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河北省张家口市宣化县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共14 个小题，1-5 小题每小题2 分，6-14 小题每小题2 分，共37 分，在每
小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知⊙O 的半径为5，点P 到圆心O 的距离为6，那么点P 与⊙O 的位置关系是（ ）
A．点P 在⊙O上B．点P 在⊙O 内C．点P 在⊙O 外D．无法确定
2．下列四幅图的质地大小、背面图案都一样，把它们充分洗匀后翻放在桌面上，则从中任意
抽取一张，抽到的图案是中心对称图形的概率是（ ）
A．
B．C．D．1
3．抛物线y=（x
2
﹣）2+3 的顶点坐标是（ ）
A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣2，﹣3）
4．下列说法中错误的是（ ）
A．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中是随机事件
B．“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件
C．“抛一枚硬币，正面向上的概率为”表示每抛两次就有一次正面朝上
D．“抛一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数是6 的概率为”表示随着抛掷次数的增加，
“抛出朝上的点数是6”这一事件发生的频率稳定在附近
5．若一元二次方程x2+2x+a=0 的有实数解，则a 的取值范围是（ ）
A．a＜1 B．a≤4
C．a≤1
D．a≥1
6．如图，△ABC 中，AB=AC，∠ABC=70°，点O 是△ABC 的外心，则∠BOC 的度数为（ ）
[
A．40°
B．60°
C．70°
D．80°
7．用配方法解一元二次方程x2
6x
4=0
﹣
﹣
，下列变形正确的是（ ）
A．（x
6
﹣）2=
4+36
﹣
B．（x
6
﹣）2=4+36 C．
（x
3
﹣）2=
4+9
﹣
D．（x
3
﹣）2=4+9
8．如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O，AB 是⊙O 的直径，EC 与⊙O 相切于点C，
∠ECB=35°，则∠D 的度数是（ ）
A．145° B．125° C．90°
D．80°
9．如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO 绕点O 按顺时针方向旋转90°，得
△A′B′O′，则点A′的坐标为（ ）
A．（3，1）B．
（3，2）C．
（2，3）D．（1，3）
10．抛物线y=
x
﹣2+bx+c 的部分图象如图所示，则一元二次方程﹣x2+bx+c=0 的根为（ ）
A．x=1 B．x1=1，x2=
1
﹣
C．x1=1，x2=
2
﹣
D．x1=1，x2=
3
﹣
11．二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论中错误的是（ ）
A．函数有最小值B．当﹣1＜x＜2 时，y＞0
C．a+b+c＜0 D．当x＜，y 随x 的增大而减小
12．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点E，且E 为OB 的中点，∠CDB=30°，CD=4
，则阴影部分的面积为（ ）
A．π B．4π
C．π
D．
π
13．学校要组织足球比赛．赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．计划安排21 场比赛，应
邀请多少个球队参赛？设邀请x 个球队参赛．根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．x2=21 B． x（x
1
﹣）=21 C． x2=21 D．x（x
1
﹣）=21
14．设计师以y=2x2
4x+8
﹣
的图形为灵感设计杯子如图所示，若AB=4，DE=3，则杯子的高
CE=（ ）
A．17
B．11
C．8 D．7
二、填空题（本大题共5 个小题，每小题3 分，共15 分）
15．已知△ABC 的三边长a=3，b=4，c=5，则它的内切圆半径是 ．
16．如图，正五边形ABCD 内接于⊙O，连接对角线AC，AD，则下列结论：①BC AD
∥
；
②∠BAE=3 CAD
∠
；③△BAC
EAD
△
≌
；④AC=2CD．其中判断正确的是 ．（填序
号）
17．已知关于x 的一元二次方程x2+mx+n=0 的两个实数根分别为x1=
2
﹣，x2=4，则m+n=
．
18．如图是一个圆环形黄花梨木摆件的残片，为求其外圆半径，小林在外圆上任取一点A，然
后过点A 作AB 与残片的内圆相切于点D，作CD AB
⊥
交外圆于点C，测得CD=15cm，
AB=60cm，则这个摆件的外圆半径是 cm．
19．如图，点A，B 的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a（x
m
