如图，已知线段a，b，求作：△ABC，使AB=AC=a，BC=b．
【考点】作图—复杂作图．
【分析】先作线段BC=b，然后分别以B、C 两点为圆心，a 为半径画弧，两弧相交于点A，再连
结AB、AC，则△ABC 满足条件．
【解答】解：如图，△ABC 为所作．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是
结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，
结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
22．如图，正比例函数y=kx（k≠0）与反比例函数y=﹣
的图象交于点A（﹣1，m）和点B．求
点B 的坐标．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】只需把点A 的坐标代入反比例函数的解析式，即可求得m，能够根据对称的性质，求
得另一个交点B 的坐标．
【解答】解：由题意，得
，
∴A（﹣1，2）；
又∵2=
k
﹣，
∴k=
2
﹣，
∴y=
2x
﹣
；
∴
，
解得
，
，
∴B（1，﹣2）．
【点评】本题利用了待定系数法确定m，k 的值，并且用到了过原点的直线与反比例函数图象
的两个交点坐标关于原点对称的知识．
四、（本大题共3 题，第23、24 题每题7 分，第25 题8 分，满分22 分）
23．如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6，AB=10，DE 垂直平分AB，分别交AB、BC 于点
D、E．求CE 的长．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】由在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6，AB=10，根据勾股定理可求得BC 的长，又由DE
垂直平分AB，可得AE=BE，然后设CE=x，则AE=BE=8
x
﹣；利用勾股定理即可求得方程
x2+62=（8
x
﹣）2，解此方程即可求得答案．
【解答】解：在Rt△ABC 中，∠C=90°，
∴
；
∵DE 垂直平分AB，分别交AB、BC 于点D、E，
∴AE=BE；
设CE=x，则AE=BE=8
x
﹣；
在Rt△ACE 中，∠C=90°，
∴CE2+AC2=AE2；
即x2+62=（8
x
﹣）2，
解得
，
即
．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及勾股定理．注意掌握方程思想的应用是解此
题的关键．
24．某商店从厂家以每件21 元的价格购进一批商品，该店可以自行定价，若每件商品售价为
a 元，则可以卖出（350
10a
﹣
）件；但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%，如果商店
计划要赚400 元，那么每件商品售价是多少元？
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】本题的等量关系是商品的单件利润=售价﹣进价．然后根据商品的单价利润×销售的
件数=总利润，设商品的售价为a，列出方程求出未知数的值后，根据“物价局限定每次商品
加价不能超过进价的20%”将不合题意的舍去，进而求出卖的商品的件数．
【解答】解：设每件商品售价是x 元，
由题意，得（x
21
﹣
）（350
10x
﹣
）=400；
化简，得x2
56x
﹣
+775=0；
解得 x1=25，x2=31；
又21×（1+0.2）=25.2，
∴x=31 不合题意，舍去．
答：每件商品售价是25 元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用．可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，
舍去不合题意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
25．如图，AD∥BC，∠A=90°，AB=BC，点E 是AB 的中点，BD=CE．
（1）求证：BD⊥CE；
（2）联结CD、DE，试判断△DCE 的形状，并证明你的结论．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【分析】（1）由条件可证明Rt△ABD≌Rt△BCE，则可求得∠EFD=90°，可证得结论；
（2）过点D 作DG⊥BC 于G，结合条件可证明△ABD≌△GDB，则可证得BD=CD，结合条件
可证得CD=CE，可证明△CDE 为等腰三角形．
【解答】（1）证明：
∵AD∥BC，
∴∠A+∠CBE=180°，
又∠A=90°，
∴∠CBE=90°；
∵AB=BC，BD=CE，
在Rt△ABD 和Rt△BCE 中
∴Rt△ABD≌Rt△BCE（HL），
∴∠D=∠BEC，
∵∠D+∠ABD=90°，
∴∠BEC+∠ABD=90°，
∵∠EFB+∠BEC+∠ABD=180°，
∴∠EFB=90°，
∴BD⊥CE；
（2）解：△DCE 是等腰三角形．
证明如下：
∵Rt△ABD≌Rt△BEC，
∴AD=BE，
