第一学期
初三数学期中试卷
一、选择题（共10 个小题，每小题3 分，共30 分）
1. 抛物线
的对称轴是直线（ ）
(A)
(B)
(C)
(D)
2.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A、等腰梯形 B、平行四边形 C、等边三角形 D、矩形
3.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠A =40°，则∠OCB 等于( )
A．60°
B．50° C．40°
D．30°
第3 题图 第4 题图
4. 已知二次函数y=ax2＋bx＋c 的图象如右图所示，则下列结论中正确的是 ( )
A．a>0 B．c＜0 C．
D．a＋b＋c>0
s
5.将三角形绕直线旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（ ）．
/
6. 若将抛物线y=
先向左平移2 个单位，再向下平移1 个单位得到一个新的抛物线，则新抛物线
的顶点坐标是（ ）
2
A．
B．
C．
D．
i
7．如图，在⊙O 中，直径AB⊥弦CD 于E，连接BD，若∠D=30°,BD=2，则AE 的长为( )
V
A．2 B．3 C．4 D．5
F
8. 将抛物线
绕原点旋转180°，所得抛物线的解析式是（ ）
i
A．
B．
C．
D．
9.如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y=x 的图象被⊙P 截得
的弦AB 的长为
，则a 的值是（ ）
A. 4 B.
C.
D.
10. 如图，在
中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，动点P 从点A 出发，以每秒1cm 的速度，沿A
B
C 的方向运动，到达点C 时停止.设
,运动时间为t 秒，则能反映y 与t 之间函数关系的
大致图象是 ( ).
二、填空题（共6 个小题，每小题3 分，共18 分） .
r
11.
的解是
那么抛物线
与轴的两个
交点的坐标分别是 ______________．
12.. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象
z ,写出一条此函数的性质____________．
第12 题图 第13 题图
13.如图，
的半径为1，
是
的内接等边三角形，点D，E 在圆上，四边形
为矩形，
这个矩形的面积是_______________.
T
14.如图，二次函数
的图象的对称轴是直线x＝1，则下列结论：
A
①
②
③
④
q
⑤当
时，y 随x 的增大而减小，其中正确的是
.
第14 题图 第15 题图
15.如图，⊙O 的外切正六边形ABCDEF 的边长为2，则图中阴影部分的面积为__________
16. 如图，一段抛物线：
（0≤x≤2），记为
，它与x 轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转
180°得C2 ，交x 轴于点A2 ；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x 轴于点A3；… ，如此进行下去，直至
得C10．
=
（1）请写出抛物线C2的解析式： ；
（2）若P（19，a）在第10 段抛物线C10上，则a =_________．
三、解答题（每小题5 分,共20 分）
17.已知二次函数
在
与
的函数值相等．
（1）求二次函数的解析式；
3568895
（2）若一次函数
的图象与二次函数的图象都经过点A（
，
），求m 与k 的值。
18.如图，四边形ABCD 内接于⊙O，BC 的延长线与AD 的延长线相交于点E，且DC=DE．
求证：∠A=∠AEB．
19. 已知E 为正△ABC 内任意一点. 求证: 以AE、BE、CE 为边可以构成一个三角形. 若∠BEC=113,
∠AEC=123, 求构成三角形的各角度数.
20. 二次函数
的部分图象如图所示，其中图象与x 轴交于点A（－1,0），与y 轴交于
点C（0，－5），且经过点D（3，－8）.
（1）求此二次函数的解析式；
（2）将此二次函数的解析式写成
的形式，并直接写出顶点坐标以及它与x 轴的另一
个交点B 的坐标.
四、解答题（每小题6 分,共36 分）
21. 在平面直角坐标系
中，过点
且平行于x 轴的直线，与直线
交于点A，点A 关
于直线
的对称点为B，抛物线
经过点A，B。
(1)求点A，B 的坐标；
(2)求抛物线
的表达式及顶点坐标；
(3)若抛物线
与线段AB 恰有一个公共点，结合函数的图象，求a 的取值范围。
22.已知P 为等边△ABC 外接圆弧BC 上一点，求证：PA=PB+PC.
23.某食品零售店为食品厂代销一种馒头，未售出的馒头可退回厂家，经统计销售情况发现，当这种
馒头的单价定为7 角时，每天卖出160 个，在此基础上，这种馒头的单价每提高1 角时，该零售店每天
就会少卖出20 个.考虑了所有因素后，该零售店每个馒头的成本是5 角.
设这种馒头的单价为
角，零售店每天销售这种馒头所获得的利润为
角.
(1)用含
的代数式分别表示出每个馒头的利润与卖出的馒头个数；
(2)求
与
之间的函数表达式；
(3)当馒头单价定为多少角时，该零售店每天销售这种馒头获得的利润最大？最大利润为多少？
24. (1)如图①, 已知在△ABC 中, AB=AC, P 是△ABC 内部任意一点, 将AP 绕A 顺时针旋转至AQ,
使∠QAP =∠BAC, 连接BQ、CP. 求证: BQ = CP.
