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《圆》全章复习与巩固—巩固练习（提高）
【巩固练习】
一、选择题
1．如图所示，AB、AC 为⊙O 的切线，B 和C 是切点，延长OB 到D，使BD＝OB，连接AD．如果∠DAC＝78°，
那么∠ADO 等于( )．
A．70° B．64° C．62° D．51°
2．在半径为27m 的圆形广场中心点O 的上空安装了一个照明光源S，S 射向地面的光束呈圆锥形，其轴截面
SAB 的顶角为120°(如图所示)，则光源离地面的垂直高度SO 为( )．
A．54m B．6 3 m C．9 3 m D．18 3 m
第1 题图 第2 题图 第3 题图 第4 题图
3．设计一个商标图案，如图所示，在矩形ABCD 中，AB=2BC，且AB=8cm，以A 为圆心、AD 的长为半径作半圆，则
商标图案(阴影部分)的面积等于( ).
A.(4π+8)cm2 B.(4π+16)cm2 C.(3π+8)cm2 D.(3π+16)cm2
4．如图，
的半径为5，弦
的长为8，点
在线段
(包括端点
)上移动，则
的取值范围是(
).
A.
B.
C.
D.
5. “圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以
锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用数学语言可表示为：如图所示，CD 为⊙O 的直径，弦
AB⊥CD 于E，CE=1 寸，AB=10 寸，则直径CD 的长为( )
A．12.5 寸 B．13 寸 C．25 寸 D．26 寸
6．（2015•贵港）如图，已知P 是⊙O 外一点，Q 是⊙O 上的动点，线段PQ 的中点为M，连接OP，OM．若⊙O
的半径为2，OP=4，则线段OM 的最小值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．一条弦的两个端点把圆周分成4:5 两部分，则该弦所对的圆周角为( )．
A．80° B．100° C．80°或100° D．160°或200°
8．如图所示，AB、AC 与⊙O 分别相切于B、C 两点，∠A＝50°，点P 是圆上异于B、C 的一动点，则∠BPC 的度
数是( )．
A．65° B．115° C．65°或115° D．130°或50°
二、填空题
9．如下左图，
是
的内接三角形，
，点P 在
上移动(点P 不与点A、C 重合)，则
的变
化范围是__ ________.
第9 题图 第10 题图
10．如图所示，EB、EC是⊙O是两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，那么∠A
的度数是________________.
11．已知⊙O1与⊙O2的半径
1r
、
2r
分别是方程
2
6
8
0
x
x
的两实根，若⊙O1与⊙O2的圆心距
d
=5．则
⊙O1与⊙O2的位置关系是 __ __ .
12．（2015•巴彦淖尔）如图，AB 为⊙O 的直径，AB=AC，BC 交⊙O 于点D，AC 交⊙O 于点E，∠BAC=45°，
给出以下五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧
是劣弧
的2 倍；⑤AE=BC，其中
正确的序号是
．
13.两个圆内切，其中一个圆的半径为5，两圆的圆心距为2，则另一个圆的半径是_______ ________.
14.已知正方形ABCD 外接圆的直径为
2a ，截去四个角成一正八边形，则这个正八边形EFGHIJLK 的边长为
____ ____，面积为_____ ___．
15．如图(1)(2)…(m)是边长均大于2 的三角形、四边形、……、凸n 边形，分别以它们的各顶点为圆心，以l
为半径画弧与两邻边相交，得到3 条弧，4 条弧，……
(1)图(1)中3 条弧的弧长的和为___ _____，图(2)中4 条弧的弧长的和为_____ ___；
(2)求图(m)中n 条弧的弧长的和为____ ____(用n 表示)．
16．如图所示，蒙古包可以近似地看做由圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建20 个底面积为9πm2，高
为3.5m，外围高4 m 的蒙古包，至少要____ ____m2的毛毡．
三、解答题
17. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，FH 是⊙O 的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF 交BC 于E，∠ABC 的平分线
BD 交AF 于D，连结BF．
（1）证明：AF 平分∠BAC；
（2）证明：BF＝FD.
18.（2015•南京）如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，BC 的延长线与AD 的延长线交于点E，且
DC=DE．
（1）求证：∠A= AEB
∠
；
（2）连接OE，交CD 于点F，OE CD
⊥
，求证：△ABE 是等边三角形．
19．如图，相交两圆的公共弦长为120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边.
求两圆相交弧间阴影部分的面积.
