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八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3 分，共24 分）
1．下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（ ）
A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm
C．5cm，5cm，11cm D．13cm，12cm，20cm
2．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．设四边形的内角和等于a，五边形的外角和等于b，则a 与b 的关系是（ ）
A．a＞b B．a=b C．a＜b D．b=a+180°
4．如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E、F、G、H 分别是四条边上的中点，
为了使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在（ ）
A．A、C 两点之间
B．E、G 两点之间
C．B、F 两点之间D．G、H 两点之间
5．尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA，
OB 于C，D，再分别以点C，D 为圆心，以大于CD 长为半径画弧，两弧交于点P，
作射线OP 由作法得△OCP≌△ODP 的根据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
6．如图所示，线段AC 的垂直平分线交线段AB 于点D，∠A=50°，则∠BDC=（ ）
A．50° B．100° C．120° D．130°
7．轮船从B 处以每小时50 海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B 处观测灯
塔A 位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C 处，在C 处观测灯塔A 位于北
偏东60°方向上，则C 处与灯塔A 的距离是（ ）海里．
A．25
B．25
C．50
D．25
8．下列说法错误的是（ ）
A．已知两边及一角只能作出唯一的三角形
B．到△ABC 的三个顶点距离相等的点是△ABC 的三条边垂直平分线的交点
C．腰长相等的两个等腰直角三角形全等
D．点A（3，2）关于x 轴的对称点A 坐标为（3，﹣2）
二、填空题（每小题3 分，共21 分）
9．已知一个等腰三角形的两边长分别为2 和4，则该等腰三角形的周长是 ．
10．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3=
°．
11．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点D，过点D 作EF∥BC 交
AB，AC 于点E，F，若BE+CF=20，则EF= ．
12．在△ABC 中，∠C=90°，∠A=15°，将△ABC 沿MH 翻折，使顶点A 与顶点B 重合，
已知AH=6，则BC 等于 ．
13．如图，在△ABC 中，AB＞AC，按以下步骤作图：分别以点B 和点C 为圆心，大于
BC 一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M 和点N，作直线MN 交AB 于点D；连
结CD．若AB=6，AC=4，则△ACD 的周长为 ．
14．如图，在四边形ABCD 中，∠A=90°，AD=4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P
是BC 边上一动点，则DP 长的最小值为 ．
15．如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=12cm，BC=6cm，一条线段PQ=AB，P，Q 两点
分别在线段AC 和AC 的垂线AX 上移动，则当AP= 时，才能使△ABC 和△APQ
全等．
三、解答题（本题8 小题，）
16．在数学实践课上，老师在黑板上画出如图的图形，
（其中点B，F，C，E 在同一条
直线上）．并写出四个条件：①AB=DE，②∠1=∠2．③BF=EC，④∠B=∠E，交流中
老师让同学们从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，组成一个真
命题．
①请你写出所有的真命题；
②选一个给予证明．你选择的题设： ；结论： ．（均填写序号）
17．如图，两车从路段AB 的两端同时出发，沿平行路线以相同的速度行驶，相同
时间后分别到达C，D 两地，CE⊥AB，DF⊥AB，C，D 两地到路段AB 的距离相等吗
为什么？
