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八年级（上）期中数学试卷
一、填空题（简洁的结果，表达的是你敏锐的思维，需要的是细心！每小题3 分，共30 分）
1．①三角形的三条角平分线交于一点，这点到三条边的距离相等；
②三角形的三条中线交于一点；
③三角形的三条高线所在的直线交于一点；
④三角形的三条边的垂直平分线交于一点，这点到三个顶点的距离相等．
以上说法中正确的是 ．
2．已知△ABC 三边a、b、c 满足（a
b
﹣）2+|b
c
﹣|=0，则△ABC 的形状是 ．
3．一个三角形的三条边长分别为1、2、x，则x 的取值范围是 ．
4．等腰三角形的一条边长为6cm，另一边长为13cm，则它的周长为 ．
5．一个多边形的内角和是它的外角和的3 倍，则这个多边形是 边形．
6．点A（a，4）、点B（3，b）关于x 轴对称，则（a+b）2010的值为 ．
7．将一副三角板按图中方式叠放，则角α 的度数为 ．
8．如图所示，一个角60°的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=
．
9．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E，过点E 作MN∥BC 交AB 于M，
交AC 于N，若BM+CN=9，则线段MN 的长为 ．
10．如图，在△ABC 中，∠ABC=120°，BD 是AC 边上的高，若AB+AD=DC，则∠C 等于 ．
二、精心选一选，慧眼识金！（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分，在每小题给出的四个
选项中只有一项是正确的）
11．试通过画图来判定，下列说法正确的是（ ）
A．一个直角三角形一定不是等腰三角形
B．一个等腰三角形一定不是锐角三角形
C．一个钝角三角形一定不是等腰三角形
D．一个等边三角形一定不是钝角三角形
12．可以把一个三角形分成面积相等的两部分的线段是（ ）
A．三角形的高
B．三角形的角平分线
C．三角形的中线D．无法确定
13．如图，AD⊥BC，垂足为D，∠BAC=∠CAD，下列说法正确的是（ ）
A．直线AD 是△ABC 的边BC 上的高
B．线段BD 是△ABD 的边AD 上的高
C．射线AC 是△ABD 的角平分线
D．△ABC 与△ACD 的面积相等
14．如图，△ABC 中，AB=AC，D 是BC 中点，下列结论中不正确的是（ ）
A．∠B=∠C B．AD⊥BC C．AD 平分∠BACD．AB=2BD
15．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、4 的四块），你认
为将其中的哪一块带去玻璃店，就能配一块与原来一样大小的三角形玻璃．应该带（ ）
A．第4 块
B．第3 块
C．第2 块
D．第1 块
16．平面直角坐标系中，点P 的坐标为（﹣5，3），则点P 关于y 轴的对称点的坐标是（ ）
A．（5，3）B．
（﹣5，﹣3）C．（3，﹣5）D．（﹣3，5）
17．下列图中具有稳定性的是（ ）
A．
B．
C．
D．
18．下列图形：其中所有轴对称图形的对称轴条数之和为（ ）
A．13
B．11
C．10
D．8
19．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（ ）
A．90°
B．100° C．130° D．180°
20．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC
于点M 和N，再分别以M、N 为圆心，大于
MN 的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP 并
延长交BC 于点D，则下列说法中正确的个数是（ ）
AD
①
是∠BAC 的平分线；②∠ADC=60°；③点D 在AB 的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．
A．1 B．2 C．3 D．4
三、解答题（耐心计算，认真推理，表露你萌动的智慧！每小题10 分，共60 分）
21．（10 分）如图，某校准备在校内一块四边形ABCD 草坪内栽上一颗银杏树，要求银杏树的
位置点P 到边AB，BC 的距离相等，并且点P 到点A，D 的距离也相等，请用尺规作图作出银
杏树的位置点P（不写作法，保留作图痕迹）
22．（10 分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC 的三个顶点坐标为 A（﹣3，0），B（﹣3，﹣
3），C（﹣1，﹣3）
（1）求Rt△ABC 的面积；
（2）在图中作出△ABC 关于x 轴对称的图形△DEF，并写出D，E，F 的坐标．
23．（10 分）如图，CE=CB，CD=CA，∠DCA=∠ECB，求证：DE=AB．
24．（10 分）如图，在△ABC 和△DCB 中，∠A=∠D=90°，AC=BD，AC 与BD 相交于点O．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）△OBC 是何种三角形？证明你的结论．
