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江苏省扬州市宝应县九年级（上）月考数学试卷（9 月份）
一、选择题（本大题共8 小题，每小题3 分，共24 分）
1．（3 分）已知⊙O 的半径为6cm，P 到圆心O 的距离为7cm，则点P 在⊙O（ ）
A．外部B．内部C．上
D．不能确定
2．（3 分）如图，已知，∠BAC=35°，
=80°，那么∠BOD 的度数为（ ）
A．75°
B．80°
C．135° D．150°
3．（3 分）如图，已知⊙O 的半径为13，弦AB 长为24，则点O 到AB 的距离是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
4．（3 分）下列命题：①长度相等的弧是等弧；②任意三点确定一个圆；③相等的圆心角所对
的弦相等；④外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，其中真命题共有（ ）
A．1 个B．2 个C．3 个D．0 个
5．（3 分）如图，AB 与⊙O 相切于点B，AO 的延长线交⊙O 于点C，连接BC，若
∠ABC=120°，OC=3，则
的长为（ ）
A．π B．2π
C．3π
D．5π
6．（3 分）若一个圆锥的侧面积是底面积的2 倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为
（ ）
A．120° B．180° C．240° D．300°
7．（3 分）如图，四边形ABCD 是圆内接四边形，AB 是圆的直径，若∠BAC=20°，则∠ADC 等
于（ ）
A．110° B．100° C．120° D．90°
8．（3 分）下列命题中，假命题的个数是（ ）
①垂直于半径的直线一定是这个圆的切线；
②圆有且只有一个外切三角形；
③三角形有且只有一个内切圆；
④三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分）
9．（3 分）如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则△ABC 的内切圆半径r= ．
10．（3 分）如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O，则∠CAD= 度．
11．（3 分）若圆的一条弦把圆分成度数的比为1：4 的两条弧，则该弦所对劣弧的所对的圆周
角等于 ．
12．（3 分）已知⊙O 的半径是4，圆周角∠BAC=80°，则
的长为 ．
13．（3 分）将一个正十边形绕其中心至少旋转 °就能和本身重合．
14．（3 分）图中△ABC 的外心坐标是 ．
15．（3 分）如图，已知，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=13，AC=5，⊙O 是ABC 的内切圆，则这
个圆的半径是 ．
16．（3 分）圆心角为120°，弧长为12π 的扇形半径为 ．
17．（3 分）如图，小正方形构成的网络中，半径为1 的⊙O 在格点上，则图中阴影部分两个小
扇形的面积之和为 （结果保留π）．
18．（3 分）已知⊙O 的直径CD 为4，
的度数为80°，点B 是
的中点，点P 在直径CD 上
移动，则BP+AP 的最小值为 ．
三.解答题（本大题共10 小题，共96 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（8 分）已知，如图，AB 是⊙O 的直径，∠BCD=45°．求证：AD=BD．
20．（8 分）已知，如图，在扇形OAC 中，∠AOC=60°，⊙F 与OA、OC 相切于点D、E，与
相
切于点F，且O、F、B 在同一直线上，⊙F 的半径为1，求扇形OAC 的面积．
21．（8 分）如图，BC 是⊙O 的一个内接正五边形的一边，请用等分圆周的方法，在⊙A 中用
尺规作图作出一个⊙A 的内接正五边形（请保留作图痕迹）．
22．（8 分）如图，已知，BC 是⊙O 的弦，半径OA⊥BC，点D 在⊙O 上，且∠ADB=25°，求
∠AOC 的度数．
23．
（10 分）已知，如图，AF 是⊙O 的直径，P 是AF 延长线上的一点，PD 切O 于点D，E 是AF
上一点，PD=PE，DE 的延长线交O 于点C，问CO 与AF 的关系是什么？为什么？
24．（10 分）如图，PA，PB 分别与⊙O 相切于A，B 两点，∠ACB=60°．
（1）求∠P 的度数；
（2）若⊙O 的半径长为4cm，求图中阴影部分的面积．
25．（10 分）已知：如图A 是⊙O 上一点，半径OC 的延长线与过点A 的直线交于B 点，
OC=BC，∠B=30°．
（1）求证：AB 是⊙O 的切线；
（2）若∠ACD=45°，OC=2，求弦CD 的长．
26．（10 分）已知，如图，OC 是⊙O 的半径，AB 是弦，OC⊥AB 于D，AB=8，OD=CD+1，求
⊙O 的半径．
27．（12 分）阅读以下内容，并回答问题：