﹣）2+n 的顶点在线段AB 上
运动，与x 轴交于C、D 两点（C 在D 的左侧），点C 的横坐标最小值为﹣3，则点D 的横坐标
最大值为 ．
三、解答题（本大题共7 个小题，共68 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．解方程：
（1）x2
6x
6=0
﹣
﹣
（2）2x2
7x+6=0
﹣
．
21．如图，△ABC 中，AB=AC=2，∠BAC=45°，△AEF 是由△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转
得到的，连接BE、CF 相交于点D．
（1）求证：BE=CF；
（2）当四边形ABDF 为菱形时，求CD 的长．
22．如图，在平面直角坐标系中，点B 的坐标是（2
，2），将线段OB 绕点O 顺时针旋转
120°，点B 的对应点是点B．
（1）①求点B 绕点O 旋转到点B1所经过的路程长；
②在图中画出
，并直接写出点B1的坐标是 ；
（2）有7 个球除了编号不同外，其他均相同，李南和王易设计了如下的一个规则：
→装入不透明的甲袋
→装入不透明的乙袋，李南从甲
袋中，王易从乙袋中，各自随机地摸出一个球（不放回），把李南摸出的球的编号作为横坐标
x，把王易摸出的球的编号作为纵坐标y，用列表法或画树状图法表示出（x，y）的所有可能出
现的结果；
（3）李南和王易各取一次小球所确定的点（x，y）落在
上的概率是 ．
23．关于x 的方程kx2+（3k+1）x+3=0．
（1）求证：无论k 取任何实数时，方程总有实数根；
（2）当二次函数y=kx2+（3k+1）x+3 的图象与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且k 为负整数
时，求出函数的最大（或最小）值，并画出函数图象；
（3）若P（a，y1），Q（2，y2）是（2）中抛物线上的两点，且y1＞y2，请你结合函数图象确定实数a
的取值范围．
24．如图，△ABC 是等边三角形，AO BC
⊥
，垂足为点O，⊙O 与AC 相切于点D，BE AB
⊥
交
AC 的延长线于点E，与⊙O 相交于G，F 两点．
（1）求证：AB 与⊙O 相切；
（2）若AB=4，求线段GF 的长．
25．一个批发商销售成本为20 元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得
超过90 元，在销售过程中发现的售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，对应关
系如下表：
售价x（元/千克）…
50
60
70
80
…
销售量y（千克）…
100
90
80
70
…
（1）求y 与x 的函数关系式；
（2）该批发商若想获得4000 元的利润，应将售价定为多少元？
（3）该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w（元）最大？此时的最大利润为多少
元？
26．在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板（△ABC）按如图所示放置，若AO=2，
OC=1，∠ACB=90°．
（1）直接写出点B 的坐标是 ；
（2）如果抛物线l：y=ax2
ax
2
﹣
﹣经过点B，试求抛物线l 的解析式；
（3）把△ABC 绕着点C 逆时针旋转90°后，顶点A 的对应点A1是否在抛物线l 上？为什么？
（4）在x 轴上方，抛物线l 上是否存在一点P，使由点A，C，B，P 构成的四边形为中心对称图
形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
河北省张家口市宣化县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共14 个小题，1-5 小题每小题2 分，6-14 小题每小题2 分，共37 分，在每
小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知⊙O 的半径为5，点P 到圆心O 的距离为6，那么点P 与⊙O 的位置关系是（ ）
A．点P 在⊙O 上B．点P 在⊙O 内C．点P 在⊙O 外D．无法确定
【考点】点与圆的位置关系．
【分析】直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【解答】解：∵⊙O 的半径为5，点P 到圆心O 的距离为6，
∴点P 到圆心O 的距离大于圆的半径，
∴点P 在⊙O 外．
故选C．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3 种．设⊙O 的半径为r，点P 到
圆心的距离OP=d，则有：点P 在圆外⇔d＞r；点P 在圆上⇔d=r；点P 在圆内⇔d＜r．
2．下列四幅图的质地大小、背面图案都一样，把它们充分洗匀后翻放在桌面上，则从中任意
抽取一张，抽到的图案是中心对称图形的概率是（ ）
A．
B．C．D．1
【考点】概率公式；中心对称图形．
【分析】先判断出几个图形中的中心对称图形，再根据概率公式解答即可．
【解答】解：由图形可得出：第1，2，3，个图形都是中心对称图形，
