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2016-2017 学年江西省吉安市九年级（下）期中数学试卷
一、选择题
1．﹣3 的相反数是（ ）
A．3
B．﹣3 C．
D．
2．如图，直线AB∥CD，直线EF 与AB，CD 分别交于点E，F，EC⊥EF，垂足为E，
若∠1=60°，则∠2 的度数为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
3．若a
b
﹣+c=0，则关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=0 必有一根为（ ）
A．0
B．1
C．﹣1 D．2
4．如图，△ABC 中，已知AB=8，∠C=90°，∠A=30°，DE 是中位线，则DE 的长为
（ ）
A．4
B．3
C．
D．2
5．如图，△ABO 的面积为3，且AO=AB，双曲线y= 经过点A，则k 的值为
（ ）
A．
B．3
C．6
D．9
6．如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y=ax2+bx+c 经过点（﹣1，﹣4），则下列
结论中错误的是（ ）
A．b2＞4ac
B．ax2+bx+c≥﹣6
C．若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＞n
D．关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=
4
﹣的两根为﹣5 和﹣1
二、填空题
7．因式分解3x2
3y
﹣
2= ．
8．几个棱长为1 的正方体组成的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积
是 ．
9．如图，某数学兴趣小组将边长为5 的正方形铁丝框ABCD 变形为以A 为圆心，
AB 为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形ABD 的面积为 ．
10．在函数y=
中，自变量x 的取值范围是 ．
11．小明用S2=
[（x1
3
﹣）2+（x2
3
﹣）2+…+（x10
3
﹣）2]计算一组数据的方差，那么
x1+x2+x3+…+x10= ．
12．当﹣1≤x≤2 时，二次函数y=（x
m
﹣）2+m2有最小值3，则实数m 的值为
．
三、解答题
13．（1）解方程：
= ﹣
（2）如图，点B 在线段AD 上，BC∥DE，AB=ED，BC=DB，求证：∠A=∠E．
14．先化简，再求代数式（
﹣
）÷
的值，其中a=
+1．
15．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，点D 在AB 延长线上，且
∠BCD=∠A．
（1）求证：DC 是⊙O 的切线；
（2）若∠A=30°，AC=2
，求图中阴影部分的面积．
16．已知：▱ABCD 的两边AB，AD 的长是关于x 的方程x2
mx
﹣
+ ﹣=0 的两个
实数根．
（1）当m 为何值时，四边形ABCD 是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若AB 的长为2，那么▱ABCD 的周长是多少？
17．如图，已知矩形OABC 中，OA=3，AB=4，双曲线y= （k＞0）与矩形两边AB、
BC 分别交于D、E，且BD=2AD
（1）求k 的值和点E 的坐标；
（2）点P 是线段OC 上的一个动点，是否存在点P，使∠APE=90°？若存在，求出
此时点P 的坐标，若不存在，请说明理由．
四、解答题
18．学校实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高．王老师为进一步
了解本班学生自主学习、合作交流的现状，对该班部分学生进行调查，把调查结
果分成四类（A：特别好，B：好，C：一般，D：较差）后，再将调查结果绘制成两幅不
完整的统计图（如图）．请根据统计图解答下列问题：
（1）本次调查中，王老师一共调查了 名学生；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）为了共同进步，王老师从被调查的A 类和D 类学生中分别选取一名学生进行
“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名
女生的概率．
19．利用直尺画图（先用铅笔画图，然后再用墨水笔将符合条件的图形画出）．
（1）利用图1 中的网格，过P 点画直线AB 的平行线和垂线；
