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让更多的孩子得到更好的教育
《平行线与相交线》全章复习与巩固（基础）知识讲解
责编：康红梅
【学习目标】
1．熟练掌握对顶角，邻补角及垂线的概念及性质，了解点到直线的距离与两平行线间的距
离的概念；
2. 区别平行线的判定与性质，并能灵活运用；
3. 了解命题的概念及构成，并能通过证明或举反例判定命题的真假；
4. 了解平移的概念及性质.
【高清课堂：相交线与平行线单元复习403105 知识结构】
【知识网络】
【要点梳理】
知识点一、相交线
1.对顶角、邻补角
两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系，它们的概念及性质如下表：
图形
顶点
边的关系
大小关系
对顶角
有公共顶点
∠1 的两边与
∠2 的两边互为
反向延长线
对顶角相等
即∠1=∠2
邻补角
有公共顶点
∠3 与∠4 有一
条边公共，另一
边互为反向延
长线.
邻补角互补即
∠3+∠4=180°
要点诠释：
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1
2
∠1 与∠2
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⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角.对顶角的特征:有公共顶点，
角的两边互为反向延长线.
⑵如果∠α 与∠β 是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α 与∠β
不一定是对顶角.
⑶如果∠α 与∠β 互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则
∠α 与∠β 不一定是邻补角.邻补角的特征:有公共顶点，有一条公共边，另一边互为反向
延长线．
⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个.
2.垂线及性质、点到直线的距离
（1）垂线的定义：
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中
的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1 所示，符号语言记作：
AB⊥CD，垂足为O.
要点诠释：
要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两
条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直.
（2）垂线的性质：
垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相
比较记).
垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最
短.
（3）点到直线的距离：
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2：PO⊥AB，点P 到
直线AB 的距离是垂线段PO 的长.
要点诠释：垂线段PO 是点P 到直线AB 所有线段中最短的一条.
知识点二、平行线
1．平行线的判定
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判定方法1：同位角相等，两直线平行．
判定方法2：内错角相等，两直线平行．
判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．
要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：
（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行.
（2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）.
（3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.
（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
2．平行线的性质
性质1：两直线平行，同位角相等；
性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3：两直线平行，同旁内角互补.
要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：
（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．
（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．
3．两条平行线间的距离
如图3，直线AB∥CD，EF⊥AB 于E，EF⊥CD 于F，则称线段EF 的长度为两平行线AB 与CD
间的距离.
要点诠释：
（1）两条平行线之间的距离处处相等.
（2）初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三
种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长
度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是一条直线上
的一点到与之平行的另一直线的距离.
（3）如何理解 “垂线段”与 “距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是
一个量，它们之间不能等同.
知识点三、命题及平移
1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题．每个命题都由题设、结论两部分组成.题设是已知
事项；结论是由已知事项推出的事项.
2.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移．
要点诠释：平移的性质：
（1）平移后，对应线段平行（或共线）且相等；
（2）平移后，对应角相等；
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（3）平移后，对应点所连线段平行（或共线）且相等；
（4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形.
【典型例题】
类型一、相交线
1. （2015 春•乌兰察布校级期中）a、b、c 是平面上任意三条直线，交点可以有（ ）
A．1 个或2 个或3 个
B．0 个或1 个或2 个或3 个
C．1 个或2 个
D．都不对
【思路点拨】根据三条直线两两平行，三条直线交于一点，两条直线平行与第三条直线相交，
三条直线两两相交不交于同一点，可得答案．
【答案】B
【解析】
解：三条直线两两平行，没有交点；
三条直线交于一点，有一个交点；
两条直线平行与第三条直线相交，有两个交点；
三条直线两两相交不交于同一点，有三个交点，
故选B.
【总结升华】本题考查了相交线，分类讨论是解题关键：①三条直线两两平行，②三条直线交
于一点，③两条直线平行与第三条直线相交，④三条直线两两相交不交于同一点，注意不要
漏掉任何一种情况．
举一反三：
【变式】如图所示，已知∠AOD=∠BOC，请在图中找出∠BOC 的补角,邻补角及对顶角.
【答案】
解： 因为∠BOC＋∠AOC=180º（平角定义）,
所以∠AOC 是∠BOC 的补角.
因为∠AOD＋∠BOD=180º（平角定义）,
∠AOD=∠BOC（已知）,
所以∠BOC＋∠BOD=180º.
所以∠BOD 是∠BOC 的补角．
所以∠BOC 的补角有两个：∠BOD 和∠AOC.