(2) 如图②,将点P 移到等腰三角形ABC 之外, (1)中的条件不变, “BQ=CP” 还成立吗? 并证明你的结
论。
25.已知：如图，AB 是⊙O 的直径，∠BAC=30°，M 是OA 上一点，过M 作AB 的垂线交AC 于点N，
交BC 延长线于E，直线CF 交EN 于F，且∠ECF=∠E.
（1）求证：CF 是⊙O 的切线；
（2）设⊙O 的半径为1，且AC=CE，求MO 的长.
26. 有这样一个问题：探究函数
的图象与性质．
小东根据学习函数的经验，对函数
的图象与性质进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完整：
(1) 函数
的自变量x 的取值范围是___________；
(2) 下表是y 与x 的几组对应值．
x
…
0
2
3
4
5
…
y
…
3
m
…
求m 的值；
(3) 如下图，在平面直角坐标系
中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画
出该函数的图象；
(4) 进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是(2，3)，结合函数的图象，写出该函
数的其它性质（一条即可）： ．
五、解答题 （本题共16 分，第27 题5 分，第28 题5 分，第29 题6 分）
27．已知二次函数
与x 轴有两个交点．
（1）求k 的取值范围；
（2）当k 取最小的整数时，求抛物线 的解析式并化成顶点式.
（3）将(2)中求得的抛物线在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分不变，得到一个
新图象．请你画出这个新图象，并求出新图象与直线y=x+m 有三个不同公共点时m 的值．
28.如图，已知∠ACD=900,MN 是过点A 的直线，AC=CD，DB⊥MN 于点B．
（1）在图1 中，过点D 作CE⊥CB,与直线MN 于点E，
①依题意补全图形；
②求证：△BCE 是等腰直角三角形；
③图1 中，线段BD、AB、CB 满足的数量关系是 ；
（2）当MN 绕A 旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，其它条件不变.
在图2 中，线段BD、AB、CB 满足的数量关系是 ；
在图3 中，线段BD、AB、CB 满足的数量关系是 ；
（3）MN 在绕点A 旋转过程中，当∠BCD=300，BD=
时，则CB= ．
29．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线
与x 轴交于A、B 两点（点A 在点B 的左侧），与
y 轴交于点C，点B 的坐标为（3，0），将直线
沿y 轴向上平移3 个单位长度后恰好经过B、C 两
点.
（1）求直线BC 及抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，点P 在抛物线的对称轴上，且∠APD =∠ACB，求点P 的坐标；
（3）将直线AC 绕点C 顺时针旋转45°到直线l1 ，过A 作AE⊥l1于点E，将直线BC 绕点C 逆时针
旋转45°到直线l2 ，过B 作BF⊥l2于点F，将直线AB 绕点A 顺时针旋转45°到直线l3，过B 作BG⊥l3
于点G，连接EF，CG，探索线段EF 与线段CG 的关系，并直接写出结论.
参考答案
1.A 2.D 3.B 4.D 5.B 6.B 7.B 8.D 9.B 10.C
11.(-3,0)，（5,0）
12.a-b+c=0
13.
14.②,③,④.
15.
16.（1）y=-x2+6x-8；(2)a=1；
17.(1)对称轴：x=
,所以
，所以
，所以解析式为
.
（2）当x=-3 时，m=-6，所以k=4.
18.证明：∵四边形ABCD 内接于⊙O，∴∠A+∠BCD=180°，
∵∠BCD+∠DCE=180°，∴∠A=∠DCE，∵DC=DE∴∠E=∠DCE，∴∠A=∠AEB．
19.∵△ABC 是等边三角形∴AB=BC=CA；∠ACB=60°
∴将△BEC 绕点C 逆时针旋转60°，至△ACD，BC 与AC 重合∴△ADC≌△BEC
∴CE=CD；BE=AD；∠DCE=60°；∠ADC=∠AEC=123°
∴△DCE 是等边三角形∴DE=CE；∠DEC=∠CDE=60°∴△ADE 即所构三角形
∴∠ADE=∠ADC-60°=123°-60°=63°∠AED=∠AEC-60°=113°-60°=53°
∴∠DAE=180°-63°-53°=64°∴构成三角形的各角度数分别为：63°、53°、 64°
20.
21. ①当y＝2，则2＝x－1，x＝3，∴A(3，2)，∵AB 关子x＝1 对称，∴B(－1，2)．
②把(3，2)(－1，2)代入得：
所以函数解析式为y=x2-2x-1,其顶点坐标为（1,-
2）．
③如图，当C2过A 点，B 点时为临界，代入A(3，2)则9a=2，
,代入B(－1，2)则a＝2.