（2）平移图（2）网格中的三条线段AB、CD、EF，使平移后三条线段首尾顺次相接
组成一个三角形；
（3）如果每个方格的边长是单位1，那么图（2）中组成的三角形的面积等于
．
20．如图，一个书架上的方格中放着四本厚度和长度相同的书，其中左边两边上
紧贴书架方格内侧竖放，右边两本书自然向左斜放，支撑点为C，E，右侧书角正
好靠在方格内侧上，若书架方格长BF=40cm，∠DCE=30°．
（1）设一本书的厚度为acm，则EF= cm；
（2）若书的长度AB=20cm，求一本书的厚度（结果保留根号）
五、解答题
21．如图，抛物线C1：y=x2+4x
3
﹣与x 轴交于A、B 两点，将C1向右平移得到C2，
C2与x 轴交于B、C 两点．
（1）求抛物线C2的解析式．
（2）点D 是抛物线C2在x 轴上方的图象上一点，求S△ABD的最大值．
（3）直线l 过点A，且垂直于x 轴，直线l 沿x 轴正方向向右平移的过程中，交C1
于点E 交C2于点F，当线段EF=5 时，求点E 的坐标．
22．如图，△AOB 是等腰直角三角形，直线BD∥OA，OB=OA=1，P 是线段AB 上
一动点，过P 点作MN∥OB，分别交OA、BD 于M、N，PC⊥PO，交BD 于点C．
（1）求证：OP=PC；
（2）当点C 在射线BN 上时，设AP 长为m，四边形POBC 的面积为S，请求出S
与m 间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；
（3）当点P 在线段AB 上移动时，点C 也随之在直线BN 上移动，△PBC 是否可能
成为等腰三角形？如果可能，求出所有能使△PBC 成为等腰三角形时的PM 的值
如果不可能，请说明理由．
六、解答题
23．问题提出：如图1，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C 半径为2，
P 为圆上一动点，连结AP、BP，求AP+ BP 的最小值．
（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在
CB 上取点D ，使CD=1 ，则有
=
= ，又∵∠PCD=∠BCP ，
∴△PCD∽△BCP．∴
= ，∴PD= BP，∴AP+ BP=AP+PD．
请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+ BP 的最小值为 ．
（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下， AP+BP 的最小值为
．
（3）拓展延伸：已知扇形COD 中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，点P 是
上
一点，求2PA+PB 的最小值．
2016-2017 学年江西省吉安市九年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．﹣3 的相反数是（ ）
A．3
B．﹣3 C．
D．
【考点】14：相反数．
【分析】由相反数的定义容易得出结果．
【解答】解：﹣3 的相反数是3，
故选：A．
2．如图，直线AB∥CD，直线EF 与AB，CD 分别交于点E，F，EC⊥EF，垂足为E，
若∠1=60°，则∠2 的度数为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【考点】JA：平行线的性质．
【分析】根据对顶角相等求出∠3，再根据两直线平行，同旁内角互补解答．
【解答】解：如图，∠3=∠1=60°（对顶角相等），
∵AB∥CD，EG⊥EF，
∴∠3+90°+∠2=180°，
即60°+90°+∠2=180°，
解得∠2=30°．
故选B．
3．若a
b
﹣+c=0，则关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=0 必有一根为（ ）
A．0
B．1
C．﹣1 D．2
【考点】A3：一元二次方程的解．
【分析】由a
b
﹣+c=0 求得b=a+c，将其代入方程ax2+bx+c=0 中，可得方程的一个根
是﹣1．
【解答】解：∵a
b
﹣+c=0，
∴b=a+c，①
把①代入方程ax2+bx+c=0 中，
ax2+（a+c）x+c=0，
ax2+ax+cx+c=0，
ax（x+1）+c（x+1）=0，
（x+1）（ax+c）=0，
∴x1=
1
﹣，x2=﹣（非零实数a、b、c）．
故选：C．
4．如图，△ABC 中，已知AB=8，∠C=90°，∠A=30°，DE 是中位线，则DE 的长为
