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让更多的孩子得到更好的教育
《旋转》全章复习与巩固--巩固练习（提高）
【巩固练习】
一、选择题
1．在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( ).
2. 时钟钟面上的分针从12 时开始绕中心旋转120°，则下列说法正确的是( ).
A.此时分针指向的数字为3 B.此时分针指向的数字为6
C.此时分针指向的数字为4 D.分针转动3，但时针却未改变
3．如图，若正方形EFGH 由正方形ABCD 绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（ ）.
A．M 或O 或N B．E 或O 或C C．E 或O 或N D．M 或O 或C
4．如图，菱形OABC 的一边OA 在x 轴上，将菱形OABC 绕原点O 顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，
若OB=
，∠C=120°，则点B′的坐标为（ ）.
A．（3，
） B．（3，
） C．（
，
） D．（
，
）
第3 题 第4 题 第5 题
5．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2．将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转n 度后得到
△EDC，此时点D 在AB 边上，斜边DE 交AC 边于点F，则n 的大小和图中阴影部分的面积分别为（ ）.
A．30，2 B．60，2 C．60，
D．60，
6. （2016•玉林）把一副三角板按如图放置，其中∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边
AC=BD=10，若将三角板DEB 绕点B 逆时针旋转45°得到△D′E′B，则点A 在△D′E′B 的（ ）
A．内部B．外部C．边上D．以上都有可能
7． 下列图案都是在一个图案的基础上，在“几何画板”软件中拖动一点后形成的，它们的共性是都可以
由一个“基本图案”通过连续旋转得来，旋转的角度是（ ）.
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A．30° B．45° C．60° D．90°
8．在平面直角坐标系中，将点A1(6，1)向左平移4 个单位到达点A2的位置，再向上平移3 个单位到达点
A3的位置，△A1A2A3绕点A2逆时针方向旋转900，则旋转后A3的坐标为( ).
A.(-2，1) B.(1，1) C.(-1，1) D.(5，1)
二. 填空题
9. （2015•扬州）如图，已知Rt
ABC
△
中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，将△ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转
90°得到△DEC．若点F 是DE 的中点，连接AF，则AF= ．
10.如图，正方形ABCD 的边长为4cm，正方形AEFG 的边长为1cm．如果正方形AEFG 绕点A 旋转，那么C、
F 两点之间的最小距离为
_________
cm．
11．
（2016•南昌校级自主招生）已知点A（2a
3b
﹣
，﹣1）与点A′（﹣2，3a+2b）关于坐标原点对称，则5a
b=
﹣
．
12.如图所示，在Rt△ABC 中，∠A＝90°，AB＝AC＝4cm，以斜边BC 上距离B 点
cm 的H 为中心，把
这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积是＿＿＿
cm2．
13．如图，直角梯形ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，将腰CD 以D 为中心逆时针旋转90°至ED，连接AE、
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DE，△ADE 的面积为3，则BC 的长为_________．
14. 如图，△ABC 是等腰直角三角形，BC 是斜边，P 为△ABC 内一点，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后与
△ACP′重合，如果AP=3，那么线段PP′的长等于________．
15．如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），进行如下操作：将线段OP0按逆时针方向旋转
45°，再将其长度伸长为OP0的2 倍，得到线段OP1；又将线段OP1按逆时针方向旋转45°，长度伸长
为OP1的2 倍，得到线段OP2，如此重复操作下去，得到线段OP3，OP4，…，则：
（1）点P5的坐标为__________；
（2）落在x 轴正半轴上的点Pn坐标是_________，其中n 满足的条件是________．
16．在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为(1，0)，将点P0绕着原点O 按逆时针方向旋转60°得点P1，
延长OP1到点P2，使OP2=2OP1，再将点P2绕着原点O 按逆时针方向旋转60°得点P3，则点P3的坐标是
__________.
三 综合题
17. 如图，已知，点P 是正方ABCD 内一点，且AP∶BP∶CP=1∶2∶3．
求证：∠APB＝135°．
18.如图，已知点D 是△ABC 的BC 边的中点，E、F 分别是AB、AC 上的点，且DE⊥DF．
求证： BE + CF＞EF
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19. （2015•黄冈中学自主招生）阅读下面材料：
小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC 是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC 为
边在BC 的下方作等边△PBC，求AP 的最大值．
小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B 为旋转中心将
△ABP 逆时针旋转60°得到△A′BC，连接A′A，当点A 落在A′C 上时，此题可解（如图2）．
请你回答：AP 的最大值是
．
参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：
如图3，等腰Rt
ABC
△
．边AB=4，P 为△ABC 内部一点，则AP+BP+CP 的最小值是 ．（结果可
以不化简）
20.如图14―1，14―2，四边形ABCD 是正方形，M 是AB 延长线上一点.直角三角尺的一条直角边经
过点D，且直角顶点E 在AB 边上滑动（点E 不与点A，B 重合），另一条直角边与∠CBM 的平分线BF
相交于点F.
⑴如图14―1，当点E 在AB 边的中点位置时：
①通过测量DE，EF 的长度，猜想DE 与EF 满足的数量关系是 ；
②连接点E 与AD 边的中点N，猜想NE 与BF 满足的数量关系是 ；
③请证明你的上述两猜想.
⑵如图14―2，当点E 在AB 边上的任意位置时，请你在AD 边上找到一点N，使得NE=BF，进而
猜想此时DE 与EF 有怎样的数量关系.
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【答案与解析】
一、选择题
1．【答案】C.
2．【答案】C.
【解析】分针每5 分钟转动30.
3．【答案】A.
【解析】 因为以M 或O 或N 为旋转中心两个图形能够完全重合.
4．【答案】D.
