弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图—巩固练习（提高）_20190524133745_初高中资料库_初中资料库（转存避免链接过期失效）_初中数学

弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图—巩固练习（提高）
【巩固练习】
一、选择题
1. 一个直角三角形绕它的一边所在直线旋转一周所得到的几何体一定是(    )．
   A．圆锥       B．圆柱        C．圆锥或圆柱   D．以上都不对
2. （2015•杭州模拟）如图，扇形AOB 中，∠AOB=150°，AC=AO=6，D 为AC 的中点，当弦AC 沿扇形运动时，点D
所经过的路程为（　　）
　A．3π
B．
C．
D．4π
3．如图所示，已知点A、B、C、D 均在已知圆上，AD∥BC，AC 平分∠BCD，∠ADC＝120°，四边形ABCD 的周长为
10cm，图中阴影部分的面积为(    )．
A．
3
2
      B．2
3
3
     C．2 3        D．4 3
      
         
第3 题图                第4 题图                   第5 题图
4．如图所示，Rt△ABC 中，∠BAC 是直角，AB＝AC＝2，以AB 为直径的圆交BC 于D，则图中阴影部分的面积为( 
)．
    A．1          B．2          C．1
4


        D．2
4


5．如图所示，在△ABC 中，BC＝4，以点A 为圆心，2 为半径的⊙A 与BC 相切于点D，交AB 于点E，交AC 于点
F，点P 是⊙A 上一点，且∠EPF＝40°，则图中阴影部分的面积是(    )．
    A．4
9


      B．
8
4
9


      C．
4
8
9


     D．
8
8
9


6．在综合实践活动课上，小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型，如图所示，它的底面半径OB＝6cm，
高OC＝8cm，则这个圆锥漏斗的侧面积是(    )．
    A．30cm2       B．30π cm2       C．60π cm2     D．120cm2
二、填空题
7. 如图，已知矩形纸片ABCD，AD=2，
3
AB 
，以A 为圆心，AD 长为半径画弧交BC 于点E，将扇形AED 剪下
围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为             ．
   
                                                        
A
B
C
D
E
第6 题                                         第7 题
8．圆锥的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的母线长与底面半径的比为            ．
9．已知在△ABC 中，AB＝6，AC＝8，∠A＝90°，把Rt△ABC 绕直线AC 旋转一周得到一个圆锥，其表面积为
S1，把Rt△ABC 绕直线AB 旋转一周得到另一个圆锥，其表面积为S2，则S1:S2等于________．
10．如图所示，有一圆心角为120°、半径长为6 cm 的扇形，若将OA、OB 重合后围成一圆锥侧面，那么圆锥
的高是            ．
          
        
A 
B 
O 
    第10题图                        第11题图                         第12题图
11．矩形ABCD 的边AB＝8，AD＝6，现将矩形ABCD 放在直线l 上且沿着l 向右做无滑动地翻滚，当它翻滚到
类似于开始的位置A1B1C1D1时(如图所示)，则顶点A 所经过的路线长是________．
12．（2015•河池）如图，用一张半径为24cm 的扇形纸板制作一顶圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果圆锥形
帽子的底面半径为10cm，那么这张扇形纸板的面积是          .
三、解答题
13. 如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为1，若一小虫P 从A 点开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA 的
中点C，求小虫爬行的最短距离是多少?
14．现有一张边长为20cm 的正方形纸片，你能用这张纸片制成一个表面积尽可能大的有底圆锥吗?说明你
的做法并计算圆锥的表面积(结果精确到0.1cm，
2 ＝1.414)．
15．如图所示，有一直径是1m 的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角为90°的扇形ABC．
求：(1)被剪掉阴影部分的面积；
(2)用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆半径是多少?(结果用根号表示)
16.（2015•福州模拟）如图，AB 为⊙O 的直径，弦AC=2，∠B=30°，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D，求：
（1）BC、AD 的长；
（2）图中两阴影部分面积的和．
【答案与解析】
一、选择题
1．【答案】D； 
  【解析】绕直角边所在直线旋转一周所得到的几何体与绕斜边的不同．
2．【答案】C；
【解析】∵D 为AC 的中点，AC=AO=6，
OD AC
∴
⊥
，
AD=
∴
AO，
AOD=30°
∴∠
，OD=3
，
同理可得：∠BOE=30°，
DOE=150°
60°=90°
∴∠
﹣
∴点D 所经过路径长为：
=
=
．
故选C．
3．【答案】B；
  【解析】如图，因为AD∥BC，∠ADC＝120°，所以∠BCD＝60°，因为AC 平分∠BCD，
所以∠BCA＝∠DAC＝∠DCA＝30°，所以∠BAC＝90°，BC 为圆的直径，
所以AD＝DC＝AB．设BC 的中点为O，连接OA、OD，由题意可知点A、D 三等分半圆，
则∠AOD＝60°，且OA＝OD＝AB＝AD＝CD，BC＝2AD，所以AB+AD+CD+BC＝10，
所以半径为2，则
2
3
3
AOD
S
S
S






扇形
扇
．
 
                  
第3 题答案图                         第5 题答案图
4.【答案】A； 
  【解析】连接AD，
1
2
ABC
S
S

阴影
．
5．【答案】B；
【解析】如图，连接AD，因为BC 为⊙A 切线、D 为切点，所以AD⊥BC．
又由∠BAC＝2∠EPF＝2×40°＝80°，
∴  
2
80
2
8
360
9
EAF
S





扇形
．
∴  
1
8
8
4
2
9
9
ABC
EAF
S
S
S
BC
AD











阴影
阴影
．
6．【答案】C；
  【解析】在Rt△COB 中，由CO2+BO2＝BC2，得BC＝10cm，所以
2
1
2
6 10
60 (cm )
2
S






