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八年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本大题共16 小题，1-10 题，每题3 分，11-16 题，每题2 分，共42 分，
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对
称的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．形状相同的两个三角形全等B．面积相等的两个三角形全等
C．完全重合的两个三角形全等D．所有的等边三角形全等
3．如图，在△ABC 和△DEF 中，∠B=∠DEF，AB=DE，添加下列一个条件后，仍然不
能证明△ABC≌△DEF，这个条件是（ ）
A．∠A=∠D B．BC=EF
C．∠ACB=∠F
D．AC=DF
4．下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（ ）
A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm
C．5cm，5cm，11cm D．13cm，12cm，20cm
5．设四边形的内角和等于a，五边形的外角和等于b，则a 与b 的关系是（ ）
A．a＞b B．a=b C．a＜b D．b=a+180°
6．若点A（a
2
﹣，3）和点B（﹣1，b+5）关于y 轴对称，则点C（a，b）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
7．如图的七边形ABCDEFG 中，AB、ED 的延长线相交于O 点．若图中∠1、∠2、
∠3、∠4 的外角的角度和为220°，则∠BOD 的度数为何？（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
8．请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A′O′B′等于已知角∠AOB 的示意图，请你
根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出∠A′O′B′=∠AOB 的依据是
（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
9．如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交
AC，AB 于点M，N，再分别以点M，N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交
于点P，作射线AP 交边BC 于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD 的面积是（ ）
A．15
B．30
C．45
D．60
10．如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，DE⊥AB 于点E，△ABC 的面积为7，AB=4，
DE=2，则AC 的长是（ ）
A．4B．3C．6D．5
11．在△ABC 中，∠B、∠C 平分线的交点P 恰好在BC 边的高AD 上，则△ABC 一定
是（ ）
A．直角三角形B．等边三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形
12．如图为正方形网格，则∠1+∠2+∠3=（ ）
A．105° B．120° C．115° D．135°
13．如图，△ABC 中，BD 平分∠ABC，BC 的中垂线交BC 于点E，交BD 于点F，连接
CF．若∠A=60°，∠ACF=48°，则∠ABC 的度数为（ ）
A．48° B．36° C．30° D．24°
14．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD 是一个筝形，
其中AD=CD，AB=CB，在探究筝形的性质时，得到如下结论：①△ABD≌△CBD；
②AC⊥BD；③四边形ABCD 的面积= AC•BD，其中正确的结论有（ ）
A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个
15．如图，点P 是∠AOB 内任意一点，OP=5cm，点M 和点N 分别是射线OA 和射线
OB 上的动点，△PMN 周长的最小值是5cm，则∠AOB 的度数是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
16．已知AB=AC，AD 为∠BAC 的角平分线，D、E、F…为∠BAC 的角平分线上的若干
点．如图1，连接BD、CD，图中有1 对全等三角形；如图2，连接BD、CD、BE、CE，图