25．（10 分）如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，BD 平分∠ABC 交AC 于D，DE⊥AB 于E，若
DE=1cm，∠CBD=30°，求∠A 的度数和AC 的长．
26．（10 分）如图，已知AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°，延长BC，使CE=CD，连接DE，
求证：BC+DC=AC．
思路点拨：
（1）由已知条件AB=AD，∠BAD=60°，可知：△ABD 是 三角形；
（2）同理由已知条件∠BCD=120°得到∠DCE= ，且CE=CD，可知 ；
（3）要证BC+DC=AC，可将问题转化为两条线段相等，即 = ；
请你先完成思路点拨，再进行证明．
八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（简洁的结果，表达的是你敏锐的思维，需要的是细心！每小题3 分，共30 分）
1．①三角形的三条角平分线交于一点，这点到三条边的距离相等；
②三角形的三条中线交于一点；
③三角形的三条高线所在的直线交于一点；
④三角形的三条边的垂直平分线交于一点，这点到三个顶点的距离相等．
以上说法中正确的是 ①②③④ ．
【考点】线段垂直平分线的性质；三角形的角平分线、中线和高；角平分线的性质．
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等，三角形中线、高线的性质以及线段垂直平
分线上的点到线段两端点的距离相等对各小题分析判断即可得解．
【解答】解：①三角形的三条角平分线交于一点，这点到三条边的距离相等，正确；
②三角形的三条中线交于一点，正确；
③三角形的三条高线所在的直线交于一点，正确；
④三角形的三条边的垂直平分线交于一点，这点到三个顶点的距离相等，正确．
综上所述，说法正确的是①②③④．
故答案为：①②③④．
【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，角平分线上的
点到角的两边距离相等的性质，以及三角形高线、中线的定义，熟记各性质以及概念是解题
的关键．
2．已知△ABC 三边a、b、c 满足（a
b
﹣）2+|b
c
﹣|=0，则△ABC 的形状是 等边三角形 ．
【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：绝对值．
【分析】根据题意可知：a
b=0
﹣
，b
c=0
﹣
，所以a=b=c．
【解答】解：由题意可知：a
b=0
﹣
，b
c=0
﹣
，
∴a=b=c，
故答案为：等边三角形
【点评】本题考查非负数的性质，属于基础题型．
3．一个三角形的三条边长分别为1、2、x，则x 的取值范围是
1 ＜
x ＜
3
．
【考点】三角形三边关系．
【分析】已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边
长的范围．
【解答】解：根据题意得：2
1
﹣＜x＜2+1，
即1＜x＜3．
故答案为：1＜x＜3．
【点评】考查了三角形三边关系，本题需要理解的是如何根据已知的两条边求第三边的范围．
4．等腰三角形的一条边长为6cm，另一边长为13cm，则它的周长为
32cm
．
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】因为已知长度为6cm 和13cm 两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要
分类讨论．
【解答】解：①当6cm 为底时，其它两边都为13cm，
6cm、13cm、13cm 可以构成三角形，
周长为32cm；
②当6cm 为腰时，
其它两边为6cm 和13cm，
∵6+6＜13，
∴不能构成三角形，故舍去，
∴答案只有32cm．
故答案为：32cm．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目
一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点
非常重要，也是解题的关键．
5．一个多边形的内角和是它的外角和的3 倍，则这个多边形是 八 边形．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n
2
﹣）•180°，外角和等于360°，然
后列方程求解即可．
【解答】解：设多边形的边数是n，根据题意得，
（n
2
﹣）•180°=3×360°，
解得n=8，
∴这个多边形为八边形．
故答案为：八．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关
键，要注意“八”不能用阿拉伯数字写．
6．点A（a，4）、点B（3，b）关于x 轴对称，则（a+b）2010的值为
1
．
【考点】关于x 轴、y 轴对称的点的坐标．
【分析】根据关于x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得a、b 的值，然