20. 问题背景：课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：
①如图(1)，在正△ABC 中，M、N 分别是AC、AB 上的点，BM 与CN 相交于点O，若∠BON＝60°，
则BM＝CN；
②如图(2)，在正方形ABCD 中，M、N 分别是CD、AD 上的点，BM 与CN 相交于点O，若∠BON＝90°，则BM＝
CN．
然后运用类似的思想提出了如下命题：
③如图(3)，在正五边形ABCDE 中，M、N 分别是CD、DE 上的点，BM 与CN 相交于点O，若∠BON＝108°，则
BM＝CN．
任务要求：
(1)请你从①②③三个命题中选择一个进行证明；
(2)请你继续完成下面的探索；
①在正n(n≥3)边形ABCDEF…中，M、N 分别是CD、DE 上的点，BM 与CN 相交于点O，试问当∠BON 等于多
少度时，结论BM＝CN 成立(不要求证明)；
②如图(4)，在正五边形ABCDE 中，M、N 分别是DE、AE 上的点，BM 与CN 相交于点O，∠BON＝108°时，试
问结论BM＝CN 是否成立．若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
【答案与解析】
一、选择题
1．【答案】B；
【解析】由AB 为⊙O 的切线，则AB⊥OD．又BD＝OB，则AB 垂直平分OD，AO＝AD，∠DAB＝∠BAO．
由AB、AC 为⊙O 的切线，则∠CAO＝∠BAO＝∠DAB．所以，∠DAB＝∠DAC＝26°．
∠ADO＝90°-26°＝64°．
本题涉及切线性质定理、切线长定理、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等．
2．【答案】C；
【解析】圆锥的高、底面半径与母线组成直角三角形．
由题意，SO⊥AB 于O，∴ ∠SOA＝∠SOB＝90°．又SA＝SB，∠ASB＝120°，
∴ ∠SAB＝∠SBA＝180
120
30
2
°-
°
° ，设SO＝x m，则AS＝2x m．∵ AO＝27，
由勾股定理，得(2x)2-x2＝272，解得
9 3
x
(m)．
3．【答案】A.；
【解析】对图中阴影部分进行分析，可看做扇形、矩形、三角形的面积和差关系.
∵ 矩形ABCD 中，AB=2BC，AB=8cm，
∴ AD=BC=4cm，∠DAF=90°，
，
，
又AF=AD=4cm，
∴
，
∴
.
4.【答案】A；
【解析】OM 最长是半径5；最短是OM⊥AB 时，此时OM=3，故选A.
5．【答案】D；
【解析】因为直径CD 垂直于弦AB，所以可通过连接OA(或OB)，求出半径即可.
根据“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”，
知
(寸)，在Rt△AOE 中，
，
即
，解得OA=13，进而求得CD=26(寸).
故选D.
6．【答案】B.
【解析】设OP 与⊙O 交于点N，连结MN，OQ，如图，
OP=4
∵
，ON=2，
N
∴
是OP 的中点，
M
∵
为PQ 的中点，
MN
∴
为△POQ 的中位线，
MN=
∴
OQ= ×2=1，
∴点M 在以N 为圆心，1 为半径的圆上，
当点M 在ON 上时，OM 最小，最小值为1，
∴线段OM 的最小值为1．故选B．
7．【答案】C；
【解析】圆周角的顶点在劣弧上时，圆周角为
5
1
360
100
9
2
°
° ；圆周角的顶点在优弧上时，
圆周角为
4
1
360
80
9
2
°
° ．注意分情况讨论．
8．【答案】C；
【解析】连接OC、OB，则∠BOC＝360°-90°-90°-50°＝130°．点P 在优弧上时，
∠BPC＝1
2 ∠BOC＝65°；点P 在劣弧上时，∠BPC＝180°-65°＝115°．
主要应用了切线的性质定理、圆周角定理和多边形内角和定理．
二、填空题
9．【答案】
；
10．【答案】99°；
【解析】由EB=EC，∠E=46°知，∠ECB= 67°，从而∠BCD=180°-67°-32°=81°，
在⊙O 中，∠BCD 与∠A 互补，所以∠A=180°-81°=99°.
11．【答案】相交；
【解析】求出方程
2
6
8
0
x
x
的两实根
1r 、
2r 分别是4、2，则
1r -
2r < d <
1r +
2r ,所以两圆相交.
12.【答案】①②④；
【解析】连接AD，AB 是直径，
则AD BC
⊥
，
又∵△ABC 是等腰三角形，
故点D 是BC 的中点，即BD=CD，故②正确；
AD
∵
是∠BAC 的平分线，
由圆周角定理知，∠EBC= DAC=
∠
BAC=22.5°
∠
，故①正确；
ABE=90°
EBC
BAD=45°=2 CAD
∵∠
﹣∠
﹣∠
∠
，故④正确；
EBC=22.5°
∵∠
，2EC≠BE，AE=BE，∴AE≠2CE，③不正确；
AE=BE
∵
，BE 是直角边，BC 是斜边，肯定不等，故⑤错误．
综上所述，正确的结论是：①②④．
13.【答案】7 或3；
【解析】两圆有三种位置关系：相交、相切(外切、内切)和相离(外离、内含).两圆内切时，
圆心距
，题中一圆半径为5，而d=2，所以有
，解得r=7 或r=3，
即另一圆半径为7 或3.