中有3 对全等三角形；如图3，连接BD、CD、CE、BF、CF，图中有6 对全等三角形；
依此规律，第8 个图形中有全等三角形（ ）
A．24 对B．28 对C．36 对D．72 对
二、填空题：本大题共3 小题，共10 分，17-18 题各3 分，19 题4 分，把答案写在题
中横线上．
17．电工师傅在安好电线杆后，为了防止电线杆倾倒，常常按图所示引两条拉线，
这样做的数学道理是 ．
18．一个汽车牌在水中的倒影为
，则该车牌照号码 ．
19．如图，在标有刻度的直线l 上，从点A 开始，以AB=1 为边长画正三角形，记为
第1 个正三角形；以BC=2 为边长画正三角形，记为第2 个正三角形；以CD=4 为边
长画正三角形，记为第3 个正三角形；以DE=8 为边长画正三角形，记为第4 个正
三角形，…按此规律，继续画正三角形，则第n 个正三角形的面积为 ．
三、解答题：本大题共7 小题，共68 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤．
20．△AOB 在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中，A（0，﹣3），B（﹣2，0），O
是坐标原点．
（1）△AOB 先作其关于x 轴的对称图形，再把新图形向右平移3 个单位，在图中画
出两次变换后所得的图形△A1O1B1；
（2）若点M（x，y）在△AOB 上，则它随上述两次变换后得到点M1，则点M1的坐标
是 ．
21．如图，在△BCD 中，BC=4，BD=5，
（1）求CD 的取值范围；
（2）若AE∥BD，∠A=55°，∠BDE=125°，求∠C 的度数．
22．如图，点B，F，C，E 在直线l 上（F，C 之间不能直接测量），点A，D 在l 异侧，测
得AB=DE，AC=DF，BF=EC．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）指出图中所有平行的线段，并说明理由．
23．在湖的两岸A、B 间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接度量A、B 两点间
的距离．请你用学过的数学知识按以下要求设计一测量方案．
（1）画出测量图案；
（2）写出测量步骤（测量数据用字母表示）；
（3）计算AB 的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）．
24．先阅读下面的材料，然后解答问题：
已知：如图1 等腰直角三角形ABC 中，∠B=90°，AD 是角平分线，交BC 边于点D．
求证：AC=AB+BD．
证明：如图1 ，在AC 上截取AE=AB ，连接DE ，则由已知条件易知：
Rt△ADB≌Rt△ADE（AAS）
∴∠AED=∠B=90°，DE=DB
又∵∠C=45°，∴△DEC 是等腰直角三角形．
∴DE=EC．
∴AC=AE+EC=AB+BD．
我们将这种证明一条线段等于另两线段和的方法称为“截长法”．
解决问题：现将原题中的“AD 是内角平分线，交BC 边于点D”换成“AD 是外角
平分线，交BC 边的延长线于点D，如图2”，其他条件不变，请你猜想线段AC、AB、
BD 之间的数量关系，并证明你的猜想．
25．已知：在△AOB 和△COD 中，OA=OB，OC=OD．
（1）如图①，若∠AOB=∠COD=60°，求证：①AC=BD ②∠APB=60°．
（2）如图②，若∠AOB=∠COD=α，则AC 与BD 间的等量关系式为 ，∠APB 的大
小为 （直接写出结果，不证明）
26．在△ABC 中，∠C＞∠B，AE 平分∠BAC，F 为射线AE 上一点（不与点E 重合），
且FD⊥BC 于D；
（1）如果点F 与点A 重合，且∠C=50°，∠B=30°，如图1，求∠EFD 的度数；
（2）如果点F 在线段AE 上（不与点A 重合），如图2，问∠EFD 与∠C﹣∠B 有怎样
的数量关系？并说明理由．
（3）如果点F 在△ABC 外部，如图3，此时∠EFD 与∠C﹣∠B 的数量关系是否会发
生变化？请说明理由．
八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共16 小题，1-10 题，每题3 分，11-16 题，每题2 分，共42 分，
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对
称的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项正确．
故选D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．形状相同的两个三角形全等B．面积相等的两个三角形全等
C．完全重合的两个三角形全等D．所有的等边三角形全等
【考点】全等图形．