∴从中任意抽取一张，抽到的图案是中心对称图形的概率是：．
故选：C．
【点评】此题考查了概率公式和中心对称图形的定义，如果一个事件有n 种可能，而且这些事
件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P（A）= ．
3．抛物线y=（x
2
﹣）2+3 的顶点坐标是（ ）
A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣2，﹣3）
【考点】二次函数的性质．
【分析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标，从而得出对称轴．
【解答】解：y=（x
2
﹣）2+3 是抛物线的顶点式方程，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式y=a（x
h
﹣）2+k，顶点坐标是
（h，k），对称轴是x=h．
4．下列说法中错误的是（ ）
A．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中是随机事件
B．“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件
C．“抛一枚硬币，正面向上的概率为”表示每抛两次就有一次正面朝上
D．“抛一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数是6 的概率为”表示随着抛掷次数的增加，
“抛出朝上的点数是6”这一事件发生的频率稳定在附近
【考点】随机事件；概率的意义．
【分析】直接利用随机事件的定义结合概率的意义分别分析得出答案．
【解答】解：A．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中是随机事件，正确，不合题意；
B．“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件，正确，不合题意；
C．“抛一枚硬币，正面向上的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“正面向上”这一事件
发生的频率稳定在附近，此选项错误，符合题意；
D．“抛一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数是6 的概率为”表示随着抛掷次数的增加，
“抛出朝上的点数是6”这一事件发生的频率稳定在附近，正确．
故选：C．
【点评】此题主要考查了随机事件的定义和概率的意义，正确把握相关定义是解题关键．
5．若一元二次方程x2+2x+a=0 的有实数解，则a 的取值范围是（ ）
A．a＜1 B．a≤4
C．a≤1
D．a≥1
【考点】根的判别式．
【分析】若一元二次方程x2+2x+a=0 的有实数解，则根的判别式△≥0，据此可以列出关于a 的
不等式，通过解不等式即可求得a 的值．
【解答】解：因为关于x 的一元二次方程有实根，
所以△=b2
4ac=4
4a≥0
﹣
﹣
，
解之得a≤1．
故选C．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c 为常数）根的判别式．当△＞0，方
程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
6．如图，△ABC 中，AB=AC，∠ABC=70°，点O 是△ABC 的外心，则∠BOC 的度数为（ ）
A．40°
B．60°
C．70°
D．80°
【考点】三角形的外接圆与外心．
【分析】首先根据等腰三角形的性质可得∠A 的度数，然后根据圆周角定理可得∠O=2 A
∠，进
而可得答案．
【解答】解：∵AB=AC，
ABC= ACB=70°
∴∠
∠
，
A=180°
70°×2=40°
∴∠
﹣
，
∵点O 是△ABC 的外心，
BOC=40°×2=80°
∴∠
，
故选：D．
【点评】此题主要考查了三角形的外接圆和外心，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，
同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．
7．用配方法解一元二次方程x2
6x
4=0
﹣
﹣
，下列变形正确的是（ ）
A．（x
6
﹣）2=
4+36
﹣
B．（x
6
﹣）2=4+36 C．
（x
3
﹣）2=
4+9
﹣
D．（x
3
﹣）2=4+9
【考点】解一元二次方程-配方法．
【分析】根据配方法，可得方程的解．
【解答】解：x2
6x
4=0
﹣
﹣
，
移项，得x2
6x=4
﹣
，
配方，得（x
3
﹣）2=4+9．
故选：D．
【点评】本题考查了解一元一次方程，利用配方法解一元一次方程：移项、二次项系数化为1，
配方，开方．
8．如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O，AB 是⊙O 的直径，EC 与⊙O 相切于点C，
∠ECB=35°，则∠D 的度数是（ ）
A．145° B．125° C．90°
D．80°
【考点】切线的性质．