而∠BOC 的邻补角只有一个∠AOC，且∠BOC 没有对顶角.
2. （2016 春·沧州校级月考）已知：如图，直线a、b、c 两两相交，且∠1＝
2∠3，∠2=86°，求∠4 的度数.
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【答案与解析】
解：根据对顶角相等,
∴∠1＝∠2＝86°.
又∵∠1＝2∠3，∴86°＝2∠3，∴∠3＝43°,
又∠3 与∠4 对顶角，
所以∠3=∠4＝43°.
【总结升华】涉及到角的运算时，充分利用已知条件和隐含条件（对顶角）是解题的关键．
性质是解答此类问题的关键.
类型二、平行线的性质与判定
3.如图，已知∠ADE = ∠B，∠1 =∠2，那么CD∥FG 吗？并说明理由.
【答案与解析】
解：平行，理由如下：
因为∠ADE=∠B，所以DE∥BC（同位角相等，两直线平行），
所以∠1=∠BCD（两直线平行，内错角相等）.
又因为∠1=∠2（已知），
所以∠BCD=∠2.
所以CD∥FG（同位角相等，两直线平行）.
【总结升华】反复应用平行线的判定与性质，见到角相等或互补，就应该想到判断直线是否平
行，见到直线平行就应先想到角相等或角互补.
【高清课堂：相交线与平行线单元复习 403105 经典例题3】
举一反三：
【变式】如图，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED 与∠ACB 的大小关系，并说明理
由．
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【答案】∠AED=∠ACB，理由如下：
∵∠1＋∠2＝180°，又∠1＋∠4＝180°,
∴∠2＝∠4.
∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行）.
∴∠5＝∠3.
又∠3=∠B,
∴∠5＝∠B.
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）.
∴∠AED=∠ACB(两直线平行,同位角相等).
类型三、命题及平移
4.(佳木斯中考)如图所示，请你填写一个适当的条件：________，使AD∥BC．
【思路点拨】欲证AD∥BC，结合图形，故可按同位角相等、内错角相等和同旁内角互补两直线
平行来补充条件．
【答案】∠FAD＝∠FBC，或∠ADB＝∠CBD，或∠ABC+∠BAD＝180°.
【解析】
解：本题答案不唯一，如：利用“同位角相等，两直线平行”，可添加条件∠FAD＝∠FBC；
利用“内错角相等，两直线平行”，可添加条件∠ADB＝∠CBD；利用“同旁内角互补，两直
线平行”，可添加条件∠ABC+∠BAD＝180°．
【总结升华】这是一道开放性试题，分清题设和结论：结论： AD∥BC，题设可根据平行线的
判定方法，逐一寻找即可.
举一反三：
【变式】（2015 春•和县期末）下列说法中正确的个数是（ ）
（1）在同一平面内，a、b、c 是直线，a b
∥，b c
∥，则a c
∥
（2）在同一平面内，a、b、c 是直线，a b
⊥，b c
⊥，则a c
⊥
（3）在同一平面内，a、b、c 是直线，a b
∥，a c
⊥，则b c
⊥
（4）在同一平面内，a、b、c 是直线，a b
⊥，b c
⊥，则a c
∥．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
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5.如图(1)，线段AB 经过平移有一端点到达点C，画出线段AB 平移后的线段CD．
【思路点拨】连接AC 或BC 便得平移的方向和距离．
【答案与解析】
解：如图(2)，线段CD 有两种情况：(1)当点A 平移到点C 时，则点D 在点C 的下方，因此下
边线段CD 即为所求；(2)当点B 平移到点C 时，则点D 在点C 的上方，上边线段CD 即为所
求．
【总结升华】平移是由平移的方向和距离决定的．本题中未指明哪一端点(A 还是B)移动到点
C，故应有两种情况：即点A 平移到点C 或点B 平移到点C．
举一反三：
【变式】下列说法错误的是（ ）
A．平移不改变图形的形状和大小
B．平移中图形上每个点移动的距离可以不同
C．经过平移，图形的对应线段、对应角分别相等
D．经过平移，图形对应点的连线段相等
【答案】B
类型四、实际应用
6.如图，107 国道
上有一个出口M，想在附近公路
旁建一个加油站，欲使通道最短，
应沿怎样的线路施工？
【答案与解析】
解：如图，过点M 作MN⊥
，垂足为N，欲使通道最短，应沿线路MN 施工.
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【总结升华】灵活运用垂线段最短的性质是解答此类问题的关键.
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