若一个三角形的两边平方和等于第三边平方的两倍，我们称这样的三角形为奇异三角形．
（1）命题“等边三角形一定是奇异三角形”是 命题（填“真”或“假”）；
（2）在△ABC 中，已知∠C=90°，△ABC 的内角∠A、∠B、∠C 所对边的长分别为a、b、c，且b
＞a，若Rt△ABC 是奇异三角形，求a：b：c；
（3）如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点（点C 与点A、B 不重合），D 是半圆
的
中点，C、D 在直径AB 的两侧，若存在点E，使AE=AD，CB=CE．求证：△ACE 是奇异三角形．
28．（12 分）已知，AB 是⊙O 的直径，点P 在弧AB 上（不含点A、B），把△AOP 沿OP 对折，
点A 的对应点C 恰好落在⊙O 上．
（1）当P、C 都在AB 上方时（如图1），判断PO 与BC 的位置关系（只回答结果）；
（2）当P 在AB 上方而C 在AB 下方时（如图2），（1）中结论还成立吗？证明你的结论；
（3）当P、C 都在AB 上方时（如图3），过C 点作CD⊥直线AP 于D，且CD 是⊙O 的切线，证
明：AB=4PD．
江苏省扬州市宝应县九年级（上）月考数学试卷（9 月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8 小题，每小题3 分，共24 分）
1．（3 分）（2016 秋•宝应县月考）已知⊙O 的半径为6cm，P 到圆心O 的距离为7cm，则点P
在⊙O（ ）
A．外部B．内部C．上
D．不能确定
【分析】直接根据点与圆的位置关系即可得出结论．
【解答】解：∵6cm＜7cm，
∴点P 在圆外．
故选A．
【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．
2．（3 分）（2016 秋•宝应县月考）如图，已知，∠BAC=35°，
=80°，那么∠BOD 的度数为（
）
A．75°
B．80°
C．135° D．150°
【分析】先根据圆周角定理得出∠BOC 的度数，再由
=80°求出∠COD 的度数，进而可得出
结论．
【解答】解：∵∠BAC=35°，
∴∠BOC=70°．
∵
=80°，
∴∠COD=80°，
∴∠BOD=70°+80°=150°．
故选D．
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都
等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
3．（3 分）（2014•毕节市）如图，已知⊙O 的半径为13，弦AB 长为24，则点O 到AB 的距离是
（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】过O 作OC⊥AB 于C，根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OC 即可．
【解答】解：过O 作OC⊥AB 于C，
∵OC 过O，
∴AC=BC=
AB=12，
在Rt△AOC 中，由勾股定理得：OC=
=5．
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是求出OC 的长．
4．（3 分）（2015 秋•丹阳市期中）下列命题：①长度相等的弧是等弧；②任意三点确定一个圆；
③相等的圆心角所对的弦相等；④外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，其中真
命题共有（ ）
A．1 个B．2 个C．3 个D．0 个
【分析】根据等弧的定义对①进行判断；根据确定圆的条件对②进行判断；根据圆心角、弧、弦
的关系对③进行判断；根据圆周角定理的推论对④进行判断．
【解答】解：完全重合的弧为等弧，长度相等的弧不一定是等弧，所以①错误；
任意不共线的三点确定一个圆，所以②错误；
在同圆或等圆轴，相等的圆心角所对的弦相等，所以③错误；
外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，所以④正确．
故选A．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结
论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如
果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
5．（3 分）（2012•泰安）如图，AB 与⊙O 相切于点B，AO 的延长线交⊙O 于点C，连接BC，若
∠ABC=120°，OC=3，则
的长为（ ）
A．π B．2π
C．3π
D．5π
【分析】连接OB，由于AB 是切线，那么∠ABO=90°，而∠ABC=120°，易求∠OBC，而
OB=OC，那么∠OBC=∠OCB，进而求出∠BOC 的度数，再利用弧长公式即可求出
的长．
【解答】解：连接OB，