后可得答案．
【解答】解：∵点A（a，4）、点B（3，b）关于x 轴对称，
∴a=3，b=
4
﹣，
∴（a+b）2010=1，
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了关于x 轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
7．将一副三角板按图中方式叠放，则角α 的度数为
75°
．
【考点】三角形的外角性质．
【分析】先根据直角三角板的性质求出∠1 及∠2 的度数，再根据三角形内角与外角的关系即
可解答．
【解答】解：∵图中是一副三角板，
∴∠2=45°，∠1=90°
45°=45°
﹣
，
∴∠α=∠1+30°=45°+30°=75°．
故答案为：75°．
【点评】本题考查的是三角形外角的性质，即三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和．
8．如图所示，一个角60°的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=
240°
．
【考点】多边形内角与外角；三角形内角和定理．
【分析】三角形纸片中，剪去其中一个60°的角后变成四边形，则根据多边形的内角和等于
360 度即可求得∠1+∠2 的度数．
【解答】解：根据三角形的内角和定理得：
四边形除去∠1，∠2 后的两角的度数为180°
60°=120°
﹣
，
则根据四边形的内角和定理得：
∠1+∠2=360°
120°=240°
﹣
．
故答案为：240°．
【点评】主要考查了三角形及四边形的内角和是360 度的实际运用与三角形内角和180 度之
间的关系．
9．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E，过点E 作MN∥BC 交AB 于M，
交AC 于N，若BM+CN=9，则线段MN 的长为
9
．
【考点】等腰三角形的判定与性质；角平分线的定义；平行线的性质．
【分析】由∠ABC、∠ACB 的平分线相交于点O，∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，利用两直
线平行，内错角相等，利用等量代换可∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，然后即可求得结论．
【解答】解：∵∠ABC、∠ACB 的平分线相交于点E，
∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，
∵MN∥BC，
∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB，
∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，
∴BM=ME，EN=CN，
∴MN=ME+EN，
即MN=BM+CN．
∵BM+CN=9
∴MN=9，
故答案为：9．
【点评】题考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解与掌握．此题关键是证
明△BME，△CNE 是等腰三角形．
10．如图，在△ABC 中，∠ABC=120°，BD 是AC 边上的高，若AB+AD=DC，则∠C 等于
20°
．
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】延长DA 到E，使AE=AB，从而求出DE=DE，然后根据线段垂直平分线上的点到线段
两端点的距离相等可得BC=BE，再根据等边对等角可得∠C=∠E，∠E=∠ABE，再根据三角
形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠BAD，然后根据三角形的内角和定
理列式计算即可得解．
【解答】解：如图，延长DA 到E，使AE=AB，
∵AB+AD=DC，
∴AE+AD=AB+AD=DC，
又∵BD 是AC 边上的高，
∴BD 是CE 的垂直平分线，
∴BC=BE，
根据等边对等角，∠C=∠E，∠E=∠ABE，
根据三角形的外角性质，∠BAD=∠E+∠ABE=2∠C，
在△ABC 中，∠BAD+∠C+∠ABC=180°，
∴2∠C+∠C+120°=180°，
解得∠C=20°．
故答案为：20°．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离
相等的性质，利用“补长”法作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键．
二、精心选一选，慧眼识金！（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分，在每小题给出的四个
选项中只有一项是正确的）
11．试通过画图来判定，下列说法正确的是（ ）
A．一个直角三角形一定不是等腰三角形
B．一个等腰三角形一定不是锐角三角形
C．一个钝角三角形一定不是等腰三角形
D．一个等边三角形一定不是钝角三角形