（ ）
A．4
B．3
C．
D．2
【考点】KX：三角形中位线定理；KO：含30 度角的直角三角形．
【分析】先由含30°角的直角三角形的性质，得出BC，再由三角形的中位线定理得
出DE 即可．
【解答】解：∵∠C=90°，∠A=30°，
∴BC= AB=4，
又∵DE 是中位线，
∴DE= BC=2．
故选D．
5．如图，△ABO 的面积为3，且AO=AB，双曲线y= 经过点A，则k 的值为
（ ）
A．
B．3
C．6
D．9
【考点】G5：反比例函数系数k 的几何意义；KH：等腰三角形的性质．
【分析】过点A 作OB 的垂线，垂足为点C，根据等腰三角形的性质得OC=BC，再
根据三角形的面积公式得到OB•AC=3，易得OC•AC=3，设A 点坐标为（x，y），
即可得到k=xy=OC•AC=3．
【解答】解：过点A 作OB 的垂线，垂足为点C，如图，
∵AO=AB，
∴OC=BC= OB，
∵△ABO 的面积为3，
∴OB•AC=3，
∴OC•AC=3．
设A 点坐标为（x，y），而点A 在反比例函数y= （k＞0）的图象上，
∴k=xy=OC•AC=3．
故选B．
6．如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y=ax2+bx+c 经过点（﹣1，﹣4），则下列
结论中错误的是（ ）
A．b2＞4ac
B．ax2+bx+c≥﹣6
C．若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＞n
D．关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=
4
﹣的两根为﹣5 和﹣1
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系；H5：二次函数图象上点的坐标特征；
HA：抛物线与x 轴的交点；HC：二次函数与不等式（组）．
【分析】由抛物线与x 轴有两个交点则可对A 进行判断；由于抛物线开口向上，有
最小值则可对B 进行判断；根据抛物线上的点离对称轴的远近，则可对C 进行判
断；根据二次函数的对称性可对D 进行判断．
【解答】解：A、图象与x 轴有两个交点，方程ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根，
b2
4ac
﹣
＞0 所以b2＞4ac，故A 选项正确；
B、抛物线的开口向上，函数有最小值，因为抛物线的最小值为﹣6，所以
ax2+bx+c≥﹣6，故B 选项正确；
C、抛物线的对称轴为直线x=
3
﹣，因为﹣5 离对称轴的距离大于﹣2 离对称轴的
距离，所以m＜n，故C 选项错误；
D、根据抛物线的对称性可知，（﹣1，﹣4）关于对称轴的对称点为（﹣5，﹣4），所
以关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=
4
﹣的两根为﹣5 和﹣1，故D 选项正确．
故选C．
二、填空题
7．因式分解3x2
3y
﹣
2=
3 （
x + y ）（
x
y
﹣
）
．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：3x2
3y
﹣
2
=3（x2
y
﹣
2）
=3（x+y）（x
y
﹣）．
故答案为：3（x+y）（x
y
﹣）．
8．几个棱长为1 的正方体组成的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积
是
5
．
【考点】U3：由三视图判断几何体．
【分析】根据三视图，该几何体的主视图以及俯视图可确定该几何体共有两行三
列，故可得出该几何体的小正方体的个数，即可得出这个几何体的体积．
【解答】解：综合三视图可知，这个几何体的底层应该有3+1=4 个小正方体，
第二层应该有1 个小正方体，
因此搭成这个几何体所用小正方体的个数是4+1=5 个，
所以这个几何体的体积是5．
故答案为：5．
9．如图，某数学兴趣小组将边长为5 的正方形铁丝框ABCD 变形为以A 为圆心，
AB 为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形ABD 的面积为
25
．
【考点】MO：扇形面积的计算．
【分析】根据扇形面积公式：S= •L•R（L 是弧长，R 是半径），求出弧长BD，根据
题意
=CD+BC，由此即可解决问题．
【解答】解：由题意
=CD+BC=10，
S 扇形ADB= •
•AB= ×10×5=25，
故答案为25．
10．在函数y=
中，自变量x 的取值范围是