18．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1 的正方形）中完成下列各题：（用直
尺画图）
（1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE 对称的△A1B1C1；
（2）在DE 上画出点P，使PB1+PC 最小；
（3）在DE 上画出点Q，使QA+QC 最小．
19．某中学八年级（1）班数学课外兴趣小组在探究：“n 边形共有多少条对角线”
这一问题时，设计了如下表格：
多边形的边数
4
5
6
7
8
…
从多边形一个顶点出发可
引起的对角线条数
…
多边形对角线的总条数
…
（1）探究：假若你是该小组的成员，请把你研究的结果填入上表；
（2）猜想：随着边数的增加，多边形对角线的条数会越来越多，从n 边形的一个顶
点出发可引的对角线条数为 ，n 边形对角线的总条数为 ．
（3）应用：10 个人聚会，每不相邻的人都握一次手，共握多少次手？
20．如图，把长方形ABCD 沿对角线BD 折叠，重合部分为△EBD．
（1）求证：△EBD 为等腰三角形．
（2）图中有哪些全等三角形？
（3）若AB=6，BC=8，求△DC′E 的周长．
21．如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=60°，BE 是中线，延长BC 到D，使CD=CE，连接
DE，若△ABC 的周长是24，BE=a，则△BDE 的周长是多少？
22．如图1，AD 平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB=DC．
（1）如图2，AD 平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD＜90°．求证：DB=DC．
（2）如图3，四边形ABCD 中，∠B=60°，∠C=120°，DB=DC=2，则AB
AC=
﹣
？
23．（1）发现：如图1，点A 为线段BC 外一动点，且BC=a，AB=b．
①填空：当点A 位于 时，线段AC 的长取得最大值，且最大值为 （用含a，b
的式子表示）
（2）应用：点A 为线段BC 外一动点，且BC=3，AB=1，如图2 所示，分别以AB、AC 为
边，作等边三角形ABD 和等边三角形ACE，连接CD，BE．
①请找出图中与BE 相等的线段，并说明理由；
②直接写出线段BE 长的最大值．
八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3 分，共24 分）
1．下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（ ）
A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm
C．5cm，5cm，11cm D．13cm，12cm，20cm
【考点】三角形三边关系．
【分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，即两短边的和大于最长的
边，即可作出判断．
【解答】解：A、3+4＜8，故以这三根木棒不可以构成三角形，不符合题意；
B、8+7=15，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意；
C、5+5＜11，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意；
D、12+13＞20，故以这三根木棒能构成三角形，符合题意．
故选D．
2．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选B．
3．设四边形的内角和等于a，五边形的外角和等于b，则a 与b 的关系是（ ）
A．a＞b B．a=b C．a＜b D．b=a+180°
【考点】多边形内角与外角．
【分析】根据多边形的内角和定理与多边形外角的关系即可得出结论．
【解答】解：∵四边形的内角和等于a，
∴a=（4
2
﹣）•180°=360°．
∵五边形的外角和等于b，
∴b=360°，
∴a=b．
故选B．
4．如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E、F、G、H 分别是四条边上的中点，
为了使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在（ ）
A．A、C 两点之间
B．E、G 两点之间
C．B、F 两点之间D．G、H 两点之间
【考点】三角形的稳定性．
【分析】用木条固定长方形窗框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释．
【解答】解：工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，工人师傅为了使它稳固，需要在
窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在E、G 两点之间（没有构成三角形），这种做
法根据的是三角形的稳定性．
故选B．
5．尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA，
OB 于C，D，再分别以点C，D 为圆心，以大于CD 长为半径画弧，两弧交于点P，
作射线OP 由作法得△OCP≌△ODP 的根据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【考点】全等三角形的判定．
【分析】认真阅读作法，从角平分线的作法得出△OCP 与△ODP 的两边分别相等，
加上公共边相等，于是两个三角形符合SSS 判定方法要求的条件，答案可得．
【解答】解：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB 于C，D，即OC=OD；
以点C，D 为圆心，以大于CD 长为半径画弧，两弧交于点P，即CP=DP；
∴在△OCP 和△ODP 中
，
∴△OCP≌△ODP（SSS）．
故选：D．
6．如图所示，线段AC 的垂直平分线交线段AB 于点D，∠A=50°，则∠BDC=（ ）
A．50° B．100° C．120° D．130°
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，根据等腰三角形的性质得到
∠DCA=∠A，根据三角形的外角的性质计算即可．
【解答】解：∵DE 是线段AC 的垂直平分线，
∴DA=DC，
∴∠DCA=∠A=50°，
∴∠BDC=∠DCA+∠A=100°，
故选：B．
7．轮船从B 处以每小时50 海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B 处观测灯
塔A 位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C 处，在C 处观测灯塔A 位于北
偏东60°方向上，则C 处与灯塔A 的距离是（ ）海里．
A．25
B．25
C．50
D．25
【考点】等腰直角三角形；方向角．
【分析】根据题中所给信息，求出∠BCA=90°，再求出∠CBA=45°，从而得到△ABC
为等腰直角三角形，然后根据解直角三角形的知识解答．
【解答】解：根据题意，
∠1=∠2=30°，
∵∠ACD=60°，
∴∠ACB=30°+60°=90°，
∴∠CBA=75°
30°=45°
﹣
，
∴△ABC 为等腰直角三角形，
∵BC=50×0.5=25，
∴AC=BC=25（海里）．
故选D．
8．下列说法错误的是（ ）
A．已知两边及一角只能作出唯一的三角形
B．到△ABC 的三个顶点距离相等的点是△ABC 的三条边垂直平分线的交点
C．腰长相等的两个等腰直角三角形全等
D．点A（3，2）关于x 轴的对称点A 坐标为（3，﹣2）
【考点】等腰直角三角形；全等三角形的判定；线段垂直平分线的性质；关于x 轴、
y 轴对称的点的坐标．
【分析】利用等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，关于x 轴对称的点
的坐标特征，全等三角形的判定来确定．做题时，要结合已知条件与三角形全等
的判定方法逐个验证．
【解答】解：A、SSA 不能确定两个三角形全等，题干的说法错误；
B、到△ABC 的三个顶点距离相等的点是△ABC 的三条边垂直平分线的交点的说
法正确；
C、根据SAS 可知，腰长相等的两个等腰直角三角形全等的说法正确；
D、点A（3，2）关于x 轴的对称点A 坐标为（3，﹣2）的说法正确．
故选：A．
二、填空题（每小题3 分，共21 分）
9．已知一个等腰三角形的两边长分别为2 和4，则该等腰三角形的周长是
10
．
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】根据任意两边之和大于第三边，知道等腰三角形的腰的长度是4，底边长
2，把三条边的长度加起来就是它的周长．
【解答】解：因为2+2＜4，
所以等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，
周长：4+4+2=10，
答：它的周长是10，
故答案为：10
10．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3=
20
°．
【考点】平行线的性质；三角形的外角性质．
【分析】本题主要利用两直线平行，同位角相等和三角形的外角等于与它不相邻
的两内角之和进行做题．
【解答】解：∵直尺的两边平行，
∴∠2=∠4=50°，
又∵∠1=30°，
∴∠3=∠4﹣∠1=20°．
故答案为：20．
11．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点D，过点D 作EF∥BC 交
AB，AC 于点E，F，若BE+CF=20，则EF=
20
．