【解析】因为是菱形，所以可得
为等腰直角三角形.
5．【答案】C.
【解析】△BDC 为正三角形，所以△FDC 为直角三角形，∠DCF=30°，DF=1，FC=
,即求得.
6.【答案】C．
【解析】∵AC=BD=10，
又∵∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°，
∴BE=5，AB=BC=5
，
由三角板DEB 绕点B 逆时针旋转45°得到△D′E′B，设△D′E′B 与直线AB 交于G，可知：∠EBE′=45°，
∠E′=∠DEB=90°，
∴△GE′B 是等腰直角三角形，且BE′=BE=5，
∴BG=
=5
，
∴BG=AB，
∴点A 在△D′E′B 的边上，
故选C．
7．【答案】D.
8.【答案】C.
【解析】
即旋转90°后
坐标为（-1,1）.
二、填空题
9.【答案】5.
【解析】作FG AC
⊥
，
根据旋转的性质，EC=BC=4，DC=AC=6，∠ACD= ACB=90°
∠
，
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∵点F 是DE 的中点，
FG CD
∴
∥
GF=
∴
CD= AC=3
EG= EC= BC=2
AC=6
∵
，EC=BC=4
AE=2
∴
AG=4
∴
根据勾股定理，AF=5．
10.【答案】3 2；
【解析】当点F 在正方形ABCD 的对角线AC 上时，CF=AC﹣AF，当点F 不在正方形的对角线上时由三角
形的三边关系可知AC﹣AF＜CF＜AC+AF，
∴当点F 在正方形ABCD 的对角线AC 上时，C、F 两点之间的距离最小，
∴CF=AC﹣AF=4
﹣
=3 2cm．
故答案为：3 2.
11.【答案】
．
【解析】由点A（2a
3b
﹣
，﹣1）与点A′（﹣2，3a+2b）关于坐标原点对称，得
，
解得
，
5a
b=5
﹣
×
﹣
=
，
12．【答案】1.
【解析】证明△FHC 和△FHG 是等腰直角三角形，且腰长为
，即得.
13．【答案】5.
【解析】做DF⊥BC,EG⊥AD,交AD 的延长线于点G ,则AD=BF,
可证得△DEG≌△DCF,即EG=FC,又因为
，所以EG=3，
即BC=BF+FC=AD+EG=5.
14．【答案】
.
【解析】由旋转可知△APP′是等腰直角三角形，所以PP′=
.
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15．【答案】(1)
,
（2）落在x 轴正半轴上的点Pn坐标是
，其中n 满足的条件是n=8k（k=0，1，2，…）
16．【答案】(-1，
).
【解析】首先求得
1
2
,
P P 的坐标，即可求得
3P 坐标.
三.解答题
17.【解析】证明：将△APB 绕点B 沿顺时针方向旋转90°至△CP′B 位置(如图)，
则有△APB≌△CP′B．
∴BP′= BP，CP′＝AP， ∠PBP′＝ 90°，∠APB=∠CP′B．
设CP′= AP= k，则BP′= BP=2k，CP= 3k，在Rt△BP′P 中，
BP′= BP= 2k，∴∠BP′P=45°．
=(3k)2= CP2，
∴∠CP′P=90°，
∴∠CP′B=∠CP′P+∠BP′P=90°+45°=135°，
即∠APB=135°.
18.【解析】证明：将△BDE 绕点D 沿顺时针方向旋转180°至△CDG 位置，则有△BDE≌△CDG．
∴BE=CG，ED=DG．
∵DE⊥DF，即 DF⊥EG．
∴EF=FG，在△FCG 中CG+CF＞FG，
即BE+CF＞EF．
19.【解析】解：（1）如图2，∵△ABP 逆时针旋转60°得到△A′BC，
A′BA=60°
∴∠
，A′B=AB，AP=A′C
A′BA
∴△
是等边三角形，
A′A=AB=BA′=2
∴
，
在△AA′C 中，A′C＜AA′+AC，即AP＜6，
则当点A′A、C 三点共线时，A′C=AA′+AC，即AP=6，即AP 的最大值是：6；
故答案是：6．
（2）如图3，∵Rt
ABC
△
是等腰三角形，∴AB=BC．
以B 为中心，将△APB 逆时针旋转60°得到△A'P'B．则A'B=AB=BC=4，PA=P′A′，PB=P′B，
PA+PB+PC=P′A′+P'B+PC
∴
．
∵当A'、P'、P、C 四点共线时，（P'A+P'B+PC）最短，即线段A'C 最短，
A'C=PA+PB+PC
∴
，
A'C
∴
长度即为所求．
过A'作A'D CB
⊥
延长线于D．
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让更多的孩子得到更好的教育
A'BA=60°
∵∠
（由旋转可知），
1=30°
∴∠
．
A'B=4
∵
，
A'D=2
∴
，BD=2
，
CD=4+2
∴
．
在Rt
A'DC
△
中A'C=
=
=
=2
+2
；
AP+BP+CP
∴
的最小值是：2
+2
（或不化简为
）．
故答案是：2
+2
（或不化简为
）．
20.【解析】
⑴ ①DE=EF；
②NE=BF.
③证明：
∵四边形ABCD 是正方形，N，E 分别为AD，AB 的中点，
∴DN=EB
∵BF 平分∠CBM，AN=AE，∴∠DNE=∠EBF=90°+45°=135°
∵∠NDE+∠DEA=90°，∠BEF+∠DEA=90°，∴∠NDE=∠BEF
∴△DNE≌△EBF
∴ DE=EF，NE=BF
⑵在DA 边上截取DN=EB（或截取AN=AE），连结NE，点N 就使得NE=BF 成立（图略）
此时， DE=EF.
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