x ≥
1
．
【考点】E4：函数自变量的取值范围．
【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以x
1
﹣≥0，解
不等式可求x 的范围．
【解答】解：根据题意得：x
1
﹣≥0，
解得：x≥1．
故答案为：x≥1．
11．小明用S2=
[（x1
3
﹣）2+（x2
3
﹣）2+…+（x10
3
﹣）2]计算一组数据的方差，那么
x1+x2+x3+…+x10=
30
．
【考点】W7：方差．
【分析】根据计算方差的公式能够确定数据的个数和平均数，从而求得所有数据
的和．
【解答】解：∵S2=
[（x1
3
﹣）2+（x2
3
﹣）2+…+（x10
3
﹣）2]，
∴平均数为3，共10 个数据，
∴x1+x2+x3+…+x10=10×3=30，
故答案为：30．
12．当﹣1≤x≤2 时，二次函数y=（x
m
﹣）2+m2有最小值3，则实数m 的值为
或
．
【考点】H7：二次函数的最值．
【分析】根据二次函数的最值问题列出方程求出m 的值，再根据二次项系数大于
0 解答．
【解答】解：∵二次函数y=（x
m
﹣）2+m2有最小值3，
二次项系数a=1＞0，故图象开口向上，对称轴为x=m，
当m＜﹣1 时，最小值在x=
1
﹣取得，此时有（m+1）2+m2=3，
求得m=
，
∵m＜﹣1，
∴m=
；
当﹣1≤m≤2 时，最小值在x=m 时取得，即有1
m
﹣
2=
2
﹣
求得m=
或m=﹣
（舍去）
当m＞2 时，最小值在x=2 时取得，即（2
m
﹣）2+m2=3
求得m=
（舍去）
故答案为：
或
．
三、解答题
13．（1）解方程：
= ﹣
（2）如图，点B 在线段AD 上，BC∥DE，AB=ED，BC=DB，求证：∠A=∠E．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；B3：解分式方程．
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经
检验即可得到分式方程的解；
（2）由BC 与DE 平行得到一对同位角相等，利用SAS 得到三角形ABC 与三角形
EDB 全等，利用全等三角形对应角相等即可得证．
【解答】解：（1）去分母得：2=2x
1
3
﹣﹣，
解得：x=3，
经检验x=3 是分式方程的解；
（2）∵BC∥DE，
∴∠ABC=∠D，
在△ABC 和△EDB 中，
，
∴△ABC≌△EDB，
∴∠A=∠E．
14．先化简，再求代数式（
﹣
）÷
的值，其中a=
+1．
【考点】6D：分式的化简求值．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法
法则变形，约分得到最简结果，把a 的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=
•（a+1）=
，
当a=
+1 时，原式=
．
15．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，点D 在AB 延长线上，且
∠BCD=∠A．
（1）求证：DC 是⊙O 的切线；
（2）若∠A=30°，AC=2
，求图中阴影部分的面积．
【考点】MD：切线的判定；MO：扇形面积的计算．
【分析】（1）连结OC，如图，根据圆周角定理得∠ACB=90°，再利用等腰三角形的
性质得∠A=∠OCA，∠OBC=∠OCB，则∠A+∠BCO=90°，加上∠BCD=∠A，所
以∠BCD+∠BCO=90°，于是根据切线的判定方法可判断DC 是⊙O 的切线；
（2）根据含30 度的直角三角形三边的关系，在Rt△ACB 中计算出BC=
AC=2，
AB=2BC=4，再计算出∠AOC=120°，然后根据扇形面积公式，利用图中阴影部分
的面积=S 扇形AOC
S
﹣
△AOC进行计算．
【解答】（1）证明：连结OC，如图，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB=90°，
∵OA=OC，OB=OC，
∴∠A=∠OCA，∠OBC=∠OCB，
∴∠A+∠BCO=90°，
∵∠BCD=∠A，
∴∠BCD+∠BCO=90°，即∠OCD=90°，
∴OC⊥CD，
∴DC 是⊙O 的切线；
（2）在Rt△ACB 中，∵∠A=30°，
∴BC=
AC=2，
AB=2BC=4，
∵∠AOC=180°﹣∠A﹣∠ACO=120°，
∴图中阴影部分的面积=S 扇形AOC
S
﹣
△AOC=S 扇形AOC﹣S△ABC=
﹣•
•2•2
= π﹣
．
16．已知：▱ABCD 的两边AB，AD 的长是关于x 的方程x2