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【分析】由平行线的性质可得内错角∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB，再由角平分线
的性质可得∠ABD=∠EDB，∠ACD=∠FDC，即BE=DE，DF=FC，进而可求EF 的长．
【解答】解：∵EF∥BC，∴∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB，
∵BD、CD 分别平分∠ABC 与∠ACB，
∴∠ABD=∠DBC，∠ACD=∠DCB，
∴∠ABD=∠EDB，∠ACD=∠FDC，
即BE=DE，DF=FC，
EF=DE+DF=BE+FC=20．
故答案为：20
12．在△ABC 中，∠C=90°，∠A=15°，将△ABC 沿MH 翻折，使顶点A 与顶点B 重合，
已知AH=6，则BC 等于
3
．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】根据折叠的性质得到HB=HA，根据三角形的外角的性质得到∠CHB=30°，
根据直角三角形的性质计算即可．
【解答】解：连接BH，
由折叠的性质可知，HB=HA=6，
∴∠HAB=∠HBA=15°，
∴∠CHB=30°，
∴BC= BH=3，
故答案为：3．
13．如图，在△ABC 中，AB＞AC，按以下步骤作图：分别以点B 和点C 为圆心，大于
BC 一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M 和点N，作直线MN 交AB 于点D；连
结CD．若AB=6，AC=4，则△ACD 的周长为
10
．
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．
【分析】根据题意可知直线MN 是线段BC 的垂直平分线，推出DC=DB，可以证明
△ADC 的周长=AC+AB，由此即可解决问题．
【解答】解：由题意直线MN 是线段BC 的垂直平分线，
∵点D 在直线MN 上，
∴DC=DB，
∴△ADC 的周长=AC+CD+AD=AC+AD+BD=AC+AB，
∵AB=6，AC=4，
∴△ACD 的周长为10．
故答案为10．
14．如图，在四边形ABCD 中，∠A=90°，AD=4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P
是BC 边上一动点，则DP 长的最小值为
4
．
【考点】角平分线的性质；垂线段最短．
【分析】根据垂线段最短，当DP 垂直于BC 的时候，DP 的长度最小，则结合已知条
件，利用三角形的内角和定理推出∠ABD=∠CBD，由角平分线性质即可得
AD=DP，由AD 的长可得DP 的长．
【解答】解：根据垂线段最短，当DP⊥BC 的时候，DP 的长度最小，
∵BD⊥CD，即∠BDC=90°，又∠A=90°，
∴∠A=∠BDC，又∠ADB=∠C，
∴∠ABD=∠CBD，又DA⊥BA，BD⊥DC，
∴AD=DP，又AD=4，
∴DP=4．
故答案为：4．
15．如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=12cm，BC=6cm，一条线段PQ=AB，P，Q 两点
分别在线段AC 和AC 的垂线AX 上移动，则当AP=
6cm
或
12cm
时，才能使
△ABC 和△APQ 全等．
【考点】勾股定理；全等三角形的判定．
【分析】本题要分情况讨论：①Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP=BC=5cm，可据此求出
P 点的位置；
②Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP=AC，P、C 重合．
【解答】解：∵PQ=AB，
∴根据三角形全等的判定方法HL 可知，
①当P 运动到AP=BC 时，△ABC≌△QPA，即AP=BC=6cm；
②当P 运动到与C 点重合时，△QAP≌△BCA，即AP=AC=12cm；
故答案为：6cm 或12cm．
三、解答题（本题8 小题，）
16．在数学实践课上，老师在黑板上画出如图的图形，
（其中点B，F，C，E 在同一条
直线上）．并写出四个条件：①AB=DE，②∠1=∠2．③BF=EC，④∠B=∠E，交流中
老师让同学们从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，组成一个真
命题．
①请你写出所有的真命题；
②选一个给予证明．你选择的题设：
①③④
；结论：
②
．（均填写序号）
【考点】全等三角形的判定与性质；命题与定理．
【分析】①有三种情况是真命题：情况一：由AAS 证明△ABC≌△DEF，得出对应边
相等BC=EF，即可得出BF=EC；
情况二：先证BC=EF，由SAS 证明△ABC≌△DEF，即可得出∠1=∠2；