∵AB 与⊙O 相切于点B，
∴∠ABO=90°，
∵∠ABC=120°，
∴∠OBC=30°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=30°，
∴∠BOC=120°，
∴
的长为
=
=2π，
故选B．
【点评】本题考查了切线的性质、弧长公式，解题的关键是连接OB，构造直角三角形．
6．（3 分）（2012•南充）若一个圆锥的侧面积是底面积的2 倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆
心角为（ ）
A．120° B．180° C．240° D．300°
【分析】根据圆锥的侧面积是底面积的2 倍可得到圆锥底面半径和母线长的关系，利用圆锥
侧面展开图的弧长=底面周长即可得到该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数．
【解答】解：设母线长为R，底面半径为r，
∴底面周长=2πr，底面面积=πr2，侧面面积=πrR，
∵侧面积是底面积的2 倍，
∴2πr2=πrR，
∴R=2r，
设圆心角为n，有
=2πr=πR，
∴n=180°．
故选：B．
【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两
者之间的两个对应关系：
（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；
（2）圆锥的底面周长
等于侧面展开图的扇形弧长，以及利用扇形面积公式求出是解题的关键．
7．（3 分）（1998•海淀区）如图，四边形ABCD 是圆内接四边形，AB 是圆的直径，若
∠BAC=20°，则∠ADC 等于（ ）
A．110° B．100° C．120° D．90°
【分析】由AB 是圆的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACB=90°，又由
∠BAC=20°，即可求得∠B 的度数，然后由圆的内接四边新的性质，即可求得∠ADC 的度数．
【解答】解：∵AB 是圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=20°，
∴∠B=90°﹣∠BAC=70°，
∵四边形ABCD 是圆内接四边形，
∴∠ADC=180°﹣∠B=110°．
故选A．
【点评】此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合
思想的应用．
8．（3 分）（2016 秋•仪征市校级月考）下列命题中，假命题的个数是（ ）
①垂直于半径的直线一定是这个圆的切线；
②圆有且只有一个外切三角形；
③三角形有且只有一个内切圆；
④三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据切线的判定定理判断①；根据圆的外切三角形的定义判断②；根据三角形的内切
圆的定义判断③；根据三角形内心的定义判断④．
【解答】解：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故①是假命题；
经过圆上的三点作圆的切线，三条切线相交，即可得到圆的一个外切三角形，所以一个圆有
无数个外切三角形，故②是假命题；
三角形的内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，而交点只有一个，所以三角形有且只有一
个内切圆，故③是真命题；
三角形的内心是三个内角平分线的交点，内心到三角形三边的距离相等，故④是假命题．
故选C．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断
命题的真假关键是要熟悉课本中的定义与定理．
二、填空题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分）
9．（3 分）（2014 秋•广东期末）如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则△ABC 的内
切圆半径r=
1
．
【分析】首先求出AB 的长，再连圆心和各切点，利用切线长定理用半径表示AF 和BF，而它
们的和等于AB，得到关于r 的方程，即可求出．
【解答】解：如图，设△ABC 的内切圆与各边相切于D，E，F，连接OD，OE，OF，
则OE⊥BC，OF⊥AB，OD⊥AC，
设半径为r，CD=r，
∵∠C=90°，BC=4，AC=3，
∴AB=5，
∴BE=BF=4
r
﹣，AF=AD=3
r
﹣，
∴4
r
﹣+3
r=5
﹣
，
∴r=1．
∴△ABC 的内切圆的半径为 1．
故答案为；1．
【点评】此题主要考查了勾股定理以及直角三角形内切圆半径求法等知识，熟练掌握切线长
定理和勾股定理是解题的关键．
10．（3 分）（2015•福建）如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O，则∠CAD=
