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弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图—知识讲解（基础）
责编：常春芳
【学习目标】
1.通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长
和扇形面积
的计算公式，并应用这些公式解决问题；
2.了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，会应用公式解决问题；
3. 能准确计算组合图形的面积.
【要点梳理】
要点一、弧长公式
半径为R 的圆中
360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：
n°的圆心角所对的圆的弧长公式：
(弧是圆的一部分)
要点诠释：
(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的
，即
；
(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180 都不带单位，R 为弧所在圆的半径；
(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第
三个量.
要点二、扇形面积公式
1.扇形的定义
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.
2.扇形面积公式
半径为R 的圆中
360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：
n°的圆心角所对的扇形面积公式：
要点诠释：
(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的
，
即
；
(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可
以求出第三个量.
(3)扇形面积公式
，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式
有点
类似，可类比记忆；
(4)扇形两个面积公式之间的联系：
.
要点三、圆锥的侧面积和全面积
连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.
圆锥的母线长为，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则
圆锥的侧面积
，
圆锥的全面积
.
要点诠释：
扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展
开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.
【典型例题】
类型一、弧长和扇形的有关计算
1．如图（1），AB 切⊙O 于点B，OA=2 3 ，AB=3，弦BC∥OA，则劣弧
的弧长为（ ）．
A．
3
3
B．3
2
C．
D．3
2
图（1）
【答案】A.
【解析】连结OB、OC，如图（2）
则
0
OBA
＝9
，OB= 3 ，
0
A
＝3
，
0
AOB
＝6
，
由弦BC∥OA 得
60
OBC
AOB
＝
，
所以△OBC 为等边三角形，
0
BOC
＝6
.
则劣弧
的弧长为60
3
3
=
180
3
π
π ，故选A. 图（2）
【总结升华】主要考查弧长公式：
.
举一反三：
【变式】制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，à试计算如图所示的管道的展直长度，
即
的长(结果精确到0.1mm)
C
B
A
O
【答案】R=40mm，n=110
∴
的长=
=
≈76.8(mm)
因此，管道的展直长度约为76.8mm．
【高清ID 号：359387 高清课程名称： 弧长 扇形 圆柱 圆锥
关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】
2．如图，⊙O 的半径等于1，弦AB 和半径OC 互相平分于点M.求扇形OACB 的面积（结果保留π）
【答案与解析】∵弦AB 和半径OC 互相平分，
∴OC⊥AB，
OM=MC= OC= OA．
∴∠B=∠A=30°，
∴∠AOB=120°
∴S 扇形=
．
【总结升华】运用了垂径定理的推论，考查扇形面积计算公式.
举一反三：
【高清ID 号：359387 高清课程名称：弧长 扇形 圆柱 圆锥
关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】
【变式】如图（1），在△ABC 中，BC=4，以点A 为圆心，2 为半径的⊙A 与BC 相切于点D，交AB 于E，交AC 于
F，点P 是⊙A 上的一点，且∠EPF=40°，则图中阴影部分的面积是（ ）．
A．
4
4
9
B．
8
4
9
C．
4
8
9
D．
8
8
9
图（1）
A
E
B
D
C
F
P
【答案】连结AD，则AD⊥BC，
△ABC 的面积是：BC•AD= ×4×2=4，
∠A=2∠EPF=80°．
则扇形EAF 的面积是：
2
80
2
8
=
.
360
9
故阴影部分的面积=△ABC 的面积-扇形EAF 的面积=
8
4- 9
． 图（2）
故选B．
类型二、圆锥面积的计算
3．（2014 秋•广东期末）如图，一个圆锥的高为
cm，侧面展开图是半圆，求：
（1）圆锥的底面半径r 与母线R 之比；
（2）圆锥的全面积．
【思路点拨】（1）设出圆锥的底面半径及圆锥的母线长，利用底面周长等于圆锥的弧长得到圆锥的母线与
底面的半径之比即可；
（2）首先求得圆锥的底面半径和圆锥的母线长，然后利用圆锥的侧面积的计算方法求得其侧面积即可．
【答案与解析】
解：（1）由题意可知
∴
，R=2r（3 分）r：R=r：2r=1：2；
（2）在Rt
AOC
△
中，
R
∵
2=r2+h2
∴
，
4r2=r2+27r2=9，
r=±3
r
∵＞0
r=3
∴
，R=6.
S
∴
侧=πRr=18π（cm2）
（cm2）
S
∴
全=S 侧+S 底=18π+9π=27π（cm2）．
【总结升华】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是牢记有关的公式．
类型三、组合图形面积的计算
4．（2015•槐荫区三模）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD AB
⊥
，垂足为E，∠CDB=30°，CD=2
，求图
中阴影部分的面积．
【答案与解析】
解：∵AB 是⊙O 的直径，弦CD AB
⊥
，
CE=
∴
．
CDB=30°
∵∠
，
COE=60°
∴∠
，
在Rt
OEC
△
中，OC=
=2，
CE=DE
∵
，
COE= DBE=60°
∠
∠
Rt
COE Rt
DBE
∴
△
△
≌
，
S
∴
阴影=S 扇形OBC= π×OC2= π×4= π．
【总结升华】本题考查了垂径定理，扇形的面积等，解此题的关键是求出扇形和三角形的面积．
