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初中数学复习笔记
1
初中数学知识点总结
（一）数与代数
⒈数与式
⑴有理数：有限或不限循环性数（无理数：无限不循环小数）
⑵数轴：“三要素”
⑶相反数
⑷绝对值：│a│=a(a≥0)
│a│=-a(a<0)
⑸倒数
⑹指数
1 零指数：
0
a =1（a≠0）②负整指数：
（a≠0,n
是正整数）
⑺完全平方公式：
2
2
2
2
)
(
b
ab
a
b
a
⑻平方差公式：（a+b）
（a-b）=
2
2
b
a
⑼幂的运算性质：
①
m
a ·
n
a =
n
m
a
②
m
a ÷
n
a =
n
m
a
③
n
m
a )
(
= mn
a
④
n
ab)
(
= n
a
n
b
⑤
n
n
n
b
a
b
a
)
(
⑽科学记数法：
n
a 10
（1≤a＜10,n
是整数）
⑾算术平方根、平方根、立方根、
⑿
b
a
n
d
b
m
c
a
n
d
b
n
m
d
c
b
a
:
)
0
(
等比性质
⒉方程与不等式
⑴一元二次方程
①定义及一般形式：
)
0
(
0
2
a
c
bx
ax
②解法：
1.直接开平方法.
2.配方法
3.公式法：
)
0
4
(
2
4
2
2
2
,1
ac
b
a
ac
b
b
x
4.因式分解法.
③根的判别式：
2
ac
b
4
2
＞0，有两个解。
ac
b
4
2
＜0，无解。
ac
b
4
2
＝0，有1个解。
④维达定理：
a
c
x
x
a
b
x
x
2
1
2
1
,
⑤常用等式：
2
1
2
2
1
2
2
2
1
2
)
(
x
x
x
x
x
x
2
1
2
2
1
2
2
1
4
)
(
)
(
x
x
x
x
x
x
⑥应用题
1.行程问题：相遇问题、追及问题、水中航行：
水速
船速
顺
v
;
水速
船速
逆
v
2.增长率问题：起始数(1+X)=终止数
3.工程问题：工作量=工作效率×工作时间（常把工作量看着单位“1”
）。
4.几何问题
⑵分式方程（注意检验）
由增根求参数的值：
①将原方程化为整式方程
②将增根带入化间后的整式方程，求出参数的值。
⑶不等式的性质
①a>b
→a+c>b+c
②a>b
→ac>bc(c>0)
③a>b
→ac<bc(c<0)
④a>b,b>c
→a>c
⑤a>b,c>d
→a+c>b+d.
⒊函数
⑴一次函数
①定义：y=kx+b(k≠0)
②图象：直线过点（0,b）—与
y轴的交点和（-b/k,0）—与
x轴的交点。
③性质：
k>0，直线经过一、三象限，y
随x的增大而增大。
k<0，直线经过二、四象限，y
随x的增大而减小。
3
当b>0 时，直线必通过一、二象限。
当b=0 时，直线通过原点。
当b<0 时，直线必通过三、四象限。
④图象的四种情
况：
⑵正比例函：
①定义：y=kx(k≠0)
②图象：直线(过原点)
⑶反比例函数
①定义：
1
kx
x
k
y
(k≠0).
②图象：双曲线(两支)
③性质：
k>0 时，两支曲线分别位于第一、三象限，y的值随x 值的增大而减小。
k<0 时，两支曲线分别位于第二、四象限，y的值随x 值的增大而增大。;
④两支曲线无限接近于坐标轴但永远不能到达坐标轴。
⑷二次函数.
①定义：
)
)(
0
(
)
(
2
顶点式
a
k
h
x
a
y
)
)(
0
(
2
一般式
a
c
bx
ax
y
②图象：抛物线
)
0
(
2
a
c
bx
ax
y
顶点：
)
0
(
)
(
2
a
k
h
x
a
y
顶点：(h,k)
x
o
y
(k>0,b>0)
x
o
y
(k<0,b>0)
x
o
y
(k>0,b<0)
x
o
y
(k<0,b<0)
4
③性质：
⑴当a>0
时，开口向上；当a<0
时，开口向下。|a|越大，
则抛物线的开口越小。
⑵当a与b同号时(ab>0)，对称轴在
y轴左边；当a与b异号时(ab<0)，对称
轴在y轴右边；当b=0
时，对称轴在y轴。（左同右异）
⑶当c>0
时，与y轴交于正半轴；当c<0
时，与y轴交于负半轴；当c=0
时，
与y轴交于原点。
④平行移动的规律：
当h>0
时，y=ax
向右平行移动h个单位得到y=a(x-h)
当h<0
时，则向左平行移动|h|个单位得到。
当h>0,k>0
时，y=ax
向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，得到y=a(x-h)
+k
当h>0,k<0
时，y=ax
向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位，
得到y=a(x-h)
+k
当h<0,k>0
时，y=ax
向左平行移动|h|个单位，
再向上移动k个单位，得到y=a(x-h)
+k
当h<0,k<0
时，y=ax
向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位，得到
y=a(x-h)^2+k
（二）空间与图形
⒈三角形
⑴面积公式：底乘以高除以2
⑵“四心”：
①垂心：三角形三条高的交点。
②内心：三角形三条内角平分线的交点，即内接圆的圆心。
③重心：三角形三条中线的交点。
④外心：三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。
⑶三角形边与边的关系：
5
两边之和大于第三边。(较短的两条边)
两边之差小于第三边。(最长的边和最小的边)
⑷三角形内角和、外角与内角的关系：
三角形内角和为180 度。
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和。
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
⑸证明
判定及性质
直
角
三
角
形
