文档文本内容
《圆》全章复习与巩固—知识讲解（基础）
【学习目标】
1．理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系；
2.探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对
的圆周角的特征；
3．了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的
切线，会过圆上一点画圆的切线；
4．了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；
5．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆
锥的侧面积及全面积；
6．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表
达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角
1．圆的定义
(1)线段OA 绕着它的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的封闭曲线，叫做圆.
(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.
要点诠释：
①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；
②圆是一条封闭曲线.
2．圆的性质
(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对
称中心是圆心.
在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么
它所对应的其他各组分别相等.
(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.
第1页 共12页
(3)垂径定理及推论：
①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.
④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.
⑤平行弦夹的弧相等.
要点诠释：
在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这
五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦
不能是直径）
3．两圆的性质
(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.
(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点.
4．与圆有关的角
(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.
圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.
(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.
圆周角的性质：
①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.
②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.
③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.
④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.
要点诠释：
(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.
(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.
要点二、与圆有关的位置关系
1．判定一个点P 是否在⊙O 上
设⊙O 的半径为
，OP=
，则有
点P 在⊙O 外；
点P 在⊙O 上；
点P 在⊙O 内.
要点诠释：
点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知
道数量关系也可以确定位置关系.
2．判定几个点
在同一个圆上的方法
当
时，
在⊙O 上.
3．直线和圆的位置关系
设⊙O 半径为R，点O 到直线的距离为
.
(1)直线和⊙O 没有公共点
直线和圆相离
.
(2)直线和⊙O 有唯一公共点
直线和⊙O 相切
.
(3)直线和⊙O 有两个公共点
直线和⊙O 相交
.
4．切线的判定、性质
(1)切线的判定：
①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
②到圆心的距离
等于圆的半径的直线是圆的切线.
(2)切线的性质：
①圆的切线垂直于过切点的半径.
②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.
第2页 共12页
③经过切点作切线的垂线经过圆心.
(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.
(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切
线的夹角.
5．圆和圆的位置关系
设
的半径为
，圆心距
.
(1)
和
没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部
外离
.
(2)
和
没有公共点，且
的每一个点都在
内部
内含
(3)
和
有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部
外切
.
(4)
和
有唯一公共点，除这个点外，
的每个点都在
内部
内切
.
(5)
和
有两个公共点
相交
.
两圆的五种位置关系可以概括为三类：
要点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形
1．三角形的内心、外心、重心、垂心
(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三
角形三边的距离相等，通常用“I”表示.
(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角
形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的
距离相等，通常用O 表示.
(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2
倍，通常用G 表示.
(4)垂心：是三角形三边高线的交点.
要点诠释：
(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；
(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积
的一半，即
(S 为三角形的面积，P 为三角形的周长，r 为内切圆的半径).
(3) 三角形的外心与内心的区别：
名称
确定方法
图形
性质
第3页 共12页
外心(三角形外
接圆的圆心)
三角形三边中垂线的
交点
(1)OA=OB=OC；(2)外心不一
定在三角形内部
内心(三角形内
切圆的圆心)
三角形三条角平分线
的交点
(1)到三角形三边距离相等；
(2)OA、OB、OC 分别平分
∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内
心在三角形内部.
2．圆内接四边形和外切四边形
(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.
(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.
要点四、圆中有关计算
1．圆中有关计算
圆的面积公式：
，周长
.
圆心角为
、半径为R 的弧长
.
圆心角为
，半径为R，弧长为的扇形的面积
.
弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.
圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为
，侧面积为
，全面
积为
.
圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为
的圆锥的侧面积为
，全面积为
，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有
.
要点诠释：
(1) 对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1° 的扇形面积是圆面积的
，即
；
(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可
以求出第三个量.
(3)扇形面积公式
，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式
有点
类似，可类比记忆；
(4)扇形两个面积公式之间的联系：
.