mx
﹣
+ ﹣=0 的两个
实数根．
（1）当m 为何值时，四边形ABCD 是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若AB 的长为2，那么▱ABCD 的周长是多少？
【考点】AD：一元二次方程的应用；L5：平行四边形的性质；L8：菱形的性质．
【分析】（1）让根的判别式为0 即可求得m，进而求得方程的根即为菱形的边长；
（2）求得m 的值，进而代入原方程求得另一根，即易求得平行四边形的周长．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB=AD，
∴△=0，即m2
4
﹣（﹣）=0，
整理得：（m
1
﹣）2=0，
解得m=1，
当m=1 时，原方程为x2
x
﹣+ =0，
解得：x1=x2=0.5，
故当m=1 时，四边形ABCD 是菱形，菱形的边长是0.5；
（2）把AB=2 代入原方程得，m=2.5，
把m=2.5 代入原方程得x2
2.5x
﹣
+1=0，解得x1=2，x2=0.5，
∴C ABCD
▱
=2×（2+0.5）=5．
17．如图，已知矩形OABC 中，OA=3，AB=4，双曲线y= （k＞0）与矩形两边AB、
BC 分别交于D、E，且BD=2AD
（1）求k 的值和点E 的坐标；
（2）点P 是线段OC 上的一个动点，是否存在点P，使∠APE=90°？若存在，求出
此时点P 的坐标，若不存在，请说明理由．
【考点】GB：反比例函数综合题．
【分析】（1）由矩形OABC 中，AB=4，BD=2AD，可得3AD=4，即可求得AD 的长，
然后求得点D 的坐标，即可求得k 的值，继而求得点E 的坐标；
（2）首先假设存在要求的点P 坐标为（m，0），OP=m，CP=4
m
﹣，由∠APE=90°，易
证得△AOP∽△PCE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得m 的值，继而求
得此时点P 的坐标．
【解答】解：（1）∵AB=4，BD=2AD，
∴AB=AD+BD=AD+2AD=3AD=4，
∴AD= ，
又∵OA=3，
∴D（，3），
∵点D 在双曲线y= 上，
∴k= ×3=4；
∵四边形OABC 为矩形，
∴AB=OC=4，
∴点E 的横坐标为4．
把x=4 代入y= 中，得y=1，
∴E（4，1）；
（2）假设存在要求的点P 坐标为（m，0），OP=m，CP=4
m
﹣．
∵∠APE=90°，
∴∠APO+∠EPC=90°，
又∵∠APO+∠OAP=90°，
∴∠EPC=∠OAP，
又∵∠AOP=∠PCE=90°，
∴△AOP∽△PCE，
∴
，
∴
，
解得：m=1 或m=3，
∴存在要求的点P，坐标为（1，0）或（3，0）．
四、解答题
18．学校实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高．王老师为进一步
了解本班学生自主学习、合作交流的现状，对该班部分学生进行调查，把调查结
果分成四类（A：特别好，B：好，C：一般，D：较差）后，再将调查结果绘制成两幅不
完整的统计图（如图）．请根据统计图解答下列问题：
（1）本次调查中，王老师一共调查了
20
名学生；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）为了共同进步，王老师从被调查的A 类和D 类学生中分别选取一名学生进行
“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名
女生的概率．
【考点】X6：列表法与树状图法；VB：扇形统计图；VC：条形统计图．
【分析】（1）由题意可得：王老师一共调查学生：（2+1）÷15%=20（名）；
（2）由题意可得：C 类女生：20×25%
2=3
﹣
（名）；D 类男生：20×（1
15%
50%
﹣
﹣
25%
﹣
）﹣1=1（名）；继而可补全条形统计图；
（3）首先根据题意列出表格，再利用表格求得所有等可能的结果与恰好选中一名
男生和一名女生的情况，继而求得答案．
【解答】解：（1）根据题意得：王老师一共调查学生：（2+1）÷15%=20（名）；
故答案为：20；
（2）∵C 类女生：20×25%
2=3
﹣
（名）；D 类男生：20×（1
15%
50%
25%
﹣
﹣
﹣
）﹣
1=1（名）；
如图：
（3）列表如下：A 类中的两名男生分别记为A1 和A2，
男A1
男A2
…
女A
男D
男A1 男D
男A2 男D
女A 男D
女D
男A1 女D
男A2 女D
女A 女D