【考点】三角形．
【分析】根据三角形的分类方法进行分析判断．三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝
角三角形；三角形按边分为不等边三角形和等腰三角形（等边三角形）．
【解答】解：A、如等腰直角三角形，既是直角三角形，也是等腰三角形，故该选项错误；
B、如等边三角形，既是等腰三角形，也是锐角三角形，故该选项错误；
C、如顶角是120°的等腰三角形，是钝角三角形，也是等腰三角形，故该选项错误；
D、一个等边三角形的三个角都是60°．故该选项正确．
故选D．
【点评】此题考查了三角形的分类方法，理解各类三角形的定义．
12．可以把一个三角形分成面积相等的两部分的线段是（ ）
A．三角形的高
B．三角形的角平分线
C．三角形的中线D．无法确定
【考点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积．
【分析】三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形．
【解答】解：能够把一个三角形分成面积相等的两部分的线段是三角形的中线．
故选C．
【点评】本题考查了三角形的中线的性质．
13．如图，AD⊥BC，垂足为D，∠BAC=∠CAD，下列说法正确的是（ ）
A．直线AD 是△ABC 的边BC 上的高
B．线段BD 是△ABD 的边AD 上的高
C．射线AC 是△ABD 的角平分线
D．△ABC 与△ACD 的面积相等
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【分析】根据三角形里高的定义和角平分线定义，中线定义判断出正确选项即可．
【解答】解：A、三角形的高是一条线段，错误；
B、BD 是B 到AD 的距离，是△ABD 的边AD 上的高，正确；
C、三角形的角平分线是线段，错误；
D、只有中线才能得到把一个三角形的面积分成相等的两部分，错误．
故选B．
【点评】三角形的角平分线，高线，中线都是线段；注意只有三角形的中线才能把三角形的面
积分成相等的两部分．
14．如图，△ABC 中，AB=AC，D 是BC 中点，下列结论中不正确的是（ ）
A．∠B=∠C B．AD⊥BC C．AD 平分∠BACD．AB=2BD
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】此题需对每一个选项进行验证从而求解．
【解答】解：∵△ABC 中，AB=AC，D 是BC 中点
∴∠B=∠C，（故A 正确）
AD⊥BC，（故B 正确）
∠BAD=∠CAD（故C 正确）
无法得到AB=2BD，（故D 不正确）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，本题关键熟练运用等腰三角形的三线合一性质
15．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、4 的四块），你认
为将其中的哪一块带去玻璃店，就能配一块与原来一样大小的三角形玻璃．应该带（ ）
A．第4 块
B．第3 块
C．第2 块
D．第1 块
【考点】全等三角形的应用．
【分析】根据三角形全等判定的条件可直接选出答案．
【解答】解：1、3、4 块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带
它们去，
只有第2 块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．
故选：C．
【点评】本题主要考查三角形全等的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：
SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
16．平面直角坐标系中，点P 的坐标为（﹣5，3），则点P 关于y 轴的对称点的坐标是（ ）
A．（5，3）B．
（﹣5，﹣3）C．（3，﹣5）D．（﹣3，5）
【考点】关于x 轴、y 轴对称的点的坐标．
【分析】根据“关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．
【解答】解：点P（﹣5，3）关于y 轴的对称点的坐标是（5，3）．
故选A．
【点评】解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
17．下列图中具有稳定性的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】三角形的稳定性；多边形内角与外角．
【分析】根据三角形具有稳定性、四边形具有不稳定性作答．
【解答】解：因为三角形具有稳定性，而只有C 是全部由三角形结构组成．故选C．
【点评】本题考查三角形的稳定性．
18．下列图形：其中所有轴对称图形的对称轴条数之和为（ ）
A．13
B．11
C．10
D．8
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称及对称轴的定义，分别找到各轴对称图形的对称轴个数，然后可得出答案．