【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形，以及全等三角
形的判定定理可得答案．
【解答】解：A、形状相同的两个三角形全等，说法错误，应该是形状相同且大小也
相同的两个三角形全等；
B、面积相等的两个三角形全等，说法错误；
C、完全重合的两个三角形全等，说法正确；
D、所有的等边三角形全等，说法错误；
故选：C．
3．如图，在△ABC 和△DEF 中，∠B=∠DEF，AB=DE，添加下列一个条件后，仍然不
能证明△ABC≌△DEF，这个条件是（ ）
A．∠A=∠D B．BC=EF
C．∠ACB=∠F
D．AC=DF
【考点】全等三角形的判定．
【分析】根据全等三角形的判定，利用ASA、SAS、AAS 即可得答案．
【解答】解：∵∠B=∠DEF，AB=DE，
∴添加∠A=∠D，利用ASA 可得△ABC≌△DEF；
∴添加BC=EF，利用SAS 可得△ABC≌△DEF；
∴添加∠ACB=∠F，利用AAS 可得△ABC≌△DEF；
故选D．
4．下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（ ）
A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm
C．5cm，5cm，11cm D．13cm，12cm，20cm
【考点】三角形三边关系．
【分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，即两短边的和大于最长的
边，即可作出判断．
【解答】解：A、3+4＜8，故以这三根木棒不可以构成三角形，不符合题意；
B、8+7=15，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意；
C、5+5＜11，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意；
D、12+13＞20，故以这三根木棒能构成三角形，符合题意．
故选D．
5．设四边形的内角和等于a，五边形的外角和等于b，则a 与b 的关系是（ ）
A．a＞b B．a=b C．a＜b D．b=a+180°
【考点】多边形内角与外角．
【分析】根据多边形的内角和定理与多边形外角的关系即可得出结论．
【解答】解：∵四边形的内角和等于a，
∴a=（4
2
﹣）•180°=360°．
∵五边形的外角和等于b，
∴b=360°，
∴a=b．
故选B．
6．若点A（a
2
﹣，3）和点B（﹣1，b+5）关于y 轴对称，则点C（a，b）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【考点】关于x 轴、y 轴对称的点的坐标．
【分析】根据关于y 轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，可得答案．
【解答】解：点A（a
2
﹣，3）和点B（﹣1，b+5）关于y 轴对称，得
a
2=1
﹣
，b+5=3．
解得a=3，b=
2
﹣．
则点C（a，b）在第四象限，
故选：D．
7．如图的七边形ABCDEFG 中，AB、ED 的延长线相交于O 点．若图中∠1、∠2、
∠3、∠4 的外角的角度和为220°，则∠BOD 的度数为何？（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【考点】多边形内角与外角．
【分析】延长BC 交OD 与点M ，根据多边形的外角和为360° 可得出
∠OBC+∠MCD+∠CDM=140°，再根据四边形的内角和为360°即可得出结论．
【解答】解：延长BC 交OD 与点M，如图所示．
∵多边形的外角和为360°，
∴∠OBC+∠MCD+∠CDM=360°
220°=140°
﹣
．
∵四边形的内角和为360°，
∴∠BOD+∠OBC+180°+∠MCD+∠CDM=360°，
∴∠BOD=40°．
故选A．
8．请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A′O′B′等于已知角∠AOB 的示意图，请你
根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出∠A′O′B′=∠AOB 的依据是
（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】根据作图过程，O′C′=OC，O′B′=OB，C′D′=CD，所以运用的是三边对应相等，
两三角形全等作为依据．
【解答】解：根据作图过程可知O′C′=OC，O′B′=OB，C′D′=CD，
∴△OCD≌△O′C′D′（SSS）．
故选D．
9．如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交