【典型例题】
类型一、圆的有关概念及性质
1．如图所示，△ABC 的三个顶点的坐标分别为A(－1，3)、B (－2，－2)、C (4，－2)，则△ABC 外接圆
半径的长度为 ．
第4页 共12页
【答案】13 ；
【解析】由已知得BC∥x 轴，则BC 中垂线为
2
4
1
2
x
那么，△ABC 外接圆圆心在直线x=1 上，
设外接圆圆心P(1,a)，则由PA=PB=r 得到：PA2=PB2
即(1+1)2+(a-3)2=(1+2)2+(a+2)2
化简得 4+a2-6a+9=9+a2+4a+4
解得 a=0
即△ABC 外接圆圆心为P(1,0)
则
2
2
(1 1)
(0
3)
13
r
PA
【总结升华】 三角形的外心是三边中垂线的交点，由B、C 的坐标知：圆心P（设△ABC 的外心为P）必在直
线x=1 上；由图知：BC 的垂直平分线正好经过（1，0），由此可得到P（1，0）；连接PA、PB，由勾股
定理即可求得⊙P 的半径长．
类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理
2．如图所示，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E，已知AE＝1cm，EB＝5cm，∠DEB＝60°，
求CD 的长．
【思路点拨】
作OF⊥CD 于F，构造Rt△OEF，求半径和OF 的长；连接OD，构造Rt△OFD，求CD 的长．
【答案与解析】
作OF⊥CD 于F，连接OD．∵ AE＝1，EB＝5，∴ AB＝6．
∵
3
2
AB
OA
，∴ OE＝OA-AE＝3-1＝2．
在Rt△OEF 中，∵ ∠DEB＝60°，∴ ∠EOF＝30°，
∴
1
1
2
EF
OE
，∴
2
2
3
OF
OE
EF
．
第5页 共12页
在Rt△DFO 中，OF＝3 ，OD＝OA＝3，
∴
2
2
2
2
3
( 3)
6
DF
OD
OF
(cm)．
∵ OF⊥CD，∴ DF＝CF，∴ CD＝2DF＝2 6 cm．
【总结升华】因为垂径定理涉及垂直关系，所以常常可以利用弦心距（圆心到弦的距离）、半径和半弦组成
一个直角三角形，用勾股定理来解决问题，因而，在圆中常作弦心距或连接半径作为辅助线，然后
用垂弦定理来解题．
举一反三：
【变式】如图，AB、AC 都是圆O 的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，如果MN＝3，那么BC＝ ．
【答案】由OM⊥AB，ON⊥AC，得M、N 分别为AB、AC 的中点（垂径定理），则MN 是△ABC 的中位线，BC=2MN=6.
3．如图，以原点O 为圆心的圆交x 轴于点A、B 两点，交y 轴的正半轴于点C，D 为第一象限内⊙O 上
的一点，若∠DAB = 20°，则∠OCD = ．
第6页 共12页
N
M
O
C
B
A
【答案】65°.
【解析】连结OD，则∠DOB = 40°，设圆交y 轴负半轴于E，得∠DOE= 130°，∠OCD =65°.
【总结升华】根据同弧所对圆周角与圆心角的关系可求.
举一反三：
【变式】如图所示，△ABC 内接于⊙O，点D 是CA 延长线上一点，若∠BOC=120°，∠BAD 等于( )
A.30° B.60° C.75° D.90°
【答案】本题可先求出∠BAC 的度数，∠BAC 所对的弧是优弧
，则该弧所对的圆心角度数
为360°-120°=240°，所以
，因此，
.
故选B.
类型三、与圆有关的位置关系
4．如图，在矩形ABCD 中，点O 在对角线AC 上，以OA 的长为半径的圆O 与AD、AC 分别交于点E、F，且
∠ACB=∠DCE．请判断直线CE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论.
【答案与解析】
直线CE 与⊙O 相切
第7页 共12页
y
x
O
A
B
D
C
（第3 题）
理由：连接OE
∵OE=OA
∴∠OEA=∠OAE
∵四边形ABCD 是矩形
∴∠B=∠D=∠BAD=90°，BC∥AD,CD=AB
∴∠DCE+∠DEC=90°, ∠ACB=∠DAC
又∠DCE=∠ACB
∴∠DEC+∠DAC=90°
∵OE=OA
∴∠OEA=∠DAC
∴∠DEC+∠OEA=90°
∴∠OEC=90°
∴OE⊥EC
∴直线CE 与⊙O 相切.
【总结升华】本题考查了切线的判定：经过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．
举一反三：
【变式】如图，P 为正比例函数
图象上的一个动点，
的半径为3，设点P 的坐标为(x、y).
(1)求
与直线
相切时点P 的坐标.
(2)请直接写出
与直线
相交、相离时x 的取值范围.
【答案】(1)过
作直线
的垂线，垂足为
.
