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《因式分解》全章复习与巩固（提高）
【学习目标】
1. 理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算；
2．掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法；
3. 了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、因式分解
把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项
式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，
而整式乘法是一种运算.
要点二、提公因式法
把多项式
分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式
，另一个因式是
，即
，而
正好是
除以
所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律.
要点三、公式法
1.平方差公式
两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：
2.完全平方公式
两个数的平方和加上这两个数的积的2 倍，等于这两个数的和（差）的平方．
即
，
.
形如
，
的式子叫做完全平方式.
要点诠释：
（1）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两
个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.
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（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这
两数之积的2 倍. 右边是两数的和（或差）的平方.
（3）套用公式时要注意字母
和
的广泛意义，、可以是字母，也可以是单
项式或多项式.
要点四、十字相乘法和分组分解法
十字相乘法
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.
对于二次三项式
，若存在
，则
分组分解法
对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑
分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式
分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.
要点五、因式分解的一般步骤
因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项
法等.
因式分解步骤
（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；
（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；
（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解．
（4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．
【典型例题】
类型一、提公因式法分解因式
1、 分解因式：
(1)
；
(2)
．
【答案与解析】
解：(1)
．
(2)
．
【总结升华】在提取公因式时要注意提取后各项字母，指数的变化，另外分解要彻底，特别是
因式中含有多项式的一定要检验是否能再分，分解因式后可逆过来用整式乘法验证其正确
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与否．
２、利用分解因式证明：
能被120 整除．
【思路点拨】25＝
，进而把
整理成底数为5 的幂的形式，然后提取公因式并整理为含有
120 的因数即可．
【答案与解析】
证明：
＝
＝
＝
＝
＝
＝
∴
能被120 整除．
【总结升华】解决本题的关键是用因式分解法把所给式子整理为含有120 的因数相乘的形式．
类型二、公式法分解因式
3、放学时，王老师布置了一道分解因式题：
，小明思
考了半天，没有答案，就打电话给小华，小华在电话里讲了一句，小明就恍然大悟了，你知道
小华说了句什么话吗？小明是怎样分解因式的．
【思路点拨】把
分别看做一个整体，再运用完全平方公式解答．
【答案与解析】
解：把
看作完全平方式里的
；
原式＝
＝
＝
．
【总结升华】本题主要考查利用完全平方公式分解因式，注意把
看作完全平
方式里的
是解题的关键．
举一反三：
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【变式】下面是某同学对多项式
进行因式分解的过程．
解：设
原式＝
（第一步）
＝
（第二步）
＝
（第三步）
＝
（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的（ ）．
A、提取公因式 B．平方差公式
C、两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底________．（填“彻底”或“不彻底”）
若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_________.
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式
进行因式分解．
【答案与解析】
解：（1）运用了C，两数和的完全平方公式；
（2）
还可以分解，分解不彻底；结果为
.
（3）设
．
＝
，
＝
，
＝
2，
＝
，
＝
．
4、计算：(1－
)(1－
)(1－
)…(1－
)(1－
)
【思路点拨】先把括号里的式子通分，再把分子分解因式，利用乘法约分即可剩下
.
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【答案与解析】
解：(1－
)(1－
)(1－
)…(1－
)(1－
)
＝
＝
＝
．
【总结升华】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，解题的关键
是正确运算和分解．
举一反三：
【变式】设
，
，…，
（
为大于0 的自然数）．
（1）探究
是否为8 的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；（2）若一个数的算术平方
根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”．试找出
，
，…，
，…这一列数中从小
到大排列的前4 个完全平方数，并指出当
满足什么条件时，
为完全平方数（不必说明理
由）．
【答案】
解：（1）∵
，
又
为非零的自然数，
∴
是8 的倍数．
这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是8 的倍数
（2）这一列数中从小到大排列的前4 个完全平方数为16，64，144，256．
为一个完全平方数的2 倍时，
为完全平方数
类型三、十字相乘法和分组分解法分解因式
5、分解因式：（1）
（2）
（3）
【答案与解析】
解：（1）原式
（2）原式＝
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（3）原式＝
【总结升华】做题之前要仔细观察，注意从整体的角度看待问题.
举一反三：
【变式】下列何者是
的因式？（ ）
A．2
＋3 B．
C．
D．
【答案】C；
解：
，
则
是多项式的一个因式．
6、已知长方形周长为300 厘米，两邻边分别为
厘米、
厘米，
且
＝0，求长方形的面积．
【思路点拨】把
＝0 化简成
，可得
，由
题意可得
，解方程组
即可.
【答案与解析】
解：∵
＝0
∴
＝0
∵
＝0
∴
，
，
（不合题意，舍去）
又由题意可得
解方程组
解之得，
＝100，
＝50
∴长方形的面积＝100×50＝5000 平方厘米．
【总结升华】本题是因式分解在学科内的综合运用，主要考查了分组分解法，提取公因式法和
运用平方差公式法．
举一反三：
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【变式】因式分解：
，正确的分组是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D；
当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题中
正好
符合完全平方公式，应考虑2，3，4 项为一组．
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