【分析】连接BD，由AB 是⊙O 的直径，得∠ADB=90°，再由EC 与⊙O 相切于点C，
∠ECB=35°，知∠BDC=35°，从而得出∠D 的度数．
【解答】解：连接BD，
AB
∵
是⊙O 的直径，
ADB=90°
∴∠
，
EC
∵
与⊙O 相切，∠ECB=35°，
BDC=35°
∴∠
，
D= ADB+ BDC=90°+35°=125°
∴∠
∠
∠
，
故选B．
【点评】本题考查了切线的性质，以及弦切角定理和应用，解题时要认真审题，仔细解答，合理
进行等价转化．
9．如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO 绕点O 按顺时针方向旋转90°，得
△A′B′O′，则点A′的坐标为（ ）
A．（3，1）B．
（3，2）C．
（2，3）D．（1，3）
【考点】坐标与图形变化-旋转．
【分析】根据网格结构找出点A、B 旋转后的对应点A′、B′的位置，然后与点O 顺次连接即可，
再根据平面直角坐标系写出点A′的坐标．
【解答】解：如图，点A′的坐标为（1，3）．
故选D．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，熟练掌握网格结构作出旋转后的三角形，利用数
形结合的思想求解更简便．
10．抛物线y=
x
﹣2+bx+c 的部分图象如图所示，则一元二次方程﹣x2+bx+c=0 的根为（ ）
A．x=1 B．x1=1，x2=
1
﹣
C．x1=1，x2=
2
﹣
D．x1=1，x2=
3
﹣
【考点】抛物线与x 轴的交点．
【分析】直接观察图象，抛物线与x 轴交于1，对称轴是x=
1
﹣，所以根据抛物线的对称性可以
求得抛物线与x 轴的另一交点坐标，从而求得关于x 的一元二次方程﹣x2+bx+c=0 的解．
【解答】解：观察图象可知，抛物线y=
x
﹣2+bx+c 与x 轴的一个交点为（1，0），对称轴为x=﹣
1，
∴抛物线与x 轴的另一交点坐标为（﹣3，0），
∴一元二次方程2x2
4x+m=0
﹣
的解为x1=1，x2=
3
﹣．
故选：D．
【点评】本题考查了用函数观点解一元二次方程的方法．一元二次方程﹣x2+bx+c=0 的解实质
上是抛物线y=
x
﹣2+bx+c 与x 轴交点的横坐标的值．
11．二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论中错误的是（ ）
A．函数有最小值B．当﹣1＜x＜2 时，y＞0
C．a+b+c＜0 D．当x＜，y 随x 的增大而减小
【考点】二次函数的图象．
【分析】A、观察可判断函数有最小值；B、由抛物线可知当﹣1＜x＜2 时，可判断函数值的符
号；C、观察当x=1 时，函数值的符号，可判断a+b+c 的符号；D、由抛物线对称轴和开口方向
可知y 随x 的增大而减小，可判断结论．
【解答】解：A、由图象可知函数有最小值，故正确；
B、由抛物线可知当﹣1＜x＜2 时，y＜0，故错误；
C、当x=1 时，y＜0，即a+b+c＜0，故正确；
D、由图象可知在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小，故正确．
故选B．
【点评】本题考查了二次函数图象的性质与解析式的系数的关系．关键是熟悉各项系数与抛
物线的各性质的联系．
12．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点E，且E 为OB 的中点，∠CDB=30°，CD=4
，则阴影部分的面积为（ ）
A．π B．4π
C．π
D．
π
【考点】扇形面积的计算．
【分析】首先证明OE= OC= OB，则可以证得△OEC
BED
≌△
，则S 阴影=半圆﹣S 扇形OCB，利用
扇形的面积公式即可求解．
【解答】解：∵∠COB=2 CDB=60°
∠
，
又∵CD AB
⊥
，
OCE=30°
∴∠
，CE=DE，
OE=
∴
OC= OB=2
，OC=4．
S 阴影=
=
．
故选D．
【点评】本题考查了扇形的面积公式，证明△OEC
BED
≌△
，得到S 阴影=半圆﹣S 扇形OCB是本题
的关键．
13．学校要组织足球比赛．赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．计划安排21 场比赛，应
邀请多少个球队参赛？设邀请x 个球队参赛．根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．x2=21 B． x（x
1
﹣）=21 C． x2=21 D．x（x
1
﹣）=21
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x 个球队比赛总场数=
．即可
列方程．
【解答】解：设有x 个队，每个队都要赛（x
1
﹣）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：
x（x
1
﹣）=21，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是读懂题意，得到总场
数的等量关系．
14．设计师以y=2x2
4x+8
﹣
的图形为灵感设计杯子如图所示，若AB=4，DE=3，则杯子的高
CE=（ ）
