文档文本内容
《图形的相似》全章复习与巩固--知识讲解（提高）
【学习目标】
1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段；
2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、 对
应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方；
3、探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些
实际问题；
4、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位
似变换后点的坐标变化；
5、结合相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养推理能力，发展逻辑思维能力
和推理论证的表达能力，以及综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、相似图形及比例线段
1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).
要点诠释：
(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；
(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两
个图形全等；
2.相似多边形
如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．
要点诠释：
（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．
（2）相似多边形对应边的比称为相似比.
第1页 共11页
3. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如
a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
要点诠释：
（1）若a:b=c:d ，则ad=bc；（d 也叫第四比例项）
（2）若a:b=b:c ，则
2
b =ac（b 称为a、c 的比例中项）．
4.平行线分线段成比例：
基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例.
要点二、相似三角形
1. 相似三角形的判定:
判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相
似.
判定方法（二）：两角分别相等的两个三角形相似.
要点诠释：
要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直
角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.
判定方法（三）：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
要点诠释：
此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个
角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.
判定方法（四）：三边成比例的两个三角形相似.
2. 相似三角形的性质：
（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；
（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比；
相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.
(3) 相似三角形周长的比等于相似比；
（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
3.相似多边形的性质：
（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似多边形的周长比等于相似比．
（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．
要点三、位似
1.位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一
点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
2.位似图形的性质:
（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；
（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.
要点诠释：
(1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构
成位似图形.
（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点
为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k.
要点四、黄金分割
1.定义：如图，将一条线段AB 分割成大小两条线段AP、PB，若小段与大段的长度之比等于大
第2页 共11页
段的长度与全长之比，即
AB
AP
AP
PB
（此时线段AP 叫作线段PB、AB 的比例中项），则P 点就是
线段AB 的黄金分割点（黄金点），这种分割就叫黄金分割．
2.黄金三角形：顶角为36°的等腰三角形，它的底角为72°，恰好是顶角的2 倍，人们称这
种三角形为黄金三角形．
黄金三角形性质：底角平分线将其腰黄金分割．
要点五、射影定理
在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于D，
∴△ABC∽△ACD∽△CBD（“角角”）
∴
BD
AD
CD
2
；
AB
AD
AC
2
；
AB
BD
BC
2
（射影定理）；
CD
AB
BC
AC
（等积）．
【典型例题】
类型一、相似三角形
1. 已知：如图，∠ABC=∠CDB=90°，AC=a，BC=b，当BD 与a、b 之间满足怎样的关系时，
这两个三角形相似？
【答案与解析】
∵AC=a，BC=b，
∴AB=
2
2
a
b
，
①当△ABC∽△BDC 时，
BD
BC
AB
AC
,
即
2
2
b a
b
BD
a
.
第3页 共11页
②当△ABC∽△CDB 时，
BD
BC
CB
AC
，
即
2
b
BD
a
.
【总结升华】相似三角形中未明确对应点和对应边时，要注意分类讨论.
2. 如图，在△ABC 中，∠C＝90°，将△ABC 沿直线MN 翻折后，顶点C 恰好落在AB 边上
的点D 处，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝2 3 ，则四边形MABN 的面积是（ ）.
A．6 3 B．12 3 C．18 3
D．24 3
【答案】C；
【解析】由MC＝6，NC＝2 3 ，∠C＝90°得S△CMN=6 3 ，
再由翻折前后△CMN≌△DMN 得对应高相等；由MN∥AB 得△CMN∽△CAB 且
相似比为1:2，故两者的面积比为1:4，从而得S△CMN：S 四边形MABN=1:3，故选C.
【总结升华】本题综合考查了直角三角形的面积算法、翻折的性质、由平行得相似的三角形
相似的判定方法、相似图形的面积比等于相似比的平方等一些类知识点.知识点丰富；考
查了学生综合运用知识来解决问题的能力.难度较大.
举一反三
【变式】如图，在矩形ABCD 中，AB=6，BC=8,沿直线MN 对折，使A、C 重合，直线MN 交AC 于O.
（1）求证：△COM∽△CBA； （2）求线段OM 的长度.