【解答】解：第一个图形是轴对称图形，有1 条对称轴；
第二个图形是轴对称图形，有2 条对称轴；
第三个图形是轴对称图形，有2 条对称轴；
第四个图形是轴对称图形，有6 条对称轴；
则所有轴对称图形的对称轴条数之和为11．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称及对称轴的定义，属于基础题，如果一个图形沿一条直线折叠，直
线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
19．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（ ）
A．90°
B．100° C．130° D．180°
【考点】三角形内角和定理．
【分析】设围成的小三角形为△ABC，分别用∠1、∠2、∠3 表示出△ABC 的三个内角，再利用
三角形的内角和等于180°列式整理即可得解．
【解答】解：如图，∠BAC=180°
90°
﹣
﹣∠1=90°﹣∠1，
∠ABC=180°
60°
﹣
﹣∠3=120°﹣∠3，
∠ACB=180°
60°
﹣
﹣∠2=120°﹣∠2，
在△ABC 中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴90°﹣∠1+120°﹣∠3+120°﹣∠2=180°，
∴∠1+∠2=150°﹣∠3，
∵∠3=50°，
∴∠1+∠2=150°
50°=100°
﹣
．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，用∠1、∠2、∠3 表示出△ABC 的三个内角是解题
的关键，也是本题的难点．
20．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC
于点M 和N，再分别以M、N 为圆心，大于
MN 的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP 并
延长交BC 于点D，则下列说法中正确的个数是（ ）
AD
①
是∠BAC 的平分线；②∠ADC=60°；③点D 在AB 的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；作图—基本作图．
【分析】①根据作图的过程可以判定AD 是∠BAC 的角平分线；
②利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°，则由直角三角形的性质来求∠ADC 的度数；
③利用等角对等边可以证得△ADB 的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性质可以
证明点D 在AB 的中垂线上；
④利用30 度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积
之比．
【解答】解：①根据作图的过程可知，AD 是∠BAC 的平分线．
故①正确；
②如图，∵在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°．
又∵AD 是∠BAC 的平分线，
∴∠1=∠2=
∠CAB=30°，
∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°．
故②正确；
③∵∠1=∠B=30°，
∴AD=BD，
∴点D 在AB 的中垂线上．
故③正确；
④∵如图，在直角△ACD 中，∠2=30°，
∴CD=
AD，
∴BC=CD+BD=
AD+AD=
AD，S△DAC=
AC•CD=
AC•AD．
∴S△ABC=
AC•BC=
AC•
AD=
AC•AD，
∴S△DAC：S△ABC=
AC•AD：
AC•AD=1：3．
故④正确．
综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4 个．
故选D．
【点评】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图﹣基本作图．解题时，
需要熟悉等腰三角形的判定与性质．
三、解答题（耐心计算，认真推理，表露你萌动的智慧！每小题10 分，共60 分）
21．（10 分）（2016 秋•卢龙县期中）如图，某校准备在校内一块四边形ABCD 草坪内栽上一
颗银杏树，要求银杏树的位置点P 到边AB，BC 的距离相等，并且点P 到点A，D 的距离也相
等，请用尺规作图作出银杏树的位置点P（不写作法，保留作图痕迹）
【考点】作图—应用与设计作图．
【分析】首先作出∠ABC 的角平分线进而作出线段AD 的垂直平分线，即可得出其交点P 的
位置．
【解答】解：如图所示：P 点即为所求．
【点评】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握角平分线以及线段垂直平分线的性质是
解题关键．
22．（10 分）（2016 秋•卢龙县期中）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC 的三个顶点坐标为
