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【巩固练习】
一.选择题
1.下列关于矩形的说法中正确的是( )
A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是矩形
C．矩形的对角线互相垂直且平分 D．矩形的对角线相等且互相平分
2. 矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm 和3cm 两部分，则它的面积为（ ）
A.3
2
cm
B. 4
2
cm C. 12
2
cm D. 4
2
cm 或12
2
cm
3.（2016 春•青浦区期末）已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，延长BA 到点E，使AE=AB，
联结ED，EC，AC，添加一个条件，能使四边形ACDE 成为矩形的是（ ）
A．AC=CD B．AB=AD C．AD=AE D．BC=CE
4. 把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠,EM、FM 为折痕,折叠后的C 点落在B′M 或
B′M 的延长线上,那么∠EMF 的度数是( )
A.85° B.90° C.95° D.100°
5．如图，四边形ABCD 中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD 于点E，且四边形ABCD 的面
积为8，则BE＝( )
A.2
B.3 C.
2
2
D.
3
2
6. 矩形的面积为120
2
cm ，周长为46cm ，则它的对角线长为（ ）
A.15cm B.16cm C.17cm D.18cm
二.填空题
7．如图，四边形ABCD 是一张矩形纸片，AD＝2AB，若沿过点D 的折痕DE 将A 角翻折，使点A 落
在BC 上的A1处，则∠EA1B＝______°.
8．如图，矩形ABCD 中，AB＝2，BC＝3，对角线AC 的垂直平分线分别交AD，BC 于点E、F，连结
CE，则CE 的长______．
9. 如图所示，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝4cm ，则矩形对角线
AC 长为________cm ．
10.（2016·黄冈）如图，在矩形ABCD 中，点E、F 分别在边CD、BC 上，DC=3DE=
，将矩形沿直
线EF 折叠，使点C 恰好落在AD 边上的点P 处，则FP=_______.
11.（2015•南漳县模拟）矩形ABCD 的∠A 的平分线AE 分BC 成两部分的比为1：3，若矩形
ABCD 的面积为36，则其周长为
．
12.如图所示，将矩形ABCD 沿AE 向上折叠，使点B 落在DC 边上的F 处，若△AFD 的周长
为9，△ECF 的周长为3，则矩形ABCD 的周长为___________.
三.解答题
13．（2015•铁力市二模）如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，PE⊥BC 于点E；
PF⊥CD 于点F，连接EF，给出下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③∠PFE=∠BAP；
④PD=EC；⑤PB2+PD2=2PA2，正确的有几个？
14.已知：如图，四边形ABCD 的对角线AC、BD 交于点O，BE⊥AC 于E，DF⊥AC 于F，点O 既是AC
的中点，又是EF 的中点．
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）若OA＝1
2 BD，则四边形ABCD 是什么特殊四边形？说明理由．
15.已知：如图，在矩形ABCD 中，E、F 分别是边BC、AB 上的点，且EF＝ED，EF⊥ED．
求证：AE 平分∠BAD．
【答案与解析】
一.选择题
1.【答案】D；
2.【答案】D；
【解析】矩形的短边可能是1，也可能是3，所以面积为4×1 或4×3.
3.【答案】D；
【解析】添加一个条件BC=CE.
理由：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB∥CD 且AB=CD，
∵AE=AB，∴AE∥CD 且AE=CD，∴四边形DEAC 为平行四边形，
∵BC=EC，AE=AB，∴∠EAC=90°，∴平行四边形ACDE 是矩形.
4.【答案】B；
【解析】∠EMF＝∠EMB′＋∠FMB′＝2
1
∠BMC′＋2
1
∠CMC′＝2
1
×180°＝90°.
5．【答案】C；
【解析】过点C 做BE 垂线，垂足为F，易证△BAE≌△CBF，所以BF＝AE，BE＝CF，所以总面积
＝AE×BE＋CF×EF＝ AE×BE＋BE×（BE－AE）＝
2
8
BE
，
2 2
BE
.
6.【答案】C；
【解析】设边长为a
b
、，则
23,
120,
a
b
ab
解得
2
2
289
a
b
，所以对角线为
289
17
.
二.填空题
7．【答案】60°；
【解析】AD＝A1D＝2CD，所以∠CA1D＝30°，∠EA1B＝60°.
8.【答案】13
6 ；
【解析】设AE＝CE＝x ，DE＝3
x
，
2
2
2
3
2
x
x
，
13
6
x
.
9.【答案】8；
【解析】由矩形的性质可知△AOB 是等边三角形，∴ AC＝2AO＝2AB＝8cm ．
10.【答案】
；
【解析】作FM⊥AD 于M，如图所示：
则MF=DC=
，由题意可得：CE=
，
由折叠可得：PE=CE=
=2DE，∠EPF=∠C=90°，
∴∠DPE=30°，∴∠MPF=60°，∠MFP=30°，∴FP=
.
11.【答案】30 或10
；
【解析】∵AE 平分∠DAB，
∴∠DAE=∠EAB，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD=BC，DC=AB，AD∥BC，
∴∠DEA=∠BEA，
∴∠EAB=∠BEA，
∴AB=BE，
①设BE=x，CE=3x，则AD=4x，AB=x，
∵矩形ABCD 的面积为36，
∴x•4x=36，
解得：x=3（舍负），
即AD=BC=4x=12，AB=CD=x=3，
∴矩形的周长为：AB+BC+CD+AD=2×（3+12）=30；
②设BE=3x，CE=x，则AD=4x，AB=3x，
∵矩形ABCD 的面积为36，
∴3x•4x=36，
解得：x=
（舍负），
即AD=BC=4x=4
，AB=CD=x=
，
∴矩形的周长为：AB+BC+CD+AD=2×（4
+
）=10
；
故答案为：30 或10
．
12.【答案】12；
【解析】设BE＝EF＝x ，CE＝b ，CF＝a ，DF＝y ，则
9,
3
x
b
y
y
a
x
a
b
，
解得
3
y
，矩形ABCD 的周长＝
2
2
3
3
12
y
a
x
b
.
三.解答题
13.【解析】
解：①正确，连接PC，可得PC=EF，PC=PA，∴AP=EF；
②正确；延长AP，交EF 于点N，则∠EPN=∠BAP=∠PCE=∠PFE，可得AP⊥EF；
③正确；∠PFE=∠PCE=∠BAP；
④错误，PD=
PF=
CE；
⑤正确，PB2+PD2=2PA2．
所以正确的有4 个：①②③⑤.
14.【解析】
（1）证明：∵BE⊥AC．DF⊥AC，
∴∠BEO＝∠DFO＝90°，
∵点O 是EF 的中点，
∴OE＝OF，
又∵∠DOF＝∠BOE，
∴△BOE≌△DOF（ASA）；
（2）解：四边形ABCD 是矩形．理由如下：
∵△BOE≌△DOF，
∴OB＝OD，
又∵OA＝OC，
∴四边形ABCD 是平行四边形，
∵OA＝1
2 BD，OA＝1
2 AC，
∴BD＝AC，
∴ABCD 是矩形．
15.【解析】
证明：∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠BAD＝90°，AB＝CD，
∴∠BEF＋∠BFE＝90°．
∵EF⊥ED，
∴∠BEF＋∠CED＝90°．
∴∠BFE＝∠CED．
又∵EF＝ED，
∴△EBF≌△DCE．
∴BE＝CD．
∴BE＝AB．∴∠BAE＝∠BEA＝45°．
∴∠EAD＝45°．
∴∠BAE＝∠EAD．
∴AE 平分∠BAD．