AC，AB 于点M，N，再分别以点M，N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交
于点P，作射线AP 交边BC 于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD 的面积是（ ）
A．15
B．30
C．45
D．60
【考点】角平分线的性质．
【分析】判断出AP 是∠BAC 的平分线，过点D 作DE⊥AB 于E，根据角平分线上的
点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得
解．
【解答】解：由题意得AP 是∠BAC 的平分线，过点D 作DE⊥AB 于E，
又∵∠C=90°，
∴DE=CD，
∴△ABD 的面积= AB•DE= ×15×4=30．
故选B．
10．如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，DE⊥AB 于点E，△ABC 的面积为7，AB=4，
DE=2，则AC 的长是（ ）
A．4B．3C．6D．5
【考点】角平分线的性质．
【分析】过点D 作DF⊥AC 于F，然后利用△ABC 的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：过点D 作DF⊥AC 于F，
∵AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，
∴DE=DF=2，
∴S△ABC= ×4×2+ AC×2=7，
解得AC=3．
故选：B．
11．在△ABC 中，∠B、∠C 平分线的交点P 恰好在BC 边的高AD 上，则△ABC 一定
是（ ）
A．直角三角形B．等边三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形
【考点】等腰三角形的判定．
【分析】先根据角平分线的性质判断出AD 是△ABC 的角平分线，然后利用“角边
角”证明△ABD 和△ACD 全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=AC，从而证
明△ABC 一定是等腰三角形．
【解答】解：
∵∠ABC 与∠ACB 的平分线的交点P 恰好在BC 边的高AD 上，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ABD 和△ACD 中，
，
∴△ABD≌△ACD（ASA），
∴AB=AC，
∴△ABC 一定是等腰三角形．
故选D．
12．如图为正方形网格，则∠1+∠2+∠3=（ ）
A．105° B．120° C．115° D．135°
【考点】全等图形．
【分析】首先证明△ABC≌△AEF，然后证明∠1+∠3=90°，再根据等腰直角三角形
的性质可得∠2=45°，进而可得答案．
【解答】解：∵在△ABC 和△AEF 中，
，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴∠4=∠3，
∵∠1+∠4=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∵AD=MD，∠ADM=90°，
∴∠2=45°，
∴∠1+∠2+∠3=135°，
故选：D．
13．如图，△ABC 中，BD 平分∠ABC，BC 的中垂线交BC 于点E，交BD 于点F，连接
CF．若∠A=60°，∠ACF=48°，则∠ABC 的度数为（ ）
A．48° B．36° C．30° D．24°
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】根据角平分线的性质可得∠DBC=∠ABD，再根据线段垂直平分线的性质
可得BF=CF，进而可得∠FCE=24°，然后可算出∠ABC 的度数．
【解答】解：∵BD 平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABD，
∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∵∠ACF=48°，
∵BC 的中垂线交BC 于点E，
∴BF=CF，
∴∠FCB=∠FBC，
∴∠ABC=2∠FCE，
∵∠ACF=48°，
∴3∠FCE=120°
48°=72°
﹣
，
∴∠FCE=24°，
∴∠ABC=48°，
故选：A．
14．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD 是一个筝形，
其中AD=CD，AB=CB，在探究筝形的性质时，得到如下结论：①△ABD≌△CBD；
②AC⊥BD；③四边形ABCD 的面积= AC•BD，其中正确的结论有（ ）
A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个