.
22.在PA 上截取PE=PC,连接CE
∵△ABC 是等边三角形∴∠APC=∠ABC=60°∴△PCE 是等边三角形
∴PC=CE,∠PCE=∠ACB=60°∴∠PCB=∠ACE
∵BC=AC,∠PBC=∠CAE∴△ACE≌△PBC∴PB=AE∴PA=PB+PC
23.（1）设这种面包单价为x 角，得 160-（ x-7）×20=100，解得x=10，
利润为100×（10-5）=500 角=50 元，
答：这种面包的单价定为10 角，这天卖面包的利润是50 元．
（2）设这种面包单价为y 角，由题意得，[160-20(y-7)](y-5)=480,化简得，y2-20y+99=0，
解得 y1=9，y2=11，答：这种面包的单价定为9 角或11 角（0.9 元或1.1 元）．
24.证明：（1）∵∠QAP=∠BAC，∴∠QAP-∠BAP=∠BAC-∠BAP，即∠QAB=∠CAP；
在△BQA 和△CPA 中，AQ＝AP,∠QAB＝∠CAP,AB＝AC,∴△BQA≌△CPA（SAS）；∴BQ=CP．
（2）BQ=CP 仍然成立，理由如下：
∵∠QAP=∠BAC，∴∠QAP+∠PAB=∠BAC+∠PAB，即∠QAB=∠PAC；
在△QAB 和△PAC 中，AQ＝AP,∠QAB＝∠PAC,AB＝AC,∴△QAB≌△PAC（SAS），∴BQ=CP．
25.（1）证明：如图，连接OC，
∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∵∠BAC=30°，∴∠ABC=60°；
在Rt△EMB 中，∵∠E+∠MBE=90°，∴∠E=30°；
∵∠E=∠ECF，∴∠ECF=30°，∴∠ECF+∠OCB=90°；
∵∠ECF+∠OCB+∠OCF=180°，∴∠OCF=90°，∴CF 为⊙O 的切线；
（2）在Rt△ACB 中，∠A=30°，∠ACB=90°，∴AC=ABcos30°=
，BC=ABsin30°=1；
∵AC=CE，∴BE=BC+CE=1+
，在Rt△EMB 中，∠E=30°，∠BME=90°，
∴MB=BEsin30°=
，∴MO=MB-OB=
．
26.（1）x≠0；（2）当x=3 时，m=
；
（3）注：要用光滑的曲线连接，图象不能与y 轴相交；
（4）函数的性质有很多(写对一条得2 分)．如：
①当x<0 时，y 值随着x 值的增大而减小；
②该函数没有最大值；
③该函数图象与y 轴没有交点．
27. 解：（1）∵抛物线与x 轴有两个交点，
∴△=4(k+1)2-4（k2-2k-3）=16k+16＞0．∴k＞-1．∴k 的取值范围为k＞-1．
（2）∵k＞-1，且k 取最小的整数，∴k=0．∴y=x2-2x-3=(x-1)2-4．
（3）翻折后所得新图象如图所示．
平移直线y=x+m 知：直线位于l1和l2时，它与新图象有三个不同的公共点．
①当直线位于l1时，此时l1过点A（-1，0），
∴0=-1+m，即m=1．
②∵当直线位于l2时，此时l2与函数y=-x2+2x+3（-1≤x≤3）的图象有一个公共点
∴方程x+m=-x2+2x+3，即x2-x-3+m=0 有两个相等实根．
∴△=1-4（m-3）=0，即m=
.综上所述，m 的值为1 或
.
28.解：（1）如图（2）：AB-BD=
CB．
证明：过点C 作CE⊥CB 于点C，与MN 交于点E，
∵∠ACD=90°，∴∠ACE=90°-∠DCE，∠BCD=90°-∠ECD，∴∠BCD=∠ACE．
∵DB⊥MN，∴∠CAE=90°-∠AFC，∠D=90°-∠BFD，
∵∠AFC=∠BFD，∴∠CAE=∠D，又∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE=DB，CE=CB，
∴△ECB 为等腰直角三角形，∴BE=
CB．
又∵BE=AB-AE，∴BE=AB-BD，∴AB-BD=
CB．
如图（3）：BD-AB=
CB．
证明：过点C 作CE⊥CB 于点C，与MN 交于点E，
∵∠ACD=90°，∴∠ACE=90°+∠ACB，∠BCD=90°+∠ACB，∴∠BCD=∠ACE．
∵DB⊥MN，∴∠CAE=90°-∠AFB，∠D=90°-∠CFD，
∵∠AFB=∠CFD，∴∠CAE=∠D，
又∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE=DB，CE=CB，∴△ECB 为等腰直角三角形，∴BE=
CB．
又∵BE=AE-AB，∴BE=BD-AB，∴BD-AB=
CB．