情况三：先证出BC=EF，再由ASA 证明△ABC≌△DEF，即可得出AB=DE；
②先证BC=EF，由SAS 证明△ABC≌△DEF，即可得出∠1=∠2．
【解答】解：①情况一：题设：①②④；结论：③；
情况二：题设①③④；结论：②；
情况三：题设②③④；结论：①．
②选择的题设：①③④；结论：②；
理由：：∵BF=EC，
∴BF+CF=EC+CF，即BC=EF，
在△ABC 和△DEF 中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠1=∠2；
故答案为：①③④；②．
17．如图，两车从路段AB 的两端同时出发，沿平行路线以相同的速度行驶，相同
时间后分别到达C，D 两地，CE⊥AB，DF⊥AB，C，D 两地到路段AB 的距离相等吗
为什么？
【考点】全等三角形的应用．
【分析】根据题意可得∠AEC=∠BFD=90°，AC=BD，再根据平行线的性质可得
∠A=∠B，然后再利用AAS 判定△AEC≌△BFD，进而可得CE=DF．
【解答】解：C，D 两地到路段AB 的距离相等，
理由：∵CE⊥AB，DF⊥AB，
∴∠AEC=∠BFD=90°，
∵AC∥BD，
∴∠A=∠B，
在△AEC 和△BFD 中
，
∴△AEC≌△BFD（AAS），
∴CE=DF，
∴C，D 两地到路段AB 的距离相等．
18．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1 的正方形）中完成下列各题：（用直
尺画图）
（1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE 对称的△A1B1C1；
（2）在DE 上画出点P，使PB1+PC 最小；
（3）在DE 上画出点Q，使QA+QC 最小．
【考点】轴对称-最短路线问题．
【分析】（1）从三角形各顶点向DE 引垂线并延长相同的长度，找到对应点，顺次
连接；
（2）根据两点之间线段最短，连接B1C 即可；
（3）利用轴对称图形的性质可作点A 关于直线DE 的对称点A′，连接A′C，交直线
DE 于点Q，点Q 即为所求．
【解答】解：如图所示：
（1）△A1B1C1即为所求．
（2）连接B1C 与直线DE 的交点P 即为所求．
（3）作点A 关于直线DE 的对称点A′，连接A′C，交直线DE 于点Q，点Q 即为所求．
19．某中学八年级（1）班数学课外兴趣小组在探究：“n 边形共有多少条对角线”
这一问题时，设计了如下表格：
多边形的边数
4
5
6
7
8
…
从多边形一个顶点出发可
引起的对角线条数
1
2
3
4
5
…
多边形对角线的总条数
2
5
9
14
20
…
（1）探究：假若你是该小组的成员，请把你研究的结果填入上表；
（2）猜想：随着边数的增加，多边形对角线的条数会越来越多，从n 边形的一个顶
点出发可引的对角线条数为 （
n
3
﹣
））
，n 边形对角线的总条数为
（
n ≥
3 ）
．
（3）应用：10 个人聚会，每不相邻的人都握一次手，共握多少次手？
【考点】多边形的对角线．
【分析】（1）根据多边形的性质，可得答案；
（2）根据多边形的对角线，可得答案；
（3）根据多边形的对角线，可得答案．
【解答】解：
多边形的边数
4
5
6
7
8
…
从多边形一个顶点出发可
引起的对角线条数
1
2
3
4
5
…
多边形对角线的总条数
2
5
9
14
20
…
（1）探究：假若你是该小组的成员，请把你研究的结果填入上表；
（2）猜想：随着边数的增加，多边形对角线的条数会越来越多，从n 边形的一个顶
点出发可引的对角线条数为 （n
3
﹣）），n 边形对角线的总条数为
（n≥3）．
（3）
=
=35 次，
20．如图，把长方形ABCD 沿对角线BD 折叠，重合部分为△EBD．
（1）求证：△EBD 为等腰三角形．
（2）图中有哪些全等三角形？
（3）若AB=6，BC=8，求△DC′E 的周长．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】（1）根据矩形的性质得到∠BAE=∠DCE，AB=CD，再由对顶角相等可得
∠AEB=∠CED，推出△AEB≌△CED，根据等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）根据全等三角形的判定解答即可；
（3）根据三角形周长即可得到结论．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD 为矩形，
∴∠BAE=∠DCE，AB=CD，
在△AEB 和△CED 中，
，
∴△AEB≌△CED（AAS），
∴BE=DE，
∴△EBD 为等腰三角形．
（2）全等三角形有：△EAB≌△EC'D；△ABD≌△CDB；△CDB≌△C'DB；
△ABD≌△C'DB；
（3）△DC′E 的周长=C'D+C'E+ED=AB+AE+ED=AB+AD=6+8=14．
21．如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=60°，BE 是中线，延长BC 到D，使CD=CE，连接