A．17
B．11
C．8 D．7
【考点】二次函数的应用．
【分析】首先由y=2x2
4x+8
﹣
求出D 点的坐标为（1，6），然后根据AB=4，可知B 点的横坐标
为x=3，代入y=2x2
4x+8
﹣
，得到y=14，所以CD=14
6=8
﹣
，又DE=3，所以可知杯子高度．
【解答】解：∵y=2x2
4x+8=2
﹣
（x
1
﹣）2+6，
∴抛物线顶点D 的坐标为（1，6），
AB=4
∵
，
B
∴
点的横坐标为x=3，
把x=3 代入y=2x2
4x+8
﹣
，得到y=14，
CD=14
6=8
∴
﹣
，
CE=CD+DE=8+3=11
∴
．
故选：B．
【点评】本题主要考查了数形结合求点的坐标，求出顶点D 和点B 的坐标是解决问题的关键．
二、填空题（本大题共5 个小题，每小题3 分，共15 分）
15．已知△ABC 的三边长a=3，b=4，c=5，则它的内切圆半径是
1
．
【考点】三角形的内切圆与内心；勾股定理的逆定理．
【分析】根据勾股定理的逆定理求出△ACB 是直角三角形，设△ABC 的内切圆切AC 于E，切
AB 于F，切BC 于D，连接OE、OF、OD、OA、OC、OB，内切圆的半径为R，则
OE=OF=OD=R，根据S
ACB
△
=S
AOC
△
+S
AOB
△
+S
BOC
△
代入即可求出答案．
【解答】解：
a=3
∵
，b=4，c=5，
a
∴2+b2=c2，
ACB=90°
∴∠
，
设△ABC 的内切圆切AC 于E，切AB 于F，切BC 于D，连接OE、OF、OD、OA、OC、OB，内
切圆的半径为R，则OE=OF=OD=R，
S
∵
ACB
△
=S
AOC
△
+S
AOB
△
+S
BOC
△
，
∴×AC×BC= ×AC×0E+ ×AB×OF+ ×BC×OD，
3×4=4R+5R+3R
∴
，
解得：R=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积，三角形的内切圆等知识点的应用，解
此题的关键是能得出关于R 的方程，题目比较典型，难度适中．
16．如图，正五边形ABCD 内接于⊙O，连接对角线AC，AD，则下列结论：①BC AD
∥
；
②∠BAE=3 CAD
∠
；③△BAC
EAD
≌△
；④AC=2CD．其中判断正确的是 ①②③ ．（填序
号）
【考点】正多边形和圆．
【分析】①分别求出∠BCD 和∠ADC 的度数，得到∠BCD+ ADC=180°
∠
，判断出BC AD
∥
；
②计算出∠BAE 的度数和∠CAD 的度数，判断出∠BAE=3 CAD
∠
；
③根据AB=CB，AE=DE，AC=AD，判断出③△BAC
EAD
≌△
；
④根据“三角形的两边之和大于第三边”和“正五边形的各边相等”解答．
【解答】解：①∵∠BCD=180°
72°=108°
﹣
，∠E=108°，
ADE=
∴∠
×（180°
108°
﹣
）=36°，
ADC=108°
36°=72°
∴∠
﹣
，
BCD+ ADC=108°+72°=180°
∴∠
∠
，
BC AD
∴
∥
，故本选项正确；
BAE=108°
②∠
∵
，∠CAD=
× =36°，
BAE=3 CAD
∴∠
∠
，故本选项正确；
③在△BAC 和△EAD 中，
，
BAC
EAD
∴△
△
≌
（SSS），故本选项正确；
AB+BC
④∵
＞AC，
2CD
∴
＞AC，
故本选项错误．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了正多边形和圆，熟悉正多边形的性质和正五边形的性质是解题的关键．
17．已知关于x 的一元二次方程x2+mx+n=0 的两个实数根分别为x1=
2
﹣，x2=4，则m+n= ﹣
10
．
【考点】根与系数的关系．
【分析】根据根与系数的关系得出﹣2+4=
m
﹣，﹣2×4=n，求出即可．
【解答】解：∵关于x 的一元二次方程x2+mx+n=0 的两个实数根分别为x1=
2
﹣，x2=4，
2+4=
m
∴﹣
﹣，﹣2×4=n，
解得：m=
2
﹣，n=
8
﹣，
m+n=
10
∴
﹣
，
故答案为：﹣10．
【点评】本题考查了根与系数的关系的应用，能根据根与系数的关系得出﹣2+4=
m
﹣，﹣
2×4=n 是解此题的关键．
18．如图是一个圆环形黄花梨木摆件的残片，为求其外圆半径，小林在外圆上任取一点A，然
后过点A 作AB 与残片的内圆相切于点D，作CD AB
⊥
交外圆于点C，测得CD=15cm，
AB=60cm，则这个摆件的外圆半径是
37.5
cm．
【考点】垂径定理的应用；勾股定理．
【分析】根据垂径定理求得AD=30cm，然后根据勾股定理得出方程，解方程即可求得半径．
【解答】解：如图，设点O 为外圆的圆心，连接OA 和OC，
CD=15cm
∵
，AB=60cm，
CD
AB
∵
⊥
，
OC AB
∴
⊥
，
AD=
∴
AB=30cm，
∴设半径为rcm，则OD=（r
15
﹣
）cm，
根据题意得：r2=（r
15
﹣
）2+302，
解得：r=37.5．
∴这个摆件的外圆半径长为37.5cm；
故答案为：37.5．
【点评】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，作出辅助线构建直角三角形是本
题的关键．