【答案】
（1）证明： A 与C 关于直线MN 对称，
∴ACMN，∴∠COM=90°，
第4页 共11页
N
M
D
A
C
B
在矩形ABCD 中，∠B=90°，
∴∠COM=∠B ，
又∠ACB=∠ACB，
∴△COM∽△CBA ，
（2）在Rt△CBA 中，AB=6，BC=8，
∴AC=10 ，∴OC=5，
△COM∽△CBA，
∴OC
OM
=
BC
AB ，
∴OM=15
4 .
类型二、相似三角形的综合应用
3. 如图，点D 是△ABC 的边AB 的延长线上一点，点F 是边BC 上的一个动点（不与点
B 重合）.以BD、BF 为邻边作平行四边形BDEF，又AP // BE（点P、E 在直线AB 的同侧），如果
AB
BD
4
1
，求△PBC 的面积与△ABC 面积之比.
P
G
F
E
D
C
B
A
【答案与解析】
连接FP, 延长AP 交BC 的延长线于H, 过点A、P 分别作
,
AM
BC PN
BC
,垂足M、N.
第5页 共11页
∵四边形BDEF 是平行四边形，EF∥AD,又
AP // BE，
∴E、F、P 共线，即PF∥AB,四边形APEB 是平行四边形，∴EP=AB，
又∵
AB
BD
4
1
，
∴ EF=DB= 1
4
AB= 1
3
PF,∴PF= 3
4
AB,
∵△ABH∽△PFH,∴
3
4
PN
PF
AM
AB
,
∴
3
4
PBC
ABC
S
PN
S
AM
△
△
.
【总结升华】此题应用了平行四边形，相似三角形和三角形面积的相关知识，能够合理作出
辅助线是解决本题的关键，
4.(绵阳) 已知△ABC 是等腰直角三角形，∠A = 90，D 是腰AC 上的一个动点，过
C 作CE 垂直于BD 或BD 的延长线，垂足为E，如图．
（1）若BD 是AC 的中线，求
的值；
（2）若BD 是∠ABC 的角平分线，求
的值；
（3）结合（1）、（2），试推断
的取值范围（直接写出结论，不必证明），并探究
的值
能小于
吗？若能，求出满足条件的D 点的位置；若不能，说明理由．[来源:Zxxk.Com]
第6页 共11页
E
D
C
A
B
E
D
C
A
B
【答案与解析】
解： 设AB = AC = 1，CD = x，则0＜x＜1，BC =
，AD = 1－x．
在Rt△ABD 中，BD2 = AB2 + AD2 = 1 +（1－x）2 = x2－2x + 2．
由已知可得 Rt△ABD∽Rt△ECD，
∴
， 即
，从而
，
∴
，0＜x＜1，
（1）若BD 是AC 的中线，则CD = AD = x =
，得
．
（2）若BD 是∠ABC 的角平分线，则
，得
，解得
，
∴
．
（3）
1
BD
CE ≥.
若
，则有 3x2－10x + 6 = 0，解得
∈（0，1），
∴
，表明随着点D 从A 向C 移动时，BD 逐渐增大，而CE 逐渐减
小，
的值则随着D 从A 向C 移动而逐渐增大．
【总结升华】本题考查了相似三角形的判定和性质，本题从中线，角平分线以及中线与角
平线相结合的问题来考查，是一道考查全面的好题．
举一反三：
【变式】如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α ，且DM 交AC 于
F，ME 交BC 于G．
（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；
（2）连结FG，如果α＝45°，AB＝4 2 ，AF＝3，求FG 的长．
第7页 共11页
【答案】
（1）△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM
以下证明△AMF∽△BGM．
∵∠AFM＝∠DME＋∠E＝∠A＋∠E＝∠BMG，∠A＝∠B
∴△AMF∽△BGM．
（2）当α＝45°时，可得AC⊥BC 且AC＝BC
∵M 为AB 的中点，∴AM＝BM＝2 2 ，
又∵AMF∽△BGM，∴
AF
BM
AM
BG
，
∴
3
8
3
2
2
2
2
AF
BM
AM
BG
，
又∵α＝45°，AB＝4 2 ，
∴AC=BC=4，
∴
8
4
4
3
3
CG
，
4
3
1
CF
，
∴
2
2
2
2
4
5
1
( )
3
3
FG
CF
CG
.