36
度．
【分析】圆内接正五边形ABCDE 的顶点把圆五等分，即可求得五条弧的度数，根据圆周角的
度数等于所对的弧的度数的一半即可求解．
【解答】解：∵五边形ABCDE 是正五边形，
∴
=
=
=
=
=72°，
∴∠CAD=
×72°=36°．
故答案为36．
【点评】本题考查了正多边形的计算，理解正五边形的顶点是圆的五等分点是关键．
11．（3 分）（2016 秋•宝应县月考）若圆的一条弦把圆分成度数的比为1：4 的两条弧，则该弦
所对劣弧的所对的圆周角等于
36°
．
【分析】圆的一条弦把圆分成度数之比为1：4 的两条弧，则所分的劣弧的度数是72°，则该弦
所对劣弧的所对的圆周角等于36°．
【解答】解：如图所示，弦AB 将⊙O 分成了度数比为1：4 两条弧．
连接OA、OB；
则∠AOB=
×360°=72°；
弦所对劣弧的所对的圆周角∠ADB=
∠AOB=36°；
故答案为36°．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系及圆周角定理；在解答此类问题时要注意是在“同
圆或等圆中”才适用，这是此类问题的易错点．
12．（3 分）（2016 秋•宝应县月考）已知⊙O 的半径是4，圆周角∠BAC=80°，则
的长为
或
．
【分析】根据题意画出图形，再由弧长公式即可得出结论．
【解答】解：∵⊙O 的半径是4，圆周角∠BAC=80°，
∴∠BOC=2×80°=160°，
∴劣弧BC=
=
；
优弧BC=8π﹣
=
．
故答案为：
或
．
【点评】本题考查的是圆周角定理，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
13．（3 分）（2016 秋•宝应县月考）将一个正十边形绕其中心至少旋转
36
°就能和本身重
合．
【分析】得出每个中心角的度数，即可得出答案．
【解答】解：∵多边形每个中心角为：
=36°，
该图形绕其中心至少旋转36°和本身重合．
故答案为：36．
【点评】此题主要考查了旋转对称图形以及正多边形的性质，正确掌握正多边形的性质是解
题关键．
14．（3 分）（2014 秋•阜宁县校级期中）图中△ABC 的外心坐标是 （
5 ，
2 ）
．
【分析】根据三角形外心的定义作三角形两边的垂直平分线，根据网格的特点，很容易作出
AB 与BC 的中垂线，则它们交点的坐标为所求．
【解答】解：作BC 和AB 的垂直平分线，它们相交于点P，如图，
则点P 为△ABC 的外心，
P 点坐标为（5，2）．
故答案为（5，2）．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分
线的交点，叫做三角形的外心．理解坐标与图形性质．
15．（3 分）（2016 秋•宝应县月考）如图，已知，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=13，AC=5，⊙O
是ABC 的内切圆，则这个圆的半径是
2
．
【分析】根据三角形面积公式S△ABC=
•BC•AC=
（AB+BC+AC）•r 计算即可．
【解答】解：在Rt△ABC 中，∵∠C=90°，AB=13，AC=5，
∴BC=
=
=12，
设内切圆半径为r，则有
•BC•AC=
（AB+BC+AC）•r，
∴r=
=2．
故答案为2
【点评】本题考查三角形内切圆与内心，解题的关键是记住直角三角形的面积公式S△ABC=
•BC•AC=
（AB+BC+AC）•r，属于中考常考题型．
16．（3 分）（2015•昆明模拟）圆心角为120°，弧长为12π 的扇形半径为
18
．
【分析】根据弧长的公式l=
进行计算即可．
【解答】解：设该扇形的半径是r．
根据弧长的公式l=
，
得到：12π=
，
解得 r=18．
故答案为：18．
【点评】本题考查了弧长的计算．熟记公式是解题的关键．
17．
（3 分）
（2012•凉山州）如图，小正方形构成的网络中，半径为1 的⊙O 在格点上，则图中阴
影部分两个小扇形的面积之和为
（结果保留π）．
【分析】先根据直角三角形的性质求出∠ABC+∠BAC 的值，再根据扇形的面积公式进行解
答即可．
【解答】解：∵△ABC 是直角三角形，
∴∠ABC+∠BAC=90°，
∵两个阴影部分扇形的半径均为1，
∴S 阴影=
=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查的是扇形的面积及直角三角形的性质，熟知扇形的面积公式是解答此题的
关键．
18．（3 分）（2016 秋•宝应县月考）已知⊙O 的直径CD 为4，
的度数为80°，点B 是
的中
点，点P 在直径CD 上移动，则BP+AP 的最小值为
2
．
【分析】由翻折的性质可知：PB=PB′.
=40°，可求得∠B′EA=60°．当点B′、P、A 在一
条直线上时，PB+PA 有最小值，最小值为AB′．
【解答】解：过点B 关于CD 的对称点B′，连接AB′交CD 于点P，延长AO 交圆O 与点E，连接
B′E．
∵点B 与点B′关于CD 对称，
∴PB=PB′.