【考点】全等三角形的判定．
【分析】先证明△ABD 与△CBD 全等，再证明△AOD 与△COD 全等即可判断．
【解答】解：在△ABD 与△CBD 中，
，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
故①正确；
∴∠ADB=∠CDB，
在△AOD 与△COD 中，
，
∴△AOD≌△COD（SAS），
∴∠AOD=∠COD=90°，AO=OC，
∴AC⊥DB，
故②正确；
四边形ABCD 的面积=
= AC•BD，
故③正确；
故选D．
15．如图，点P 是∠AOB 内任意一点，OP=5cm，点M 和点N 分别是射线OA 和射线
OB 上的动点，△PMN 周长的最小值是5cm，则∠AOB 的度数是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【考点】轴对称-最短路线问题．
【分析】分别作点P 关于OA、OB 的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB 于点M、
N，连接OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出PM=DM，OP=OC，
∠COA=∠POA；PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠AOB= ∠COD，证出△OCD
是等边三角形，得出∠COD=60°，即可得出结果．
【解答】解：分别作点P 关于OA、OB 的对称点C、D，连接CD，
分别交OA、OB 于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：
∵点P 关于OA 的对称点为D，关于OB 的对称点为C，
∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；
∵点P 关于OB 的对称点为C，
∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，
∴OC=OP=OD，∠AOB= ∠COD，
∵△PMN 周长的最小值是5cm，
∴PM+PN+MN=5，
∴DM+CN+MN=5，
即CD=5=OP，
∴OC=OD=CD，
即△OCD 是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∴∠AOB=30°；
故选：B．
16．已知AB=AC，AD 为∠BAC 的角平分线，D、E、F…为∠BAC 的角平分线上的若干
点．如图1，连接BD、CD，图中有1 对全等三角形；如图2，连接BD、CD、BE、CE，图
中有3 对全等三角形；如图3，连接BD、CD、CE、BF、CF，图中有6 对全等三角形；
依此规律，第8 个图形中有全等三角形（ ）
A．24 对B．28 对C．36 对D．72 对
【考点】全等三角形的判定．
【分析】根据图形得出当有1 点D 时，有1 对全等三角形；当有2 点D、E 时，有3
对全等三角形；当有3 点D、E、F 时，有6 对全等三角形；根据以上结果得出当有n
个点时，图中有
个全等三角形即可．
【解答】解：当有1 点D 时，有1 对全等三角形；
当有2 点D、E 时，有3 对全等三角形；
当有3 点D、E、F 时，有6 对全等三角形；
当有4 点时，有10 个全等三角形；
…
当有n 个点时，图中有
个全等三角形．
则有8 个点，即第8 个图形中有全等三角形：
=36（对）．
故选：C．
二、填空题：本大题共3 小题，共10 分，17-18 题各3 分，19 题4 分，把答案写在题
中横线上．
17．电工师傅在安好电线杆后，为了防止电线杆倾倒，常常按图所示引两条拉线，
这样做的数学道理是 三角形的稳定性 ．
【考点】三角形的稳定性．
【分析】根据三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，即三角形的稳定性．
【解答】解：结合图形，为了防止电线杆倾倒，常常按图所示引两条拉线，两条拉线
与地面就构成了三角形，所以这样做根据的数学道理是三角形的稳定性．
故答案是：三角形的稳定性．
18．一个汽车牌在水中的倒影为
，则该车牌照号码
M17936
．
【考点】镜面对称．
【分析】易得所求的牌照与看到的牌照关于水平的一条直线成轴对称，作出相应
图形即可求解．
【解答】解：
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
M 1 7 9 3 6
∴该车的牌照号码是M17936．
故答案为：M17936．
19．如图，在标有刻度的直线l 上，从点A 开始，以AB=1 为边长画正三角形，记为
第1 个正三角形；以BC=2 为边长画正三角形，记为第2 个正三角形；以CD=4 为边
长画正三角形，记为第3 个正三角形；以DE=8 为边长画正三角形，记为第4 个正