19．如图，点A，B 的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a（x
m
﹣）2+n 的顶点在线段AB 上
运动，与x 轴交于C、D 两点（C 在D 的左侧），点C 的横坐标最小值为﹣3，则点D 的横坐标
最大值为
8
．
【考点】二次函数综合题；解一元二次方程-直接开平方法；二次函数的性质；待定系数法求二
次函数解析式．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】当C 点横坐标最小时，抛物线顶点必为A（1，4），根据此时抛物线的对称轴，可判断
出CD 间的距离；
当D 点横坐标最大时，抛物线顶点为B（4，4），再根据此时抛物线的对称轴及CD 的长，可判
断出D 点横坐标最大值．
【解答】解：当点C 横坐标为﹣3 时，抛物线顶点为A（1，4），对称轴为x=1，此时D 点横坐标
为5，则CD=8；
当抛物线顶点为B（4，4）时，抛物线对称轴为x=4，且CD=8，故C（0，0），D（8，0）；
由于此时D 点横坐标最大，
故点D 的横坐标最大值为8；
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，用待定系数法求二次函数的解析式，用直接开平方
法解一元二次方程等知识点，理解题意并根据已知求二次函数的解析式是解此题的关键，此
题是一个比较典型的题目．
三、解答题（本大题共7 个小题，共68 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．解方程：
（1）x2
6x
6=0
﹣
﹣
（2）2x2
7x+6=0
﹣
．
【考点】解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-配方法．
【分析】（1）求出b2
4ac
﹣
的值，代入公式求出即可；
（2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）x 2
6x
6=0
﹣
﹣
，
b2
4ac=
﹣
（﹣6）2
4×1×
﹣
（﹣6）=60，
x=
，
x1=3+
，x2=3﹣
；
（2）2x2
7x+6=0
﹣
，
（2x
3
﹣）（x
2
﹣）=0，
2x
3=0
﹣
，x
2=0
﹣
，
x1= ，x2=2．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查学生能否选择适当的方法解一元二次
方程，难度适中．
21．如图，△ABC 中，AB=AC=2，∠BAC=45°，△AEF 是由△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转
得到的，连接BE、CF 相交于点D．
（1）求证：BE=CF；
（2）当四边形ABDF 为菱形时，求CD 的长．
【考点】旋转的性质；菱形的性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）根据旋转的性质得AE=AF=AB=AC=2，∠EAF= BAC=45°
∠
，然后根据“SAS”证
明△ABE
ACF
≌△
，于是根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据菱形的性质得DF=AF=2，DF AB
∥
，再利用平行线的性质得∠1= BAC=45°
∠
，则可判
断△ACF 为等腰直角三角形，所以CF=
AF=2
，然后计算CF
DF
﹣
即可．
【解答】（1）证明：∵△AEF 是由△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转得到的，
AE=AF=AB=AC=2
∴
，∠EAF= BAC=45°
∠
，
BAC+ 3= EAF+ 3
∴∠
∠
∠
∠，即∠BAE= CAF
∠
，
在△ABE 和△ACF 中
，
ABE
ACF
∴△
△
≌
，
BE=CF
∴
；
（2）解：∵四边形ABDF 为菱形，
DF=AF=2
∴
，DF AB
∥
，
1= BAC=45°
∴∠
∠
，
ACF
∴△
为等腰直角三角形，
CF=
∴
AF=2
，
CD=CF
DF=2
∴
﹣
2
﹣．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段
的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了菱形的性质．
22．如图，在平面直角坐标系中，点B 的坐标是（2
，2），将线段OB 绕点O 顺时针旋转
120°，点B 的对应点是点B．
（1）①求点B 绕点O 旋转到点B1所经过的路程长；
②在图中画出
，并直接写出点B1的坐标是 （
0 ，﹣
4 ）
；
（2）有7 个球除了编号不同外，其他均相同，李南和王易设计了如下的一个规则：
→装入不透明的甲袋
→装入不透明的乙袋，李南从甲
袋中，王易从乙袋中，各自随机地摸出一个球（不放回），把李南摸出的球的编号作为横坐标
x，把王易摸出的球的编号作为纵坐标y，用列表法或画树状图法表示出（x，y）的所有可能出
现的结果；
（3）李南和王易各取一次小球所确定的点（x，y）落在
上的概率是 ．