当点
在直线
右侧时，
，得
，
(5，7.5).
第8页 共12页
当点
在直线
左侧时，
，得
，
(
，
).
当
与直线
相切时，
点
的坐标为(5，7.5)或(
，
).
(2)当
时，
与直线
相交.
当
或
时，
与直线
相离.
类型四、圆中有关的计算
5．如图所示，已知正方形的边长为a，求阴影部分的面积．
【思路点拨】
叶形的总面积可看做四个半圆面积减去正方形面积，
则
2
2
2
2
1
1
4
4
2
2
2
a
S
S
S
a
a
a
阴影
正方形
半圆
．
【答案与解析】
(几何方法)
∵ 正方形边长为a，
∴
2
S
a
正方形
，
2
2
2
1
1
1
2
2
2
8
a
S
R
a
半圆
．
∵
2
2
S
S
S
正方形
半圆
个空白处，
∴
2
2
2
2
2
1
1
2
8
4
S
a
a
a
a
个空白处
．
∴
2
2
4
2
1
2
2
2
S
S
a
a
个空白处
个空白处
．
∴
2
2
2
2
2
4
1
1
2
2
2
S
S
S
a
a
a
a
a
阴影
正方形
个空白处
．
∴ 阴影部分的总面积为
2
2
1
2
a
a
．
(代数解法)
第9页 共12页
观察图形，可知2 个“叶瓣”与1 个空白组成1 个半圆；4 个“叶瓣”与4 个空白组成一个正方形．
设每个“叶瓣”面积为x，每个空白面积为y，则
2
2
2
2
,
2
4
4
,
a
x
y
x
y
a
①
②
由①×4-②，得
2
2
1
4
2
x
a
a
，即为阴影部分的总面积．
【总结升华】比较以上两种方法，代数解法更加简捷，在运用此法时，不需把两个未知数求出来，只要求出
表示阴影部分面积的代数式的值即可．叶形的总面积可看做四个半圆面积减去正方形面积，则
2
2
2
2
1
1
4
4
2
2
2
a
S
S
S
a
a
a
阴影
正方形
半圆
．
也可以用正方形面积减去四个空白处面积．以上均为几何方法，还可以设每个“叶瓣”面积为
x，每个空白面积为y，列方程组解答．
类型五、圆与其他知识的综合运用
6．如图(1)是某学校存放学生自行车的车棚示意图(尺寸如图(1))，车棚顶部是圆柱侧面的一部分，
其展开图是矩形．图(2)是车棚顶部截面的示意图，AB
所在圆的圆心为O．车棚顶部用一种帆布覆盖，求
覆盖棚顶的帆布的面积(不考虑接缝等因素，计算结果保留π)．
【思路点拨】
求覆盖棚顶的帆布的面积，就是求以AB
为底面的圆柱的侧面积．根据题意，应先求出AB
所对的圆
心角度数以及所在圆的半径，才能求AB
的长．
【答案与解析】
连接OB，过点O 作OE⊥AB，垂足为E，交AB
于点F，如图(2)．
由垂径定理，可知E 是AB 中点，F 是AB
的中点，
∴
1
2 3
2
AE
AB
，EF＝2．
设半径为R 米，则OE＝(R-2)m．
第10页 共12页
在Rt△AOE 中，由勾股定理，得
2
2
2
(
2)
(2 3)
R
R
．
解得R＝4．
∴ OE＝2，
1
2
OE
AO
，∴ ∠AOE＝60°，∴ ∠AOB＝120°．
∴ AB 的长为120 4
8
180
3
(m)．
∴ 帆布的面积为8
60
160
3
(m2)．
【总结升华】本题以学生校园生活中的常见车棚为命题背景，使考生在考场上能有一种亲切的感觉，这也
体现了中考命题贴近学生生活实际的原则．
举一反三：
【变式】某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，
如图所示是水平放置的破裂管道有水部分的截面.
①请你补全这个输水管道的圆形截面图；
②若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截
面 的半径.
【答案】①作法略.如图所示.
②如图所示，过O 作OC⊥AB 于D，交
于C，
∵ OC⊥AB，
∴
.
由题意可知，CD=4cm.
设半径为x cm，则
.
在Rt△BOD 中，由勾股定理得：
第11页 共12页
∴
.
∴
.
即这个圆形截面的半径为10cm.
第12页 共12页