．
∴当点B′、P、A 在一条直线上时，PB+PA 有最小值，最小值为AB′．
∵点B 是
的中点，
∴
=120°．
∴∠B′EA=60°．
∴AB′=AE•sin60°=4×
=2
．
故答案为：2
．
【点评】本题主要考查的是翻折的性质、特殊锐角三角函数，求得∠B′EA=60°是解题的关键．
三.解答题（本大题共10 小题，共96 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（8 分）（2016 秋•宝应县月考）已知，如图，AB 是⊙O 的直径，∠BCD=45°．求证：
AD=BD．
【分析】根据圆周角定理得到∠ACB=90°，得到∠ACD=∠BCD，证明结论．
【解答】证明：∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB=90°，又∠BCD=45°，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴AD=BD．
【点评】本题考查的是圆周角定理，掌握半圆（或直径）所对的圆周角是直角是解题的关键．
20．（8 分）（2016 秋•宝应县月考）已知，如图，在扇形OAC 中，∠AOC=60°，⊙F 与OA、OC
相切于点D、E，与
相切于点F，且O、F、B 在同一直线上，⊙F 的半径为1，求扇形OAC 的
面积．
【分析】如图连接DF、EF．在Rt△OEF 中，利用30 度性质，求出OF，根据扇形面积公式计算
即可．
【解答】解：如图连接DF、EF．
∵OC、OA 是⊙F 的切线，
∴∠FOD=∠FOE=
AOC=30°，DF⊥OC，EF⊥OA，
∴∠ODF=∠OEF=90°，
∴OF=2EF=2，
∴OB=OF+BF=3，
∴S 扇形OAC=
=
π．
【点评】本题考查切线的性质、扇形的面积公式，直角三角形30 度角性质等知识，解题的关键
是熟练应用这些知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．
21．（8 分）（2016 秋•宝应县月考）如图，BC 是⊙O 的一个内接正五边形的一边，请用等分圆
周的方法，在⊙A 中用尺规作图作出一个⊙A 的内接正五边形（请保留作图痕迹）．
【分析】如图，①作∠EAF=∠BOA．②在⊙A 上截取
=
=
=
，则五边形EFGHL 即为
所求．
【解答】解：如图，①作∠EAF=∠BOA．
②在⊙A 上截取
=
=
=
．
五边形EFGHL 即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图、正多边形与圆等知识，解题的关键是理解题意，作
∠EAF=∠BOC 是关键，属于中考常考题型．
22．（8 分）（2016 秋•宝应县月考）如图，已知，BC 是⊙O 的弦，半径OA⊥BC，点D 在⊙O 上，
且∠ADB=25°，求∠AOC 的度数．
【分析】先根据垂径定理得到
=
，然后根据圆周角定理求解．
【解答】解：∵BC⊥OA，
∴
=
，
∴∠AOC=2∠ADB=2×25°=50°，
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这
条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．
23．（10 分）（2016 秋•宝应县月考）已知，如图，AF 是⊙O 的直径，P 是AF 延长线上的一点，
PD 切O 于点D，E 是AF 上一点，PD=PE，DE 的延长线交O 于点C，问CO 与AF 的关系是什
么？为什么？
【分析】连接OD，根据切线的性质可得∠ODC+∠EDP=90°，然后根据等边对等角，以及等量
代换得到∠C+∠CEO=90°，即可证得CO⊥AF．
【解答】解：CO⊥AF．
理由是：连接OD．
∵PD 是切线，
∴OD⊥PD，即∠ODP=90°，∠ODC+∠EDP=90°，
∵OC=OD，
∴∠C=∠ODC，
同理，∠PED=∠EDP，
∴∠C+∠PED=90°，
又∵∠CEO=∠PED，
∴∠C+∠CEO=90°，
∴∠COE=90°，
∴CO⊥AF．
【点评】本题考查了切线的性质以及等腰三角形的性质，已知切线的时常作的辅助线是连接
圆心和切点．
24．（10 分）（2015•南通）如图，PA，PB 分别与⊙O 相切于A，B 两点，∠ACB=60°．
（1）求∠P 的度数；
（2）若⊙O 的半径长为4cm，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）由PA 与PB 都为圆O 的切线，利用切线的性质得到OA 垂直于AP，OB 垂直于