三角形，…按此规律，继续画正三角形，则第n 个正三角形的面积为
×
2
2n
4
﹣
．
【考点】等边三角形的性质．
【分析】先根据第1 个正三角形的边长为1，第2 个正三角形的边长为2，第3 个正
三角形的边长为4，第4 个正三角形的边长为8，得出第n 个正三角形的边长为2n
1
﹣，再根据三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：∵第1 个正三角形的边长为1，1=20，
第2 个正三角形的边长为2，2=21，
第3 个正三角形的边长为4，4=22，
第4 个正三角形的边长为8，8=23，
∴第n 个正三角形的边长为2n
1
﹣，
∴第n 个正三角形的面积为：×2n
1
﹣×（2n
1
﹣×
）=
×22n
4
﹣．
故答案为
×22n
4
﹣．
三、解答题：本大题共7 小题，共68 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤．
20．△AOB 在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中，A（0，﹣3），B（﹣2，0），O
是坐标原点．
（1）△AOB 先作其关于x 轴的对称图形，再把新图形向右平移3 个单位，在图中画
出两次变换后所得的图形△A1O1B1；
（2）若点M（x，y）在△AOB 上，则它随上述两次变换后得到点M1，则点M1的坐标
是 （
x + 3 ，﹣
y ）
．
【考点】作图-轴对称变换；作图-平移变换．
【分析】（1）首先确定A、B、C 三点关于x 轴的对称点位置，再向右平移3 个单位
找到对应点位置，然后再连接即可；
（2）根据关于x 轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标相反可得点M（x，y）
关于x 轴的对称图形上的点的坐标为（x，﹣y），再向右平移3 个单位，点的横坐标
+3，纵坐标不变．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）点M（x，y）关于x 轴的对称图形上的点的坐标为（x，﹣y），再向右平移3 个单
位得到点M1的坐标是（x+3，﹣y）．
故答案为：（x+3，﹣y）．
21．如图，在△BCD 中，BC=4，BD=5，
（1）求CD 的取值范围；
（2）若AE∥BD，∠A=55°，∠BDE=125°，求∠C 的度数．
【考点】三角形三边关系；平行线的性质．
【分析】（1）利用三角形三边关系得出DC 的取值范围即可；
（2）利用平行线的性质得出∠AEC 的度数，再利用三角形内角和定理得出答案．
【解答】解：（1）∵在△BCD 中，BC=4，BD=5，
∴1＜DC＜9；
（2）∵AE∥BD，∠BDE=125°，
∴∠AEC=55°，
又∵∠A=55°，
∴∠C=70°．
22．如图，点B，F，C，E 在直线l 上（F，C 之间不能直接测量），点A，D 在l 异侧，测
得AB=DE，AC=DF，BF=EC．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）指出图中所有平行的线段，并说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）先证明BC=EF，再根据SSS 即可证明．
（2）结论AB∥DE，AC∥DF，根据全等三角形的性质即可证明．
【解答】（1）证明：∵BF=CE，
∴BF+FC=FC+CE，即BC=EF，
在△ABC 和△DEF 中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
（2）结论：AB∥DE，AC∥DF．
理由：∵△ABC≌△DEF，
∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE，
∴AB∥DE，AC∥DF．
23．在湖的两岸A、B 间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接度量A、B 两点间
的距离．请你用学过的数学知识按以下要求设计一测量方案．
（1）画出测量图案；
（2）写出测量步骤（测量数据用字母表示）；
（3）计算AB 的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）．
【考点】全等三角形的应用．
【分析】本题让我们了解测量两点之间的距离的一种方法，设计时，只要符合全等
三角形全等的条件，方案具有可操作性，需要测量的线段在陆地一侧可实施，就
可以达到目的．
【解答】解：（1）见图：
（2）在湖岸上选一点O，连接BO 并延长到C 使BO=OC，连接AO 并延长到点D 使
OD=AO，连接CD，则AB=CD．测量DC 的长度即为AB 的长度；
（3）设DC=m
