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《图形的相似》全章复习与巩固--巩固练习（提高）
【巩固练习】
一、选择题
1．如图所示，给出下列条件：①
； ②
；③
；
④
. 其中单独能够判定
的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2.（2015•十堰）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O 为位似中心，相似比为，
把△ABO 缩小，则点A 的对应点A′的坐标是（ ）
A．（﹣2，1）B．（﹣8，4）C．（﹣8，4）或（8，﹣4）D．（﹣2，1）或（2，﹣1）
3．如图，梯形ABCD 中，AB∥CD，∠A=90°，E 在AD 上，且CE 平分∠BCD，BEr平分∠ABC，则下列关系式中
成立的有( )
①
； ②
； ③
；④CE2=CD×BC； ⑤BE2=AE×BC.
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
4.如图，四边形ABCD 的对角线AC、BD 相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．
若OA∶OC = OB∶OD，则下列结论中一定正确的是 ( )
A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似
5．如图，在正方形网格上有6 个斜三角形：①△ABC，②△BCD，③△BDE，④△BFG，r⑤△FGH，⑥△EFK，
其中②～⑥中与三角形①相似的是( )
A．②③④ B．③④⑤ C．④⑤⑥ D．②③⑥
第4 题 第5 题 第6 题
6. 如图，四边形ABCD 中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2，CD=
，点P 在四边形ABCD 的边上．若P 到BD 的
距离为
，则点P 的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
7. 如图，路灯距地面8 米，身高1.6 米的小明从距离灯的底部(点O)20 米的点A 处，沿OA 所在的直线行
走14 米到点B 时，人影的长度( )
A.增大1.5 米 B.减小1.5 米 C.增大3.5 米 D.减小3.5 米
第7 题 第8 题
8. 已知矩形ABCD 中，AB=1，在BC 上取一点E，沿AE 将△ABE 向上折叠，使B 点落在AD 上的F 点，
若四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，则AD=（ ）
A.
5
1
2
B.
5
1
2
C. 3 D. 2
二、填空题
9.顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形．如图，△ABC、△BDC、△DEC 都是黄金三角形，已知AB=1，则
DE=____________．
第9 题 第10 题
10.如图，M 是
ABCD 的边AB 的中点，CM 交BD 于E，则图中阴影部分的面积与
ABCD 的面积之比为
___ __.
11.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。已知这本书的长为
20cm，则它的宽约为_______________.
12.如图是幻灯机的工作情况，幻灯片与屏幕平行，光源距幻灯片30cm，r幻灯片距屏幕1.5m，幻灯片中
的小树高8cm，则屏幕上的小树高是__ ____.
13.（2015•娄底）一块直角三角板ABC 按如图放置，顶点A 的坐标为（0，1），直角顶点C 的坐标为（﹣3，
0），∠B=30°，则点B 的坐标为
．
14.如图，O 为矩形ABCD 的中心，M 为BC 边上一点，N 为DC 边上一点，ON⊥OM，若AB=6，AD=4，设OM=x，
ON=y，则y 与x 的函数关系式为__________________．
15.如图，ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F，CD=2DE.若△DEF 的面积为a，则ABCD
中的面积为 .(用a 的代数式表示)
第14 题 第15 题 第16 题
16.如图，△ABC 中，AB=AC，D 是AB 上的一点，且AD= 2
3 AB，DF∥BC，E 为BD 的中点．若EF⊥AC，BC=6，则四
边形DBCF 的面积为_______________.
三、解答题
17. 如图，梯形ABCD 中，AB∥CD，且AB=2CD，E、F 分别是AB、BC 的中点，EF 与BD 相交于点M.
(1)求证：△EDM∽△FBM；(2)若DB=9，求BM.
18.在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝30，AB＝50．点P 是AB 边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC 或BC
相交于E．点M 在线段AP 上，点N 在线段BP 上，EM＝EN，
（注解
=
EP
EM
）．
（1）如图1，当点E 与点C 重合时，求CM 的长；
（2）如图2，当点E 在边AC 上时，点E 不与点A、C 重合，设AP＝x，BN＝y，求y 关于x 的函数关系式，
并写出函数的自变量取值范围；
（3）若△AME∽△ENB（△AME 的顶点A、M、E 分别与△ENB 的顶点E、N、B 对应），求AP 的长．
图1 图2 备用图
19. （1）如图1，在△ABC 中，点D，E，Q 分别在AB，AC，BC 上,且DE∥BC,AQ 交DE 于点P．
求证：
．
（2）如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，正方形DEFG 的四个顶点在△ABC 的边上，连接AG，AF
分别交DE 于M，N 两点．
①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN 的长；
②如图3，求证MN2=DM·EN．
20. （2015•黄石）在△AOB 中，C，D 分别是OA，OB 边上的点，将△OCD 绕点O 顺时针旋转到△OC′D′．
（1）如图1，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D 分别为OA，OB 的中点，证明：①AC′=BD′；②AC′ BD′
⊥
；
（2）如图2，若△AOB 为任意三角形且∠AOB=θ，CD AB
∥
，AC′与BD′交于点E，猜想∠AEB=θ 是否成立？
请说明理由．
【答案与解析】
一．选择题
1．【答案】C.
【解析】①②④正确，考点：三角形相似的判定.
2．【答案】D.
【解析】∵点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O 为位似中心，相似比为，把△ABO 缩小，∴点A 的对应
点A′的坐标是：（﹣2，1）或（2，﹣1）．故选：D．
3．【答案】B.
【解析】提示：②③④成立.
4．【答案】B.
5．【答案】B.
6．【答案】B；
【解析】A 到BD 的距离为2，故在AB、AD 上存在P.