共有6 种等可能的结果，其中，一男一女的有3 种，所以所选两位同学恰好是一位
男生和一位女生的概率为： = ．
19．利用直尺画图（先用铅笔画图，然后再用墨水笔将符合条件的图形画出）．
（1）利用图1 中的网格，过P 点画直线AB 的平行线和垂线；
（2）平移图（2）网格中的三条线段AB、CD、EF，使平移后三条线段首尾顺次相接
组成一个三角形；
（3）如果每个方格的边长是单位1，那么图（2）中组成的三角形的面积等于
3.5
．
【考点】Q4：作图﹣平移变换；JA：平行线的性质．
【分析】（1）根据网格结构的特点，利用直线与网格的夹角的关系找出与AB 平行
的格点以及垂直的格点作出即可；
（2）根据网格结构的特点，过点E 找出与AB、CD 位置相同的线段，过点F 找出与
AB、CD 位置相同的线段，作出即可；
（3）根据S△=S 正方形﹣三个角上的三角形的面积即可得出结论．
【解答】解：（1）、（2）如图所示；
（3）S△EFH=3×3﹣×1×2﹣×2×3﹣×1×3
=9
1
3
﹣﹣﹣
=3.5．
故答案为：3.5．
20．如图，一个书架上的方格中放着四本厚度和长度相同的书，其中左边两边上
紧贴书架方格内侧竖放，右边两本书自然向左斜放，支撑点为C，E，右侧书角正
好靠在方格内侧上，若书架方格长BF=40cm，∠DCE=30°．
（1）设一本书的厚度为acm，则EF=
a
cm；
（2）若书的长度AB=20cm，求一本书的厚度（结果保留根号）
【考点】T8：解直角三角形的应用．
【分析】（1）根据三角形的内角和得到∠CED=60°，根据三角函数的定义即可得到
结论；
（2）设一本书的厚度为acm，根据BF=40cm，列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）如图，∵∠DCE=30°，
∴∠CED=60°，
∴∠GEH=30°，
∴EH=
=
a，
∴HF=acos30°=
a；
∴EF=EH+HF=
a
故答案为：
a；
（2）设一本书的厚度为acm，
则BD=2a，
∴DE= CE=10cm，
∵BF=40cm，
∴2a+10+
a=40，
解得：a≈7.4．
答：一本书的厚度7.4cm．
五、解答题
21．如图，抛物线C1：y=x2+4x
3
﹣与x 轴交于A、B 两点，将C1向右平移得到C2，
C2与x 轴交于B、C 两点．
（1）求抛物线C2的解析式．
（2）点D 是抛物线C2在x 轴上方的图象上一点，求S△ABD的最大值．
（3）直线l 过点A，且垂直于x 轴，直线l 沿x 轴正方向向右平移的过程中，交C1
于点E 交C2于点F，当线段EF=5 时，求点E 的坐标．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）先依据配方法求得抛物线C1的顶点坐标，然后令y=0，求得点A、B 的
坐标，从而可判断出C1平移的方向和距离，于是得到抛物线C2的顶点坐标，从而
得到C2的解析式；
（2）根据函数图象可知，当点D 为C2的顶点时，△ABD 的面积最大；
（3）设点E 的坐标为（x，﹣x2+4x
3
﹣），则点F 的坐标为（x，﹣x2+8x
15
﹣
），然后可
求得EF 长度的解析式，最后根据EF=5，可列出关于x 的方程，从而可求得x 的值，
于是的得到点E 的坐标．
【解答】解：（1）∵y=
x
﹣
2+4x
3=
﹣
﹣（x
2
﹣）2+1，
∴抛物线C1的顶点坐标为（2，1）．
令y=0，得﹣（x
2
﹣）2+1=0，解得：x1=1，x2=3．
∵C2经过B，
∴C1向右平移了2 个单位长度．
∵将抛物线向右平移两个单位时，抛物线C2的顶点坐标为（4，1），
∴C2的解析式为y2=﹣（x
4
﹣）2+1，即y=
x
﹣
2+8x
15
﹣
．
（2）根据函数图象可知，当点D 为C2的顶点时，纵坐标最大，
即D（4，1）时，△ABD 的面积最大．
S△ABD= AB•|yD|= ×2×1=1．
（3）设点E 的坐标为（x，﹣x2+4x
3
﹣），则点F 的坐标为（x，﹣x2+8x
15
﹣
）．
EF=|（﹣x2+4x
3
﹣）﹣（﹣x2+8x
15
﹣
）|=|
4x
﹣
+12|．
∵EF=5，
∴﹣4x+12=5 或﹣4x+12=
5
﹣．
解得：x= 或x=
．
∴点E 的坐标为（，
）或（
，﹣
）时，EF=5．
22．如图，△AOB 是等腰直角三角形，直线BD∥OA，OB=OA=1，P 是线段AB 上
一动点，过P 点作MN∥OB，分别交OA、BD 于M、N，PC⊥PO，交BD 于点C．
（1）求证：OP=PC；
（2）当点C 在射线BN 上时，设AP 长为m，四边形POBC 的面积为S，请求出S
