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《图形的相似》全章复习与巩固--知识讲解（提高）
责编：常春芳
【学习目标】
1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段；
2、掌握黄金分割的定义、性质及应用；
3、理解相似三角形、相似多边形、相似比的概念；熟练掌握三角形相似的判定方法以及相似
三角形的性质，并能够运用性质与判定解决有关问题；
4、了解位似的概念，做的位似是特殊的相似变换，会利用位似的方法，讲一个图形放大或缩
小；
5、了解平行投影和中心投影的基本概念与性质，能综合运用图形相似的知识解决一些简单
的实际问题.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、比例线段及黄金分割
1. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如
a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
要点诠释：
（1）若a:b=c:d ，则ad=bc；（d 也叫第四比例项）
（2）若a:b=b:c ，则b2=ac（b 称为a、c 的比例中项）．
2.黄金分割的定义：如图，将一条线段AB 分割成大小两条线段AP、PB，若小段与大段的长度
之比等于大段的长度与全长之比，即
AB
AP
AP
PB
（此时线段AP 叫作线段PB、AB 的比例中项），
则P 点就是线段AB 的黄金分割点（黄金点），这种分割就叫黄金分割．
3. 黄金矩形与黄金三角形：
黄金矩形：若矩形的两条邻边长度的比值约为0.618，这种矩形称为黄金矩形.
黄金三角形：顶角为36°的等腰三角形，它的底角为72°，恰好是顶角的2 倍，人们称这种
三角形为黄金三角形．
黄金三角形性质：底角平分线将其腰黄金分割．
要点二、相似图形
1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).
要点诠释：
(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；
(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形
全等.
2.相似多边形
各角分别相等，各边成比例的两个多边形，它们的形状相同，称为相似多边形．
要点诠释：
（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．
（2）相似多边形对应边的比称为相似比.
要点三、相似三角形
1. 相似三角形的判定:
判定方法（一）：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似.
判定方法（二）：两角分别相等的两个三角形相似.
要点诠释：
要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角
三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.
判定方法（三）：两边成比例夹角相等的两个三角形相似.
要点诠释：
此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必
须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.
判定方法（四）：三边成比例的两个三角形相似.
相似三角形的性质：
（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；
（2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比；
（3）相似三角形周长的比等于相似比；
（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方.
3.相似多边形的性质：
（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似多边形的周长比等于相似比．
（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．
要点四、图形的位似及投影
1.位似多边形定义:
如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点O，且每组对应点
与点O 点的距离之比都等于一个定值k，例如，如下图，OA′=k·OA（k≠0），那么这样的两个
多边形叫做位似多边形，点O 叫做位似中心.
要点诠释：
位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似
图形.
2.位似图形的性质:
（1）位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心；
（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.
3. 作位似图形的步骤
第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；
第二步：作位似中心与各关键点连线；
第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；
第四步：顺次连接各对应点.
要点诠释：
位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的
画法.
4.平行投影
在平行光的照射下，物体所产生的影称为平行投影.
(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1 所示，在太阳光下，它们的影子一样长.
(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2 所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长
等于物体本身的长度.
(3)在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.
即：
利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.
注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.
5.中心投影
在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影.
(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1 所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，
离点光源远的物体它的影子长.
(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2 所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；
离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.
【典型例题】
类型一、黄金分割
1.如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片ABCD，先折出BC 的中点E，再折出线
段AE，然后通过折叠使EB 落到线段EA 上，折出点B 的新位置B′，因而EB′=EB．类似地，在
AB 上折出点B″使AB″=AB′．这是B″就是AB 的黄金分割点．请你证明这个结论．
【答案与解析】
设正方形ABCD 的边长为2，
E 为BC 的中点，
∴BE=1
∴AE=
2
2
5
AB
BE
，
又B′E=BE=1，
∴AB′=AE-B′E= 5 -1，
∵AB″=AB′= 5 -1
∴AB″：AB=( 5 -1):2
∴点B″是线段AB 的黄金分割点．
【总结升华】本题考查了黄金分割的应用，知道黄金比并能求出黄金比是解题的关键．
举一反三
【变式】如图，已知△ABC 中，D 是AC 边上一点，∠A=36°，∠C=72°，∠ADB=108°．
求证：（1）AD=BD=BC； （2）点D 是线段AC 的黄金分割点．
【答案】
（1）∵∠A=36°，∠C=72°，
∴∠ABC=72°，∠ADB=108°，
∴∠ABD=36°，
∴△ADB、△BDC 是等腰三角形，
∴AD=BD=BC．
（2）∵∠DBC=∠A=36°，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴BC：AC=CD：BC，
∴BC2=AC•DC，
∵BC=AD，
∴AD2=AC•DC，
∴点D 是线段AC 的黄金分割点．
类型二、相似三角形
2. 已知：如图，∠ABC=∠CDB=90°，AC=a，BC=b，当BD 与a、b 之间满足怎样的关系时，
这两个三角形相似？
【答案与解析】
解：∵AC=a，BC=b，
∴AB=
2
2
a
b
，
①当△ABC∽△BDC 时，
BD
BC
AB
AC
,
即
2
2
b a
b
BD
a
.