BP，可得出两个角为直角，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2 倍，由已知∠C 的度
数求出∠AOB 的度数，在四边形PAOB 中，根据四边形的内角和定理即可求出∠P 的度数．
（2）由S 阴影=2×（S△PAO
S
﹣
扇形）则可求得结果．
【解答】解：连接OA、OB，
∵PA、PB 是⊙O 的切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
又∵∠AOB=2∠C=120°，
∴∠P=360°﹣（90°+90°+120°）=60°．
∴∠P=60°．
（2）连接OP，
∵PA、PB 是⊙O 的切线，
∴
APB=30°，
在Rt△APO 中，tan30°=
，
∴AP=
=
=4
cm，
∴S 阴影=2S△AOP
S
﹣
扇形=2×（
×4×
﹣
）=（16
﹣
）（cm2）．
【点评】此题考查了切线的性质，解直角三角函数，扇形面积公式等知识．此题难度不大，注意
数形结合思想的应用．
25．（10 分）（2016 秋•宝应县月考）已知：如图A 是⊙O 上一点，半径OC 的延长线与过点A
的直线交于B 点，OC=BC，∠B=30°．
（1）求证：AB 是⊙O 的切线；
（2）若∠ACD=45°，OC=2，求弦CD 的长．
【分析】（1）求证：AB 是⊙O 的切线，可以转化为证∠OAB=90°的问题来解决．
（2）作AE⊥CD 于点E，CD=DE+CE，因而就可以转化为求DE，CE 的问题，根据勾股定理就
可以得到．
【解答】（1）证明：如图，连接OA；
∵OC=BC，OA=OC，
∴OA=
OB．
∴∠OAB=90°，
∴AB 是⊙O 的切线；
（2）解：作AE⊥CD 于点E，
∵∠O=60°，
∴∠D=30°．
∵∠ACD=45°，AC=OC=2，
∴在Rt△ACE 中，CE=AE=
；
∵∠D=30°，
∴AD=2
，
∴DE=
AE=
，
∴CD=DE+CE=
+
．
【点评】本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和
这点（即为半径），再证垂直即可．
26．（10 分）（2016 秋•宝应县月考）已知，如图，OC 是⊙O 的半径，AB 是弦，OC⊥AB 于D，
AB=8，OD=CD+1，求⊙O 的半径．
【分析】连接OA，根据垂径定理求出AD，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答】解：连接OA，
设CD=x，则OD=x+1，
则⊙O 的半径为2x+1，
∵OC⊥AB，AB=8，
∴AD=
AB=4，
由勾股定理得，（2x+1）2+（x+1）2+16，
解得，x=
=
，
则⊙O 的半径为
．
【点评】本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分
弦所对的两条弧是解题的关键．
27．（12 分）（2014 秋•秦淮区期中）阅读以下内容，并回答问题：
若一个三角形的两边平方和等于第三边平方的两倍，我们称这样的三角形为奇异三角形．
（1）命题“等边三角形一定是奇异三角形”是 真 命题（填“真”或“假”）；
（2）在△ABC 中，已知∠C=90°，△ABC 的内角∠A、∠B、∠C 所对边的长分别为a、b、c，且b
＞a，若Rt△ABC 是奇异三角形，求a：b：c；
（3）如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点（点C 与点A、B 不重合），D 是半圆
的
中点，C、D 在直径AB 的两侧，若存在点E，使AE=AD，CB=CE．求证：△ACE 是奇异三角形．
【分析】（1）直接根据奇异三角形的定义直接得出结论；
（2）先根据勾股定理得出a2+b2=c2，再由Rt△ABC 是奇异三角形，且b＞a 可知a2+c2=2b2，把
a 当作已知条件表示出b，c 的值，进而可得出结论；
（3）连接BD，根据圆周角定理得出∠ACB=∠ADB=90°，在Rt△ACB 与在Rt△ADB 中可得
出AC2+BC2=AB2，AD2+BD2=AB2，根据点D 是半圆
的中点，得出
=
．故可得出
AD=BD．通过等量代换可得出AC2+CB2=2AD2．再由CB=CE，AE=AD 可得出
AC2+CE2=2AE2故可得出结论．
【解答】解：（1）∵若一个三角形的两边平方和等于第三边平方的两倍，我们称这样的三角形