①在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的
直角边等于斜边的一半。
②如果三角形一边上的中线等于这条斜边的一半，那么这条边所
对的角是直角。
①直角三角形两个锐角互余。
②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
③在直角三角形中，两条直角边a、b 的平方和等于斜边c 的平
方，即a2＋b2=c2 。
等腰
三角形
①等腰三角形的两个底角相等。(等边对等角)
②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重
合。(三线合一)
等边三角
形
①有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
相
似
三角形
①相似三角形对应高的比，
对应中线的比和对应角平分线的比都
等于相似比。
②相似三角形周长的比等于相似比。
③相似三角形面积的比等于相似比的平方。
④相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
6
全
等
三
角
形
①三边对应相等的两个三角形全等。(SSS
)
②两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。(SAS)
③两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。(ASA)
④两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。(AAS)
⑤有斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等。(HL)
⑥全等三角形的对应边相等、对应角相等。
三角形
中位线
①连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
②三角形的中位线平行与第三边，并且等于它的一半。
⒉特殊的角：
⑴对顶角
⑵余角
⑶补角
⒊线段
定理
垂直平分线
①线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点
的距离相等。
梯形中位线
①梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一
半。
平行线
①内错角相等。②同旁内角互补。③同位角相等。
垂线段
①点到直线的距离，垂线段最短。
角平分线
①角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
⒋三角函数
⑴锐角三角函数：
正弦：sin
A=
∠A的对边
斜边
7
余弦：cos A=∠A 的邻边
斜边
正切：tan A=∠A 的对边
∠A 的邻边
⑵互余两角的三角函数：
①sin A=co s(90°-A)
cos A=sin(90°-A)
②tan A=cot(90°-A)
cot A=tan(90°-A)
⑶同一锐角的三角函数关系：
sin2A+cos2A=1
tanA·cotA=1
tanA= sinA
cosA
⑷特殊角的三角函数值：
三角函数
sinα
cosα
tanα
30°
1
2
3
2
3
3
45°
2
2
2
2
1
60°
3
2
1
2
3
⑸对实际问题的处理：
①坡度：Sin A 的值越大，梯子越陡；Cos A 的值越小，梯子越陡。
②方位角（上北下南左西右东）
③俯、仰角：
⒌四边形
⑴面积公式：
①梯形，上底加下底的和乘以高除以2
8
②菱形，对角线乘以对角线除以2
③平行四边行，底乘以高
⑵
判定
性质
平
行
四
边
形
①两组对边分别平行。
②两组对边分别相等。
③两组对角分别相等。
④两条对角线互相平分。
⑤一组对边平行且相等。
⑥一组对角相等且一组对边平
行。
①对角相等。
②两组对边平行且相等。
③两组对角线互相平分。
菱
形
①有一组邻边相等的平行四边
形。
②两条对角线互相垂直的平行
四边形。
③四条边都相等的四边形。
①具有平行四边形的一切性质。
②四条边都相等。
③对角线互相垂直，每条对角线平分一
组对角。
④既是轴对称图形，也是中心对称图
形。
矩
形
①有一个角是直角的平行四边
形。
②对角线相等的平行四边形。
③有三个角是直角的四边形。
①具有平行四边形的一切性质。
②四个角都是直角。
③对角线相等。
④既是轴对称图形，也是轴对称图形。
正
方
形
①有一组邻边相等的矩形。
②有一个角是直角的菱形。
③有一组邻边相等且有一个角
是直角的平行四边形。
①具有平行四边形、矩形、菱形的一切
性质。
②对角线互相垂直、平分且相等。
9
④对角线互相垂直平分且相等
的四边形。
③既是轴对称图形，也是中心对称图
形。
等
腰
梯
形
①一组对边平行且另一组对边
相等。
②同一底上的两个底角相等的
梯形。
①两条腰相等。
②对角线相等。
⑶顺次连结各边中点得到的图形：
①顺次连结对角线相等的四边形各边中点得菱形。
②顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点得矩形。
③顺次连结对角线垂直相等的四边形各边中点得正方形。
④顺次连结对四边形各边中点得平行四边形。
⒍圆
⑴垂径定理：
过圆心，垂直于弦，平分弦，平分弦所对的优劣弧。（知二推三）
⑵与圆有关的角：
圆心角
圆周角
定义
顶点在圆心的角
顶点在圆周上的角
性
质
圆心角的度数等于它的弧
度。
直径所对的圆周角为90
度。
在同圆或等圆中，相等的圆心（周）角所对的弧相等，所
对的弦相等，所对的弦的弦心距也相等。
关系
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
⑶圆和圆的位置关系：（圆心距d，半径分别为Rr且R>r）