侧
．
二、填空题
7．【答案】1
3 ；
【解析】在Rt△ABE 中， 
2
2
1
2
( 3)
1
2
BE
AE




∴∠BAE=30°，
∴∠DAE=60°，
∴圆锥的侧面展开图的弧长为：
= π，
∴圆锥的底面半径为π÷2π= ．
8．【答案】2:1；
  【解析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
          ∵  圆锥的侧面展开图是一个半圆，
          ∴  此半圆的周长(即侧面展开扇形的弧长)为180
180
l
．
          又∵  此半圆的周长等于2πr，
           ∴  180
2
180 l
r



，
2
l
r



，
2
l
r

，即
2
1
l
r 
．
          即圆锥的母线长与底面半径比为2:1．
9．【答案】2:3；
【解析】如图所示，当以AC 为轴旋转时，
2
1S
r
S



侧，AB 为底面圆半径，BC 为母线长10，
则S1＝36π+60π＝96π．
                
当以AB 为轴旋转时，AC 为底面圆半径，BC 为母线长，
80
S
rl




侧
，
所以
2
S
S
S


侧
底
64
80
144






，所以S1:S2＝96π:144π＝2:3．
10．【答案】4 2cm
；
【解析】扇弧长120
6
4 cm
180




，而扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，
设底面圆半径为r，∴  4π＝2πr，∴  r＝2cm．
如图所示，AC＝2cm，OA＝6cm，
Rt△OAC 中，OC＝
2
2
4 2
OA
AC


cm．
11．【答案】12π；
【解析】分析题意，考虑A 所经过的路线可分为三段孤长，如图所示，
第一段是以B 为圆心，AB 长为半径，圆心角∠ABE＝90°的弧长；
第二段是以F 为圆心，EF 长为半径，圆心角∠EFM＝90°的弧长；
第三段是以N 为圆心，NA1长为半径，圆心角∠A1NM＝90°的孤长．EF＝10，NA1＝6．
                 
            则顶点A 所经过的路线长＝


1
4
5
3
12
AE
EM
MA










．
12.【答案】240π cm2 .
【解析】这张扇形纸板的面积= ×2π×10×24=240π（cm2）．
三、解答题
13.【答案与解析】
将圆锥的侧面展开如图所示，取SA的中点C，连接AC．则AC是小虫爬行的最短路线．
∵  
4
2
1
180
n



，
∴  
90
n 
° ，即
90
ASA


° ．
∵  SA＝4，SC＝2，
∴  
2
2
4
2
2 5
AC 


．
∴  小虫爬行的最短距离为2 5 ．
14. 【答案与解析】
用一张正方形纸片制成一个有底圆锥，方法有多种，但使其表面积尽可能大的只有一种，确定了扇形、
圆、正方形三者之间的关系之后；就可通过计算求出扇形及圆的半径，并制成符合条件的圆锥．
    具体做法：
    (1)通过分析、比较确定符合条件的扇形、圆与正方形的位置关系，并画出示意图，如图所示．
    (2)通过它们的位置关系计算出扇形和圆的半径，并根据计算结果在纸片上画出截剪线．
    (3)剪下符合条件的扇形与圆，用扇形作侧面，圆作底面粘接成圆锥．
           
   
其表面积的计算过程是：
如上图所示，设扇形的半径为Rcm，⊙O 的半径为r cm，M、N 均为切点，
连接OM、ON．则有OM⊥BC，ON⊥DC．
    ∵  OM＝ON＝r．
∴  四边形OMCN 为正方形．
∴  OC＝
2r ．
    ∵  AC＝AG+GO+OC，AC＝
2 AB＝20 2 cm，
∴  
2
20 2
R
r
r


．    ①
∵  EF
的弧长等于⊙O 的周长，
∴  1
2
2
4
R
r




，即R＝4r．      ②
    由①②得
20 2
4.41
5
2
r 

≈
，
∴  
2
2
1
4
S
S
S
R
r






侧
表
底
．
        
2
2
2
2
5
5 3.14 4.41 cm
305.3cm
r




≈
．
    故所做圆锥的表面积约为305.3cm2．
15. 【答案与解析】
（1）连接BC．
∵  ∠BAC＝90°，
∴  BC 是⊙O 的直径，∴  BC＝1m．
∵  AB＝AC，
∴  
2
2
AB
AC


m．
∴  
O
ABC
S
S
S



阴
扇形
2
2
2
2
2
1
1
2
1
m
m
m
2
4
2
8




















．
（2）设圆锥底面圆的半径为r，
∴  
2
90
2
2
180
r




．
∴  
2 m
8
r 
．
  
16. 【答案与解析】
解：（1）∵AB 是直径，
ACB= ADB=90°
∴∠
∠
（直径所对的圆周角是直角），
在Rt
ABC
△
中，∠B=30°，AC=2，
AB=4
∴
，
BC=
∴
=2
，
ACB
∠
∵
的平分线交⊙O 于点D，
DCA= BCD
∴∠
∠
∴
=
，
AD=BD
∴
，
∴在Rt
ABD
△
中，AD=BD=
AB=2
；
（2）连接OC，OD，
B=30°
∵∠
，
AOC= 2 B=60°
∴∠
∠∠
，
OA=OB
∵
，
S
∴
AOC
△
= S
ABC
△
= × ×AC×BC= × ×2×2
=
，
由（1）得∠AOD=90°，
COD=150°
∴∠
，
S
AOD
△
= ×AO×OD= ×22=2，
S
∴
阴影=S 扇形COD
S
﹣
AOC
△
S
﹣
AOD
△
=
﹣
2=
﹣
π﹣
2
﹣．