【考点】作图-旋转变换；列表法与树状图法．
【专题】计算题；作图题．
【分析】（1）①先利用勾股定理计算出OB，然后根据弧长公式计算点B 绕点O 旋转到点B1
所经过的路程长；
②由①得∠BOH=30°，则线段OB 绕点O 顺时针旋转120°，点B 的对应点是点B1在y 轴的负
半轴上，于是可得到
，再写出点B1的坐标；
（2）利用树状图展示所有12 种等可能的结果数；
（3）计算各点到原点的距离可判断点（x，y）落在
上的结果数为2，然后根据概率公式求
解．
【解答】解：（1）①作BH x
⊥轴于点H，
∵点B 的坐标是（2
，2），
BH=2
∴
，OH=2
，
OB=
∴
=4，
B
∴
绕点O 旋转到点B1所经过的路程长=
=
；
②如图，
为所作，点B1的坐标是（0，﹣4）；
（2）画树状图为：
共有12 种等可能的结果数；
（3）点（x，y）落在
上的结果数为2，
所以点（x，y）落在
上的概率=
= ．
故答案为（0，﹣4），．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对
应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，
顺次连接得出旋转后的图形．也考查了弧长公式和树状图法．
23．关于x 的方程kx2+（3k+1）x+3=0．
（1）求证：无论k 取任何实数时，方程总有实数根；
（2）当二次函数y=kx2+（3k+1）x+3 的图象与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且k 为负整数
时，求出函数的最大（或最小）值，并画出函数图象；
（3）若P（a，y1），Q（2，y2）是（2）中抛物线上的两点，且y1＞y2，请你结合函数图象确定实数a
的取值范围．
【考点】抛物线与x 轴的交点；根的判别式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．
【分析】（1）分类讨论：当k=0 时，方程变形为一元一次方程，有一个实数解；当k≠0 时，计算
判别式得到△=（3k
1
﹣）2，由此得到△≥0，由此判断当k≠0 时，方程有两个实数根；
（2）先由因式分解得到kx2+（3k+1）x+3=0（k≠0）的解为x1=﹣，x2=
3
﹣，则二次函数
y=kx2+（3k+1）x+3 的图象与x 轴两个交点的横坐标分别为﹣和﹣3，然后根据整数的整除
性可确定整数k 的值；
（3）代入点Q（2，y2）得出y2，进一步求得点Q 的对称性得出对称点，结合（2）中的图象得出
答案即可．
【解答】（1）证明：当k=0 时，方程变形为x+3=0，解得x=
3
﹣；
当k≠0 时，△=（3k+1）2
4•k•3=
﹣
（3k
1
﹣）2，
∵（3k
1
﹣）2≥0，
≥0
∴△
，
∴当k≠0 时，方程有实数根，
∴无论k 取任何实数时，方程总有实数根；
（2）解：kx2+（3k+1）x+3=0（k≠0）
（kx+1）（x+3）=0，
解得：x1=﹣，x2=
3
﹣，
所以二次函数y=kx2+（3k+1）x+3 的图象与x 轴两个交点的横坐标分别为﹣和﹣3，
根据题意得﹣为整数，且k 为负整数
所以整数k=
1
﹣；
二次函数为y=
x
﹣2
2x+3
﹣
；
函数图象如下：
（3）解：把点Q（2，y2）代入y=
x
﹣2
2x+3
﹣
得y2=
5
﹣，
则点Q 的对称点为（﹣4，﹣5），
由图象可知：当﹣4＜a＜2 时，y1＞y2．
【点评】此题考查了抛物线与x 轴的交点，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式
△=b2
4ac
﹣
，二次函数的对称性，以及利用二次函数图象解决二次函数与不等式的关系．
24．如图，△ABC 是等边三角形，AO BC
⊥
，垂足为点O，⊙O 与AC 相切于点D，BE AB
⊥
交
AC 的延长线于点E，与⊙O 相交于G，F 两点．
（1）求证：AB 与⊙O 相切；
（2）若AB=4，求线段GF 的长．
【考点】切线的判定与性质．
【分析】（1）过点O 作OM AB
⊥
，垂足是M，证明OM 等于圆的半径OD 即可；
（2）过点O 作ON BE
⊥
，垂足是N，连接OF，由垂径定理得出NG=NF= GF，证出四边形
OMBN 是矩形，在直角△OBM 利用三角函数求得OM 和BM 的长，则BN 和ON 即可求得，
在直角△ONF 中利用勾股定理求得NF，即可得出GF 的长．
【解答】（1）证明：过点O 作OM AB
⊥
，垂足是M．如图1 所示：
O
∵⊙
与AC 相切于点D．
OD AC
∴
⊥
，
ADO= AMO=90°
∴∠
∠
．
ABC
∵△
是等边三角形，
DAO= NAO
∴∠
∠
，
OM=OD
∴
．
AB
∴
与⊙O 相切；
（2）解：过点O 作ON BE
⊥
，垂足是N，连接OF．如图：2 所示：
则NG=NF= GF，
O
∵
是BC 的中点，
OB=2
∴
．
在直角△OBM 中，∠MBO=60°，
OM=OB•sin60°=
∴
，BM=OB•cos60°=1．
BE
AB
∵
⊥
，
∴四边形OMBN 是矩形．
ON=BM=1
∴
，BN=OM=
．
OF=OM=
∵
，
由勾股定理得：NF=
=