②当△ABC∽△CDB 时，
BD
BC
CB
AC
，
即
2
b
BD
a
.
【总结升华】相似三角形中未明确对应点和对应边时，要注意分类讨论.
举一反三
【变式】如图，在矩形ABCD 中，AB=6，BC=8,沿直线MN 对折，使A、C 重合，直线MN 交AC 于O.
（1）求证：△COM∽△CBA； （2）求线段OM 的长度.
【答案】
（1）证明： A 与C 关于直线MN 对称，
∴ACMN，∴∠COM=90°，
在矩形ABCD 中，∠B=90°，
∴∠COM=∠B ，
又∠ACB=∠ACB，
∴△COM∽△CBA ，
（2）在Rt△CBA 中，AB=6，BC=8，
∴AC=10 ，∴OC=5，
△COM∽△CBA，
∴OC
OM
=
BC
AB ，
∴OM=15
4 .
类型三、相似三角形的综合应用
3.（2015•杭州）如图，在△ABC 中（BC＞AC），∠ACB=90°，点D 在AB 边上，DE AC
⊥
于点E．
（1）若
= ，AE=2，求EC 的长；
（2）设点F 在线段EC 上，点G 在射线CB 上，以F，C，G 为顶点的三角形与△EDC 有一
个锐角相等，FG 交CD 于点P．问：线段CP 可能是△CFG 的高线还是中线？或两者都有可能？
请说明理由．
【答案与解析】
解：（1）∵∠ACB=90°，DE AC
⊥
，
DE BC
∴
∥
，
∴
，
∵
，AE=2，
EC=6
∴
；
（2）①如图1，若∠CFG= ECD
∠
，此时线段CP 是△CFG 的FG 边上的中线．
证明：∵∠CFG+ CGF=90°
∠
，∠ECD+ PCG=90°
∠
，
又∵∠CFG= ECD
∠
，
CGF= PCG
∴∠
∠
，
CP=PG
∴
，
CFG= ECD
∠
∠
∵
，
CP=FP
∴
，
PF=PG=CP
∴
，
∴线段CP 是△CFG 的FG 边上的中线；
②如图2，若∠CFG= EDC
∠
，此时线段CP 为△CFG 的FG 边上的高线．
证明：∵DE AC
⊥
，
EDC+ ECD=90°
∴∠
∠
，
CFG= EDC
∵∠
∠
，
CFG+ ECD=90°
∴∠
∠
，
CPF=90°
∴∠
，
∴线段CP 为△CFG 的FG 边上的高线．
③如图3，当CD 为∠ACB 的平分线时，CP 既是△CFG 的FG 边上的高线又是中线．
【总结升华】本题主要考查了平行线分线段成比例定理、等腰三角形的判定、三角形的有关概
念，分类讨论，能全面的思考问题是解决问题的关键．
4. 如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α ，且DM 交AC 于
F，ME 交BC 于G．
（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；
（2）连结FG，如果α＝45°，AB＝4 2 ，AF＝3，求FG 的长．
【答案与解析】
（1）△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM
以下证明△AMF∽△BGM．
∵∠AFM＝∠DME＋∠E＝∠A＋∠E＝∠BMG，∠A＝∠B
∴△AMF∽△BGM．
（2）当α＝45°时，可得AC⊥BC 且AC＝BC
∵M 为AB 的中点，∴AM＝BM＝2 2 ，
又∵AMF∽△BGM，∴
AF
BM
AM
BG
，
∴
3
8
3
2
2
2
2
AF
BM
AM
BG
，
又∵α＝45°，AB＝4 2 ，
∴AC=BC=4，
∴
8
4
4
3
3
CG
，
4
3
1
CF
，
∴
2
2
2
2
4
5
1
( )
3
3
FG
CF
CG
.