∵BO=CO，∠AOB=∠COD，AO=DO
∴△AOB≌△COD （SAS）
∴AB=CD=m．
24．先阅读下面的材料，然后解答问题：
已知：如图1 等腰直角三角形ABC 中，∠B=90°，AD 是角平分线，交BC 边于点D．
求证：AC=AB+BD．
证明：如图1 ，在AC 上截取AE=AB ，连接DE ，则由已知条件易知：
Rt△ADB≌Rt△ADE（AAS）
∴∠AED=∠B=90°，DE=DB
又∵∠C=45°，∴△DEC 是等腰直角三角形．
∴DE=EC．
∴AC=AE+EC=AB+BD．
我们将这种证明一条线段等于另两线段和的方法称为“截长法”．
解决问题：现将原题中的“AD 是内角平分线，交BC 边于点D”换成“AD 是外角
平分线，交BC 边的延长线于点D，如图2”，其他条件不变，请你猜想线段AC、AB、
BD 之间的数量关系，并证明你的猜想．
【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【分析】根据Rt△ADB≌Rt△ADE（SAS）可得出∴∠AED=∠ABD=90°，AB=AE，
DB=DE，由等腰直角三角形的性质即可求解．
【解答】解：如图2，在CA 的延长线上截取AE=AB，连接DE．
则由已知条件易知：△ADB≌△ADE（SAS）．
∴∠AED=∠ABD=90°，AB=AE，DB=DE，
又∵∠C=45°，∴△DEC 是等腰直角三角形．
∴DE=EC．
∴DB=AE+AC=AB+AC．
25．已知：在△AOB 和△COD 中，OA=OB，OC=OD．
（1）如图①，若∠AOB=∠COD=60°，求证：①AC=BD ②∠APB=60°．
（2）如图②，若∠AOB=∠COD=α，则AC 与BD 间的等量关系式为
AC=BD
，
∠APB 的大小为
α
（直接写出结果，不证明）
【考点】等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）①根据已知先证明∠AOC=∠BOD，再由SAS 证明△AOC≌△BOD，所
以AC=BD．
②由△AOC≌△BOD，可得∠OAC=∠OBD，再结合图形，利用角的和差，可得
∠APB=60°．
（2）由（1）小题的证明可知，AC=BD，∠APB=α．
【解答】解：（1）①证明：∵∠AOB=∠COD=60°，
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，
∴∠AOC=∠BOD．
在△AOC 和△BOD 中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC=BD；
②证明：∵△AOC≌△BOD，
∴∠OAC=∠OBD，
∴∠OAC+∠AOB=∠OBD+∠APB，
∴∠OAC+60°=∠OBD+∠APB，
∴∠APB=60°；
（2）AC=BD，∠APB=α．
26．在△ABC 中，∠C＞∠B，AE 平分∠BAC，F 为射线AE 上一点（不与点E 重合），
且FD⊥BC 于D；
（1）如果点F 与点A 重合，且∠C=50°，∠B=30°，如图1，求∠EFD 的度数；
（2）如果点F 在线段AE 上（不与点A 重合），如图2，问∠EFD 与∠C﹣∠B 有怎样
的数量关系？并说明理由．
（3）如果点F 在△ABC 外部，如图3，此时∠EFD 与∠C﹣∠B 的数量关系是否会发
生变化？请说明理由．
【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．
【分析】（1）由三角形内角和定理可得∠BAC=100°，∠CAD=40°，由角平分线的性
质易得∠EAC 的度数，可得∠EFD；
（2）由角平分线的性质和三角形的内角和得出∠BAE=90°﹣（∠C+∠B），外角的
性质得出∠AEC=90°+ （∠B﹣∠C），在△EFD 中，由三角形内角和定理可得
∠EFD；
（3）与（2）的方法相同．
【解答】（1）解：∵∠C=50°，∠B=30°，
∴∠BAC=180°
50°
30°=100°
﹣
﹣
．
∵AE 平分∠BAC，
∴∠CAE=50°．
在△ACE 中∠AEC=80°，
在Rt△ADE 中∠EFD=90°
80°=10°
﹣
．
（2）∠EFD= （∠C﹣∠B）
证明：∵AE 平分∠BAC，
∴∠BAE=
=90°﹣（∠C+∠B）
∵∠AEC 为△ABE 的外角，
∴∠AEC=∠B+90°﹣（∠C+∠B）=90°+ （∠B﹣∠C）
∵FD⊥BC，
∴∠FDE=90°．
∴∠EFD=90°
90°
﹣
﹣（∠B﹣∠C）
∴∠EFD= （∠C﹣∠B）
（3）∠EFD= （∠C﹣∠B）．
如图，
∵AE 平分∠BAC，
∴∠BAE=
．
∵∠DEF 为△ABE 的外角，
∴∠DEF=∠B+
=90°+ （∠B﹣∠C），
∵FD⊥BC，
∴∠FDE=90°．
∴∠EFD=90°
90°
﹣
﹣（∠B﹣∠C）
∴∠EFD= （∠C﹣∠B）．