，
GF=2NF=2
∴
．
【点评】本题考查了切线的判定与性质、等边三角形的性质、勾股定理、垂径定理；熟练掌握切
线的判定和等边三角形的性质，正确作出辅助线构造矩形是解决本题的关键．
25．一个批发商销售成本为20 元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得
超过90 元，在销售过程中发现的售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，对应关
系如下表：
售价x（元/千克）…
50
60
70
80
…
销售量y（千克）…
100
90
80
70
…
（1）求y 与x 的函数关系式；
（2）该批发商若想获得4000 元的利润，应将售价定为多少元？
（3）该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w（元）最大？此时的最大利润为多少
元？
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）根据图表中的各数可得出y 与x 成一次函数关系，从而结合图表的数可得出y 与
x 的关系式．
（2）根据想获得4000 元的利润，列出方程求解即可；
（3）根据批发商获得的总利润w（元）=售量×每件利润可表示出w 与x 之间的函数表达式，再
利用二次函数的最值可得出利润最大值．
【解答】解：（1）设y 与x 的函数关系式为y=kx+b（k≠0），根据题意得
，
解得
．
故y 与x 的函数关系式为y=
x+150
﹣
；
（2）根据题意得
（﹣x+150）（x
20
﹣
）=4000，
解得x1=70，x2=100＞90（不合题意，舍去）．
故该批发商若想获得4000 元的利润，应将售价定为70 元；
（3）w 与x 的函数关系式为：
w=（﹣x+150）（x
20
﹣
）
=
x
﹣2+170x
3000
﹣
=﹣（x
85
﹣
）2+4225，
1
∵﹣＜0，
∴当x=85 时，w 值最大，w 最大值是4225．
∴该产品每千克售价为85 元时，批发商获得的利润w（元）最大，此时的最大利润为4225 元．
【点评】本题考查二次函数的应用，难度较大，解答本题的关键是根据题意列出方程，另外要
注意掌握二次函数的最值的求法．
26．在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板（△ABC）按如图所示放置，若AO=2，
OC=1，∠ACB=90°．
（1）直接写出点B 的坐标是 （
3 ，
1 ）
；
（2）如果抛物线l：y=ax2
ax
2
﹣
﹣经过点B，试求抛物线l 的解析式；
（3）把△ABC 绕着点C 逆时针旋转90°后，顶点A 的对应点A1是否在抛物线l 上？为什么？
（4）在x 轴上方，抛物线l 上是否存在一点P，使由点A，C，B，P 构成的四边形为中心对称图
形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）要求点B 坐标，首先过点B 作BD x
⊥轴，垂足为D，易证得△BDC
COA
≌△
，即可
得BD=OC=1，CD=OA=2，即可求得点B 的坐标；
（2）利用待定系数法，将点B 的坐标代入即可求出抛物线l 的解析式；
（3）画出旋转后的图形，过点A1作x 轴的垂线，构造全等三角形，求出点A1的坐标，代入抛
物线解析式即可进行判断；
（4）由抛物线的解析式先设出点P 的坐标，再根据中心对称的性质和线段中点的公式列出方
程，求解即可．
【解答】解：（1）如图1，过点B 作BD x
⊥轴，垂足为D，
BCD+ ACO=90°
∵∠
∠
，∠AC0+ OAC=90°
∠
，
BCD= CAO
∴∠
∠
，
又∵∠BDC= COA=90°
∠
，CB=AC，
在△BDC 和△COA 中，
，
BDC
COA
∴△
△
≌
（AAS），
BD=OC=1
∴
，CD=OA=2，
∴点B 的坐标为（3，1）；
（2）∵抛物线y=ax2
ax
2
﹣
﹣过点B（3，1），
1=9a
3a
2
∴
﹣
﹣，
解得：a= ，
∴抛物线的解析式为y= x2﹣x
2
﹣；
（3）旋转后如图1 所示，过点A1作A1M x
⊥轴，
∵把△ABC 绕着点C 逆时针旋转90°，
ABC= A
∴∠
∠
1BC=90°，
A
∴
1，B，C 共线，
在三角形BDC 和三角形A1CM 中
∴三角形BDC≌三角形A1CM
CM=CD=3
1=2
∴
﹣
，A1M=BD=1，
OM=1
∴
，
∴点A1（﹣1，﹣1），
把点x=
1
﹣代入y= x2﹣x
2
﹣，
y=
1
﹣，
∴点A1在抛物线上．
（4）设点P（t， t2﹣t
2
﹣），
点A（0，2），点C（1，0），点B（3，1），
若点P 和点C 对应，由中心对称的性质和线段中点公式可得：
，
，
无解，
若点P 和点A 对应，由中心对称的性质和线段中点公式可得：
，
，
无解，
若点P 和点B 对应，由中心对称的性质和线段中点公式可得：
，
，
解得：t=
2
﹣，
t2﹣t
2=1
﹣
所以：存在，点P（﹣2，1）．
【点评】此题考查了全等三角形的判定和性质，待定系数法求解析式，和中心对称的性质，难
度很大，在解题中数形结合思想和分类讨论思想的应用是解题的关键．