5. 如图，已知在梯形ABCD 中，AD//BC，AD=2，BC=4，点M 是AD 的中点，△MBC 是等边
三角形．
（1）求证：梯形ABCD 是等腰梯形．
（2）动点P、Q 分别在线段BC 和MC 上运动，且∠MPQ=60°保持不变．
设PC=x，MQ=y，求y 与x 的函数关系式．
【答案与解析】
（1）∵
MBC
△
是等边三角形
∴
60
MB
MC
MBC
MCB
，∠
∠
∵M 是AD 中点，
∴AM
MD
，
∵AD
BC
∥
，
∴
60
AMB
MBC
∠
∠
，
60
DMC
MCB
∠
∠
，
∴
AMB
DMC
△
≌△
，
∴AB
DC
，
第8页 共11页
∴梯形ABCD 是等腰梯形．
（2）在等边
MBC
△
中，
4
MB
MC
BC
，
60
MBC
MCB
∠
∠
，
又∵
60
MPQ
∠
，
∴
120
BMP
BPM
BPM
QPC
∠
∠
∠
∠
，
∴
BMP
QPC
∠
∠
，
∴
BMP
CQP
△
∽△
，
∴
PC
CQ
BM
BP
，
∵PC
x
MQ
y
，
∴
4
4
BP
x
QC
y
，
，
∴
4
4
4
x
y
x
，
∴
2
1
4
4
y
x
x
.
【总结升华】利用相似三角形得到的比例式，构建线段关系求得函数关系，关键是能够灵活
运用所学知识来解题.
举一反三
【变式】如图，在△ABC 中，AB=AC=1，点D,E 在直线BC 上运动．设BD=x, CE=y.
(l）如果∠BAC=30°，∠DAE=105°，试确定y 与x 之间的函数关系式；
(2）如果∠BAC=α,∠DAE=β,当α, β 满足怎样的关系时，(l）中y 与x 之间的函数关系式还
成立？试说明理由．
【答案】
解：(l）在△ABC 中，AB=AC =1，∠BAC=300,
∴∠ABC＝∠ACB=750,
∴∠ABD＝∠ACE=1050,
∵∠DAE=1050，
∴∠DAB+∠CAE=105°-30°=750,
又∠DAB+∠ADB=∠ABC=750,
第9页 共11页
∴∠CAE＝∠ADB，
∴△ADB∽△EAC.
∴AB
BD
EC
AC
，即1
1
,
y=
1
x
x
y
所以
.
(2）当α、β 满足关系式
0
90
2
时，函数关系式
1
y= x
成立.
理由如下：要使
1
y= x ，即AB
BD
EC
AC
成立，须且只须△ADB∽△EAC.
由于∠ABD＝∠ECA，故只须∠ADB＝∠EAC.
又∠ADB+∠BAD=∠ABC=
0
90
2
,
∠EAC+∠BAD=β-α,
所以只
0
90
2
=β-α，须即
0
90
2
.
类型三、黄金分割
6.如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片ABCD，先折出BC 的中点E，再折出
线段AE，然后通过折叠使EB 落到线段EA 上，折出点B 的新位置B′，因而EB′=EB．类似
地，在AB 上折出点B″使AB″=AB′．这是B″就是AB 的黄金分割点．请你证明这个结论．
【答案与解析】
设正方形ABCD 的边长为2，
E 为BC 的中点，
∴BE=1
∴AE=
2
2
5
AB
BE
，
又B′E=BE=1，
∴AB′=AE-B′E= 5 -1，
∵AB″=AB′= 5 -1
第10页 共11页
∴AB″：AB=( 5 -1):2
∴点B″是线段AB 的黄金分割点．
【总结升华】本题考查了黄金分割的应用，知道黄金比并能求出黄金比是解题的关键．
举一反三
【变式】如图，已知△ABC 中，D 是AC 边上一点，∠A=36°，∠C=72°，∠ADB=108°．
求证：（1）AD=BD=BC； （2）点D 是线段AC 的黄金分割点．
【答案】
（1）∵∠A=36°，∠C=72°，
∴∠ABC=72°，∠ADB=108°，
∴∠ABD=36°，
∴△ADB、△BDC 是等腰三角形，
∴AD=BD=BC．
（2）∵∠DBC=∠A=36°，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴BC：AC=CD：BC，
∴BC2=AC•DC，
∵BC=AD，
∴AD2=AC•DC，
∴点D 是线段AC 的黄金分割点．
第11页 共11页