为奇异三角形，
∴等边三角形一定是奇异三角形是真命题．
故答案为：真；
（2）∵∠C=90°，
∴a2+b2=c2①．
∵Rt△ABC 是奇异三角形，且b＞a，
∴a2+c2=2b2②．
由①②得：b=
a，c=
a．
∴a：b：c=1：
：
．
（3）连接BD．
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°．
在Rt△ACB 中，AC2+BC2=AB2，
在Rt△ADB 中，AD2+BD2=AB2，
∵点D 是半圆
的中点，∴
=
．
∴AD=BD．
∴AB2=AD2+BD2=2AD2．
∴AC2+CB2=2AD2．
又∵CB=CE，AE=AD，
∴AC2+CE2=2AE2．
∴△ACE 是奇异三角形．
【点评】本题考查的是奇异三角形的定义，熟知勾股定理及等边三角形的性质是解答此题的
关键．
28．（12 分）（2012•珠海）已知，AB 是⊙O 的直径，点P 在弧AB 上（不含点A、B），把△AOP
沿OP 对折，点A 的对应点C 恰好落在⊙O 上．
（1）当P、C 都在AB 上方时（如图1），判断PO 与BC 的位置关系（只回答结果）；
（2）当P 在AB 上方而C 在AB 下方时（如图2），（1）中结论还成立吗？证明你的结论；
（3）当P、C 都在AB 上方时（如图3），过C 点作CD⊥直线AP 于D，且CD 是⊙O 的切线，证
明：AB=4PD．
【分析】（1）PO 与BC 的位置关系是平行；
（2）（1）中的结论成立，理由为：由折叠可知三角形APO 与三角形CPO 全等，根据全等三角
形的对应角相等可得出∠APO=∠CPO，再由OA=OP，利用等边对等角得到∠A=∠APO，等
量代换可得出∠A=∠CPO，又根据同弧所对的圆周角相等得到∠A=∠PCB，再等量代换可
得出∠CPO=∠PCB，利用内错角相等两直线平行，可得出PO 与BC 平行；
（3）由CD 为圆O 的切线，利用切线的性质得到OC 垂直于CD，又AD 垂直于CD，利用平面
内垂直于同一条直线的两直线平行得到OC 与AD 平行，根据两直线平行内错角相等得到
∠APO=∠COP，再利用折叠的性质得到∠AOP=∠COP，等量代换可得出∠APO=∠AOP，再
由OA=OP，利用等边对等角可得出一对角相等，等量代换可得出三角形AOP 三内角相等，
确定出三角形AOP 为等边三角形，根据等边三角形的内角为60°得到∠AOP 为60°，由OP
平行于BC，利用两直线平行同位角相等可得出∠OBC=∠AOP=60°，再由OB=OC，得到三角
形OBC 为等边三角形，可得出∠COB 为60°，利用平角的定义得到∠POC 也为60°，再加上
OP=OC，可得出三角形POC 为等边三角形，得到内角∠OCP 为60°，可求出∠PCD 为30°，在
直角三角形PCD 中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半可得出PD 为PC 的一半，而PC
等于圆的半径OP 等于直径AB 的一半，可得出PD 为AB 的四分之一，即AB=4PD，得证．
【解答】解：（1）PO 与BC 的位置关系是PO∥BC；
（2）（1）中的结论PO∥BC 成立，理由为：
由折叠可知：△APO≌△CPO，
∴∠APO=∠CPO，
又∵OA=OP，
∴∠A=∠APO，
∴∠A=∠CPO，
又∵∠A 与∠PCB 都为
所对的圆周角，
∴∠A=∠PCB，
∴∠CPO=∠PCB，
∴PO∥BC；
（3）∵CD 为圆O 的切线，
∴OC⊥CD，又AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠APO=∠COP，
由折叠可得：∠AOP=∠COP，
∴∠APO=∠AOP，
又OA=OP，∴∠A=∠APO，
∴∠A=∠APO=∠AOP，
∴△APO 为等边三角形，
∴∠AOP=60°，
又∵OP∥BC，
∴∠OBC=∠AOP=60°，又OC=OB，
∴△BCO 为等边三角形，
∴∠COB=60°，
∴∠POC=180°﹣（∠AOP+∠COB）=60°，又OP=OC，
∴△POC 也为等边三角形，
∴∠PCO=60°，PC=OP=OC，
又∵∠OCD=90°，
∴∠PCD=30°，
在Rt△PCD 中，PD=
PC，
又∵PC=OP=
AB，
∴PD=
AB，即AB=4PD．
【点评】此题考查了切线的性质，等边三角形的判定与性质，含30°直角三角形的性质，折叠的
性质，圆周角定理，以及平行线的判定与性质，熟练掌握性质及判定是解本题的关键．