7.【答案】D；
【解析】由题意，
，
由相似，
，
同理，
.
8. 【答案】B.
【解析】∵AB=1，设AD=x，则FD=x-1，FE=1，
∵四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，
∴EF
AD
FD
AB
,
1
1
1
x
x
，
解得x1=1
5
2
，x2=1
5
2
（负值舍去），
经检验x1=1
5
2
是原方程的解．故选B．
二．填空题
9．【答案】
.
【解析】∵△ABC、△BDC、△DEC 都是黄金三角形，AB=1
∴AB=AC，AD=BD=BC，DE=BE=CD，DE∥AB
∴设DE=x，则CD=BE=x，AD=BC=1-x，
∴EC=BC-BE=1-x-x=1-2x
∴
解得：DE=
．
10．【答案】
.
【解析】
，
，
(三角形等高，面积比等于底边比)
，
阴影部分的面积与
ABCD 的面积之比为1：3.
11．【答案】12.36cm.
12．【答案】48cm.
13.【答案】
.
【解析】过点B 作BD⊥OD 于点D，
∵△ABC 为直角三角形，
∴∠BCD+∠CAO=90°，
∴△BCD∽△COA，
∴
=
，
设点B 坐标为（x，y），
则
= ，
y=﹣3x﹣9，
∴BC=
=
，
AC=
=
，
∵∠B=30°，
∴
=
=
，
解得：x=﹣3﹣
，
则y=3
．
即点B 的坐标为
．
14．【答案】
2
3
y
x
.
【解析】求两条线段的关系，把两条线段放到两个三角形中，利用两个三角形的关系求解．
15.【答案】12a.
【解析】根据四边形ABCD 是平行四边形，利用已知得出△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF，进而利用相似三
角形的性质分别得出△CEB、△ABF 的面积为4a、9a，然后推出四边形BCDF 的面积为8a 即可.
16.【答案】15.
三.综合题
17．【解析】(1)证明：∵E 是AB 的中点，
∴AB=2EB，∵AB=2CD，∴CD=EB.
又AB∥CD，r∴四边形CBED 是平行四边形.∴CB∥DE，
∴
∴△EDM∽△FBM.
(2)解：∵△EDM∽△FBM，∴
.
∵F 是BC 的中点，
∴DE=2BF.∴DM=2BM.∴BM=
DB=3.
18．【解析】(1) 由AE=40，BC=30，AB=50，∴CP=24，又sin∠EMP=
，∴CM=26。
(2) 在Rt△AEP 与Rt△ABC 中，∵∠EAP=∠BAC，∴Rt△AEP∽Rt△ABC，
∴
，即
，∴ EP=
x，
又sin∠EMP=
，∴tan∠EMP=
=
，∴
=
，∴ MP=
x=PN，
y=BN=AB-AP-PN=50-x-
x=50-
x (0<x<32).
(3) ① 当E 在线段AC 上时，由(2)知，
，即
，∴EM=
x=EN，
又AM=AP-MP=x-
x=
x，
由题设△AME∽△ENB，∴
，∴
=
，解得x=22=AP.
② 当E 在线段BC 上时，由题设△AME∽△ENB，∴ ∠AEM=∠EBN.
由外角定理，∠AEC=∠EAB+∠EBN=∠EAB+∠AEM=∠EMP，
∴ Rt△ACE∽Rt△EPM，∴
，即
，∴CE=
…①.
设AP=z，∴PB=50-z，
由Rt△BEP∽Rt△BAC，∴
，即
=
，∴BE=
(50-z)，
∴CE=BC-BE=30-
(50-z)…②.
由①，②，解
=30-
(50-z)，得z=42=AP.
∴AP 的长为22 或42．
19．【解析】（1）证明：在△ABQ 中，由于DP∥BQ，
∴△ADP∽△ABQ，∴
．
同理△APE∽△AQC，
．
∴
．
（2）①
．
②证明：∵∠B＋∠C=90°，∠CEF＋∠C=90°．
∴∠B=∠CEF，
又∵∠BGD=∠EFC，∴△BGD∽△EFC．
∴
， ∴DG·EF＝CF·BG
又∵DG＝GF＝EF，∴GF2＝CF·BG
由（1）得
，
∴
.
∴MN2＝DM·EN.
20.【解析】（1）证明：①∵△OCD 旋转到△OC′D′，
OC=OC′
∴
，OD=OD′，∠AOC′= BOD′
∠
，
OA=OB
∵
，C、D 为OA、OB 的中点，
OC=OD
∴
，
OC′=OD′
∴
，
在△AOC′和△BOD′中，
，
AOC′
BOD′
∴△
△
≌
（SAS），
AC′=BD′
∴
；
②延长AC′交BD′于E，交BO 于F，如图1 所示：
AOC′
BOD′
∵△
≌△
，
OAC′= OBD′
∴∠
∠
，
又∠AFO= BFE
∠
，∠OAC′+ AFO=90°
∠
，
OBD′+ BFE=90°
∴∠
∠
，
BEA=90°
∴∠
，
AC′ BD′
∴
⊥
；
（2）解：∠AEB=θ 成立，理由如下：如图2 所示：
OCD
∵△
旋转到△OC′D′，
OC=OC′
∴
，OD=OD′，∠AOC′= BOD′
∠
，
CD AB
∵
∥
，
∴
，
∴
，
∴
，
又∠AOC′= BOD′
∠
，
AOC′
BOD′
∴△
△
∽
，
OAC′= OBD′
∴∠
∠
，
又∠AFO= BFE
∠
，
AEB= AOB=θ
∴∠
∠
．