DE，若△ABC 的周长是24，BE=a，则△BDE 的周长是多少？
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】根据在△ABC 中，AB=AC，∠A=60°，可得△ABC 的形状，再根据△ABC 的周
长是24，可得AB=BC=AC=8，根据BE 是中线，可得CE 的长，∠EBC=30°，根据
CD=CE，可得∠D=∠CED，根据∠ACB=60°，可得∠D，根据∠D 与∠EBC，可得BE 与
DE 的关系，可得答案．
【解答】解：∵在△ABC 中，AB=AC，∠A=60°，
∴△ABC 是等边三角形，
∵△ABC 的周长是24，
∴AB=AC=BC=8，
∵BE 是中线，
∴CE= AC=4，∠EBC= ∠ABC=30°，
∵CD=CE，
∴∠D=∠CED，
∵∠ACB 是△CDE 的一个外角，
∴∠D+∠CED=∠ACB=60°
∴∠D=30°，
∴∠D=∠EBC，
∴BE=DE=a，
∴△BED 周长是DE+BE+BD=a+a+（8+4）=2a+12．
22．如图1，AD 平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB=DC．
（1）如图2，AD 平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD＜90°．求证：DB=DC．
（2）如图3，四边形ABCD 中，∠B=60°，∠C=120°，DB=DC=2，则AB
AC=
﹣
？
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）证明△DFC≌△DEB 即可．
（2）先证明△DFC≌△DEB，再证明△ADF≌△ADE，结合BD 与EB 的关系即可解决
问题．
【解答】（1）证明：如图②中，DE⊥AB 于E，DF⊥AC 于F，
∵DA 平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∵∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°，
∴∠B=∠FCD，
在△DFC 和△DEB 中，
，
∴△DFC≌△DEB，
∴DC=DB．
（2）解：如图③连接AD、DE⊥AB 于E，DF⊥AC 于F，
∵∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°，
∴∠B=∠FCD，
在△DFC 和△DEB 中，
，
∴△DFC≌△DEB，
∴DF=DE，CF=BE，
在Rt△ADF 和Rt△ADE 中，
，
∴△ADF≌△ADE，
∴AF=AE，
∴AB
AC=
﹣
（AE+BE）﹣（AF
CF
﹣
）=2BE，
在Rt△DEB 中，∵∠DEB=90°，∠B=∠EDB=60°，BD=2，
∴BE=1，
∴AB
AC=2
﹣
．
23．（1）发现：如图1，点A 为线段BC 外一动点，且BC=a，AB=b．
①填空：当点A 位于
CB
的延长线上
时，线段AC 的长取得最大值，且最大值为
a + b
（用含a，b 的式子表示）
（2）应用：点A 为线段BC 外一动点，且BC=3，AB=1，如图2 所示，分别以AB、AC 为
边，作等边三角形ABD 和等边三角形ACE，连接CD，BE．
①请找出图中与BE 相等的线段，并说明理由；
②直接写出线段BE 长的最大值．
【考点】三角形综合题；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【分析】（1）根据点A 为线段BC 外一动点，且BC=a，AB=b，可得当点A 位于CB 的
延长线上时，线段AC 的长取得最大值，且最大值为BC+AB=a+b；
（2）①根据等边三角形ABD 和等边三角形ACE，可得△CAD≌△EAB（SAS），根据
全等三角形的性质可得CD=BE；
②根据全等三角形的性质可得，线段BE 长的最大值=线段CD 长的最大值，而当
线段CD 的长取得最大值时，点D 在CB 的延长线上，此时CD=3+1=4，可得BE=4．
【解答】解：（1）如图1，∵点A 为线段BC 外一动点，且BC=a，AB=b，
∴当点A 位于CB 的延长线上时，线段AC 的长取得最大值，且最大值为
BC+AB=a+b．
故答案为：CB 的延长线上，a+b；
（2）①CD=BE．
理由：如图2，∵等边三角形ABD 和等边三角形ACE，
∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
即∠CAD=∠EAB，
在△CAD 和△EAB 中，
，
∴△CAD≌△EAB（SAS），
∴CD=BE；
②线段BE 长的最大值为4．
理由：∵线段BE 长的最大值=线段CD 长的最大值，
∴当线段CD 的长取得最大值时，点D 在CB 的延长线上，
此时CD=3+1=4，
∴BE=4．