与m 间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；
（3）当点P 在线段AB 上移动时，点C 也随之在直线BN 上移动，△PBC 是否可能
成为等腰三角形？如果可能，求出所有能使△PBC 成为等腰三角形时的PM 的值
如果不可能，请说明理由．
【考点】LO：四边形综合题．
【分析】（1）首先利用矩形的判定得出四边形OBNM 为矩形，即可得出
∠CPN=∠POM，进而得出△OPM≌△PCN，求出即可；
（2）利用S=S△OPB+S△PBC进而得出S 与m 的函数关系；
（3）利用①当点P 与点A 重合时，PC=BC=1，②如图②，当点C 在OB 下方，且
PB=CB 时，分别求出即可．
【解答】（1）证明：如图①，△AOB 是等腰直角三角形，AO=BO=1，
∴∠A=45°，∠AOB=90°，
直线BN∥OA，MN∥OB，
∴四边形OBNM 为矩形，
∴MN=OB=1，∠PMO=∠CNP=90°
而∠AMP=90°，∠A=∠APM=∠BPN=45°，
∴OM=BN=PN，
∵∠OPC=90°，
∴∠OPM+∠CPN=90°，
又∵∠OPM+∠POM=90°，
∴∠CPN=∠POM，
在△OPM 和△PCN 中
，
∴△OPM≌△PCN（ASA），
∴OP=PC，
（2）解：∵AM=PM=APsin45°=
m，
∴NC=PM=
m，∴BN=OM=PN=1﹣
m；
∴BC=BN
NC=1
﹣
﹣
m﹣
m=1﹣
m，
S=S△OPB+S△PBC= BO•MO+ BC•PN，
= m2﹣
m+1（0≤m
）；
（3）解：△PBC 可能为等腰三角形，
①当点P 与点A 重合时，PC=BC=1，此时PM=0，
②如图②，当点C 在OB 下方，且PB=CB 时，
有OM=BN=PN=1﹣
m，
∴BC=PB=
PN=
m
﹣，
∴NC=BN+BC=1﹣
m+
m
﹣，
由（2）知：NC=PM=
m，
∴1﹣
m+
m=
﹣
m，
∴m=1．
∴PM=
m=
；
∴使△PBC 为等腰三角形时的PM 的值为0 或
．
六、解答题
23．问题提出：如图1，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C 半径为2，
P 为圆上一动点，连结AP、BP，求AP+ BP 的最小值．
（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在
CB 上取点D ，使CD=1 ，则有
=
= ，又∵∠PCD=∠BCP ，
∴△PCD∽△BCP．∴
= ，∴PD= BP，∴AP+ BP=AP+PD．
请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+ BP 的最小值为
．
（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下， AP+BP 的最小值为
．
（3）拓展延伸：已知扇形COD 中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，点P 是
上
一点，求2PA+PB 的最小值．
【考点】MR：圆的综合题．
【分析】（1）利用勾股定理即可求出，最小值为AD=
；
（2）连接CP，在CA 上取点D，使CD= ，则有
，可证△PCD∽△ACP，
得到PD= AP，即： AP+BP=BP+PD，从而AP+BP 的最小值为BD；
（3）延长OA 到点E，使CE=6，连接PE、OP，可证△OAP∽△OPE，得到EP=2PA，
得到2PA+PB=EP+PB，当E、P、B 三点共线时，得到最小值．
【解答】解：（1）如图1，
连结AD，
∵AP+ BP=AP+PD，要使AP+ BP 最小，
∴AP+AD 最小，当点A，P，D 在同一条直线时，AP+AD 最小，
即：AP+ BP 最小值为AD，
在Rt△ACD 中，CD=1，AC=6，
∴AD=
=
，
AP+ BP 的最小值为
，故答案为：
；
（2）如图2，
连接CP，在CA 上取点D，使CD= ，
∴
，
∵∠PCD=∠ACP，
∴△PCD∽△ACP，
∴
，
∴PD= AP，
∴AP+BP=BP+PD，
∴同（1）的方法得出AP+BP 的最小值为BD=
=
．
故答案为：
；
（3）如图3，
延长OA 到点E，使CE=6，
∴OE=OC+CE=12，
连接PE、OP，
∵OA=3，
∴
，
∵∠AOP=∠AOP，
∴△OAP∽△OPE，
∴
，
∴EP=2PA，
∴2PA+PB=EP+PB，
∴当E、P、B 三点共线时，取得最小值为：BE=
=13．