【总结升华】本题考查了相似三角形知识的综合运用，并且渗透了转化思想．
5. 如图，已知在梯形ABCD 中，AD//BC，AD=2，BC=4，点M 是AD 的中点，△MBC 是等边三
角形．
（1）求证：梯形ABCD 是等腰梯形．
（2）动点P、Q 分别在线段BC 和MC 上运动，且∠MPQ=60°保持不变．设PC=x，MQ=y，求y 与x 的
函数关系式．
【答案与解析】
（1）∵
MBC
△
是等边三角形
∴
60
MB
MC
MBC
MCB
，∠
∠
∵M 是AD 中点，
∴AM
MD
，
∵AD
BC
∥
，
∴
60
AMB
MBC
∠
∠
，
60
DMC
MCB
∠
∠
，
∴
AMB
DMC
△
≌△
，
∴AB
DC
，
∴梯形ABCD 是等腰梯形．
（2）在等边
MBC
△
中，
4
MB
MC
BC
，
60
MBC
MCB
∠
∠
，
又∵
60
MPQ
∠
，
∴
120
BMP
BPM
BPM
QPC
∠
∠
∠
∠
，
∴
BMP
QPC
∠
∠
，
∴
BMP
CQP
△
∽△
，
∴
PC
CQ
BM
BP
，
∵PC
x
MQ
y
，
∴
4
4
BP
x
QC
y
，
，
∴
4
4
4
x
y
x
，
∴
2
1
4
4
y
x
x
.
【总结升华】利用相似三角形得到的比例式，构建线段关系求得函数关系，关键是能够灵活运
用所学知识来解题.
举一反三
【变式】如图所示，在Rt△ABC 中，∠A=90°，AB=8，AC=6．若动点D 从点B 出发，沿线段BA 运
动到点A 为止，运动速度为每秒2 个单位长度．过点D 作DE∥BC 交AC 于点E，设动点D 运动
的时间为x 秒，AE 的长为y．
(1)求出y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
(2)当x 为何值时，△BDE 的面积S 有最大值，最大值为多少?
【答案】
(1)∵DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，
∴
.
又∵AB=8，AC=6，
，
，
∵
，即
，
自变量x 的取值范围为
.
(2)
.
所以当
时，S 有最大值，且最大值为6.
类型四、图形的位似
6.如图，△ABC 中，A、B 两点在x 轴的上方，点C 的坐标是（﹣1，0）．以点C 为位似中
心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A′B′C，并把△ABC 的边长放大到原来的2 倍．设点
B 的对应点B′的横坐标是2，求点B 的横坐标．
【思路点拨】过B 和B′向x 轴引垂线，构造相似比为1：2 的相似三角形，那么利用相似比和
所给B′的横坐标即可求得点B 的横坐标．
【答案与解析】
解：过点B、B'分别作BD⊥x 轴于D，B'E⊥x 轴于E，
∴∠BDC=∠B'EC=90°．
∵△ABC 的位似图形是△A'B'C，
∴点B、C、B'在一条直线上，
∴∠BCD=∠B'CE，
∴△BCD∽△B'CE．
∴
，
又∵
，
∴
，
又∵点B'的横坐标是2，点C 的坐标是（﹣1，0），
∴CE=3，
∴
．
∴
，
∴点B 的横坐标为
．
【总结升华】难点是利用对应点向x 轴引垂线构造相似三角形，关键是利用相似比解决问
题．
类型五、用相似三角形解决问题
7.（2014•陕西）某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致
宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，先在河岸边选择了一点B（点B 与河对岸岸边上的
一棵树的底部点D 所确定的直线垂直于河岸）．
①小明在B 点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点D 处，如
图所示，这时小亮测得小明眼睛距地面的距离AB=1.7 米；
②小明站在原地转动180°后蹲下，并保持原来的观察姿态（除身体重心下移外，其他姿态均
不变），这时视线通过帽檐落在了DB 延长线上的点E 处，此时小亮测得BE=9.6 米，小明的
眼睛距地面的距离CB=1.2 米．
根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BD 是多少米？
【思路点拨】根据题意求出∠BAD= BCE
∠
，然后根据两组角对应相等，两三角形相似求出
△BAD 和△BCE 相似，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．
【答案与解析】
解：由题意得，∠BAD= BCE
∠
，
ABD= CBE=90°
∵∠
∠
，
BAD
BCE
∴△
△
∽
，
∴
=
，
∴
=
，
解得BD=13.6．
答：河宽BD 是13.6 米．
【总结升华】本题考查了相似三角形的应用，读懂题目信息得到两三角形相等的角并确定出
相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．