A（﹣3，0），B（﹣3，﹣3），C（﹣1，﹣3）
（1）求Rt△ABC 的面积；
（2）在图中作出△ABC 关于x 轴对称的图形△DEF，并写出D，E，F 的坐标．
【考点】坐标与图形变化-对称；三角形的面积；作图-轴对称变换．
【分析】（1）直接根据三角形的面积公式求解即可；
（2）先找出△ABC 各顶点关于x 轴对称的对应点，然后顺次连接各点即可．
【解答】解：（1）S△ABC=
AB×BC=
×3×2=3；
（2）所画图形如下所示，其中△DEF 即为所求，
D，E，F 的坐标分别为：D（﹣3，0），E（﹣3，3），F（﹣1，3）．
【点评】本题考查三角形的面积公式及轴对称变换作图的知识，解题关键是找出各关键点关
于x 轴的对应点，难度一般．
23．（10 分）（2012•武汉）如图，CE=CB，CD=CA，∠DCA=∠ECB，求证：DE=AB．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】求出∠DCE=∠ACB，根据SAS 证△DCE≌△ACB，根据全等三角形的性质即可推出
答案．
【解答】证明：∵∠DCA=∠ECB，
∴∠DCA+∠ACE=∠BCE+∠ACE，
∴∠DCE=∠ACB，
∵在△DCE 和△ACB 中
，
∴△DCE≌△ACB，
∴DE=AB．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生能否运用全等三角形的
性质和判定进行推理，题目比较典型，难度适中．
24．（10 分）（2016 秋•卢龙县期中）如图，在△ABC 和△DCB 中，∠A=∠D=90°，AC=BD，AC
与BD 相交于点O．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）△OBC 是何种三角形？证明你的结论．
【考点】直角三角形全等的判定；等腰三角形的判定．
【分析】（1）根据已知条件，用HL 公理证：Rt△ABC≌Rt△DCB；
（2）利用Rt△ABC≌Rt△DCB 的对应角相等，即可证明△OBC 是等腰三角形．
【解答】证明：（1）在△ABC 和△DCB 中，∠A=∠D=90°
AC=BD，BC 为公共边，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；
（2）△OBC 是等腰三角形
∵Rt△ABC≌Rt△DCB
∴∠ACB=∠DCB
∴OB=OC
∴△OBC 是等腰三角形
【点评】此题主要考查学生对直角三角形全等的判定和等腰三角形的判定与性质的理解和掌
握．
25．（10 分）（2011 秋•洛阳期末）如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，BD 平分∠ABC 交AC 于
D，DE⊥AB 于E，若DE=1cm，∠CBD=30°，求∠A 的度数和AC 的长．
【考点】角平分线的性质；含30 度角的直角三角形．
【分析】在Rt△ABC 中，∠C=90°，BD 平分∠ABC，即可求得∠A 的度数，继而求得AD 的值，
又由角平分线的性质，求得CD 的值，即可求得答案．
【解答】解：在Rt△ABC 中，
∵BD 平分∠ABC，∠CBD=30°
∴∠ABC=60°，
∴∠A=30°，
∴AD=2DE=2cm，
∵∠C=90°，BD 平分∠ABC 交AC 于D，DE⊥AB 于E，
∴DE⊥AB，DC=DE=1．
∴AC=3cm．
【点评】本题考查了对含30 度角的直角三角形的性质和角平分线性质的应用，求出CD 和
AD 的长是解此题的关键．
26．
（10 分）
（2016 秋•卢龙县期中）如图，已知AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°，延长BC，
使CE=CD，连接DE，求证：BC+DC=AC．
思路点拨：
（1）由已知条件AB=AD，∠BAD=60°，可知：△ABD 是 等边 三角形；
（2）同理由已知条件∠BCD=120°得到∠DCE=
60°
，且CE=CD，可知
△
CDE
为等边三
角形 ；
（3）要证BC+DC=AC，可将问题转化为两条线段相等，即
BE
=
AC
；
请你先完成思路点拨，再进行证明．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】连接BD，由条件可分别证明△ABD 和△DCE 为等边三角形，则可证明
△ACD≌△BED，可得AC=BE，则可证明BC+DC=AC．
【解答】证明：
连接BD，
∵AB=AD，∠BAD=60°，
∴△ABD 为等边三角形，
∵∠BCD=120°，
∴∠DCE=60°，
∵CE=CD，
∴△DCE 为等边三角形，
∴AD=BD，CD=ED，∠ADB=∠CDE=60°，
∴∠ADC=∠BDE，
在△ACD 和△BED 中
∴△ACD≌△BED（SAS），
∴BE=AC，
∵BE=BC+CE=BC+CD，
∴BC+CD=AC．
故答案为：等边；60°；△CED 为等边三角形；BE；AC．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，构造三角形全等是解题的关键．