又AB=BC，
点E 是AB 的中点，
∴
，
如图，过点D 作DG⊥BC 于G，
∴∠DGB=90°=∠A，
∵AD∥BC，
∴∠GBD=∠ADB，
在△ABD 和△GDB 中
∴△ABD≌△GDB（AAS），
∴
；
∴DF 垂直平分BC，
∴BD=CD，
又BD=CE，
∴CD=CE，
∴△DCE 是等腰三角形．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关
键，即SSS、SAS、ASA、AAS 和HL．
五、（本大题共2 题，第26 题10 分，第27 题12 分，满分22 分）
26．如图，点B（2，n）是直线y=k1x（k1≠0）上的点，如果直线y=k1x（k1≠0）平分∠yOx，
BA⊥x 轴于A，BC⊥y 轴于C．
（1）求k1的值；
（2）如果反比例函数y=
（k2≠0）的图象与BC、BA 分别交于点D、E，求证：OD=OE；
（3）在（2）的条件下，如果四边形BDOE 的面积是△ABO 面积的
，求反比例函数的解析式．
【考点】反比例函数综合题．
【分析】（1）根据角的平分线的性质，可得B 的横、纵坐标相等，则利用待定系数法即可求得
k1的值；
（2）利用k2表示出D 和E 的坐标，然后利用勾股定理求得OD 和OE 的长，从而判断；
（3）S△BOE=
S 四边形BDOE，则S△BOE=
S△AOB，据此即可求得AE 的长，则k2即可求得．
【解答】解：
（1）∵直线y=k1x（k1≠0）平分∠yOx，BA⊥x 轴于A，BC⊥y 轴于C，
∴AB=BC；又B（2，n），
∴AB=BC=2；
∴B（2，2），
∴2=2k1，
∴k1=1．
（2）∵反比例函数y=
（k2≠0）的图象与BC、BA 分别交于点D、E，
∴D（
，2），E（2，
）；
∴OD=
=
，OE=
=
；
∴OD=OE．
（3）由题意，可得△BOD≌△BOE，
∴S△BOE=
S 四边形BDOE；
又S 四边形BDOE=
S△AOB，
∴S△BOE=
S△AOB，
即
BEOA=
×
ABOA，
∴BE=
AB=
；
∴AE=
，
∴E（2，
），
∴
=
，
解得k2=
，
∴y=
．
【点评】本题考查了反比例函数与正方形的性质的运算，正确求得AE 的长是本题的关键．
27．如图1，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是斜边AB 上的中线，BC=
CD．
（1）求∠DCB 的大小；
（2）如图2，点F 是边BC 上一点，将△ABF 沿AF 所在直线翻折，点B 的对应点是点H，直线
HF⊥AB，垂足为G，如果AB=2，求BF 的长；
（3）如图3，点E 是△ACD 内一点，且∠AEC=150°，联结DE，请判断线段DE、AE、CE 能否构
成直角三角形？如果能，请证明；如果不能，请说明理由．
【考点】三角形综合题．
【分析】（1）只要证明AB=2AC，即可得到∠B=30°，再根据DC=DB 即可解决问题．
（2）首先证明△ABH 是等边三角形，设GF=x，得到BF=2GF=2x，在RT△BFG 中利用勾股定
理即可解决问题．
（3）线段DE、AE、CE 能构成直角三角形，如图3 中，作∠ECP=60°，截取CP=CE，连接AP、
PE，ED，只要证明△DCE≌△ACP 即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1 中，
在Rt△ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，
∴AB=2CD，
设CD=x，则AB=2x，BC=
x，
∴AC=
=
=x，
∴AC=DC=
AB，
∴∠B=30°，
又CD=BD，
∴∠DCB=∠B=30°．
（2）如图2 中，连接BH．
△AHF 与△ABF 关于直线AF 对称，又点B 的对应点是点H，
∴AH=AB，HF=BF，
∵HF⊥AB，∠ABC=30°，
∴∠BFG=60°，
∴∠FBH=∠FHB=30°；
∴∠ABH=60°，
∴△ABH 是等边三角形，
∴BG=
AB=1，
设GF=x，∴BF=2GF=2x，
∴x2+12=（2x）2，
解得x=
∴BF=
．
（3）线段DE、AE、CE 能构成直角三角形．
如图3 中，作∠ECP=60°，截取CP=CE，连接AP、PE，ED．
∵PC=CE，∠PCE=60°，
∴△PCE 是等边三角形，
∴PE=CE，∠PEC=60°，
∵∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
又CD=AD，
∴△ACD 是等边三角形，
∴∠ACD=60°，AC=CD；
∴∠ACD﹣∠ACE=∠PCE﹣∠ACE，
即∠DCE=∠ACP，
在△DCE 和△ACP 中，
，
∴△DCE≌△ACP，
∴DE=AP，
又∠AEC=150°，
∴∠AEP=150°
60°=90°
﹣
，
∴线段DE、AE、CE 能构成直角三角形．
【点评】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质和判定、勾股
定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会添加辅助线，构造全等三角形，
属于中考常考题型．