14.【答案】( 2
1)a
；
2
(2 2
2)a
；
【解析】正方形ABCD 外接圆的直径就是它的对角线，由此求得正方形边长为a．如图所示，设正八边形的
边长为x．在Rt△AEL 中，LE＝x，AE＝AL＝
2
2 x ，∴
2
2
2 x
x
a
，
( 2
1)
x
a
，
即正八边形的边长为( 2
1)a
．
2
2
2
2
2
4
[( 2
1) ]
(2 2
2)
AEL
S
S
S
a
x
a
a
a
△
正方形
正八边形
．
15.【答案】(1)π； 2π； (2)(n-2)π；
【解析】∵ n 边形内角和为(n-2)180°，前n 条弧的弧长的和为(
2)180
1 (
2)
360
2
n
n
个以某定点为
圆心，以1 为半径的圆周长，∴ n 条弧的弧长的和为
1
2
1
(
2)
(
2)
2 n
n
．
本题还有其他解法，比如：设各个扇形的圆心角依次为
1
，
2
，…，
n
，
则
1
2
(
2)180
n
n
…
° ，
∴ n 条弧长的和为
1
2
1
2
1
1
1
(
)
180
180
180
180
n
n
…
…
(
2) 180
(
2)
180 n
n
．
16.【答案】720π；
【解析】∵ S＝πr2，∴ 9π＝πr2，∴ r＝3．∴ h1＝4，∴
2
2
1
5
l
h
r
，
∴
2
2
3 5
2
3 3.5
15
21
36
S
S
S
rl
rh
锥
柱
，
20 36
720
S
总
．
所求面积包括圆锥的侧面积和圆柱的侧面积，不包括底面积．
三、解答题
17.【答案与解析】
（1）连结OF
∵FH 是⊙O 的切线
∴OF⊥FH
∵FH∥BC ，
∴OF 垂直平分BC
∴
BF
FC
∴AF 平分∠BAC .
（2）由（1）及题设条件可知
∠1=∠2，∠4=∠3，∠5=∠2
∴∠1+∠4=∠2+∠3
∴∠1+∠4=∠5+∠3
∠FDB=∠FBD
A
B
C
D
E
F
O
1 2
3
4
5
H
A
B
C
D
E
F
O
1 2
H
∴BF=FD.
18．【答案与解析】
证明：（1）∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，
A+ BCD=180°
∴∠
∠
，
DCE+ BCD=180°
∵∠
∠
，
A= DCE
∴∠
∠
，
DC=DE
∵
，
DCE= AEB
∴∠
∠
，
A= AEB
∴∠
∠
；
（2）∵∠A= AEB
∠
，
ABE
∴△
是等腰三角形，
EO
CD
∵
⊥
，
CF=DF
∴
，
EO
∴
是CD 的垂直平分线，
ED=EC
∴
，
DC=DE
∵
，
DC=DE=EC
∴
，
DCE
∴△
是等边三角形，
AEB=60°
∴∠
，
ABE
∴△
是等边三角形．
19.【答案与解析】
解：∵公共弦AB＝120
.
20. 【答案与解析】
(1)如选命题①．
证明：在图(1)中，
∵ ∠BON＝60°，∴ ∠1+∠2＝60°．
∵ ∠3+∠2＝60°，∴ ∠1＝∠3．
又∵ BC＝CA，∠BCM＝∠CAN＝60°，
∴ △BCM≌△CAN，∴ BM＝CM．
如选命题②．
证明：在图(2)中，
∵ ∠BON＝90°，∴ ∠1+∠2＝90°．
∵ ∠3+∠2＝90°，∴ ∠1＝∠3．
又∵ BC＝CD，∠BCM＝∠CDN＝90°，
∴ △BCM≌△CDN，∴ BM＝CN．
如选命题③．
证明：在图(3)中，
∵ ∠BON＝108°，∴ ∠1+∠2＝108°．
∵ ∠2+∠3＝108°，∴ ∠1＝∠3．
又∵ BC＝CD，∠BCM＝∠CDN＝108°，
∴ △BCM≌△CDN，∴ BM＝CN．
(2)①答：当∠BON＝(
2)180
n
n
°
时结论BM＝CN 成立．
②答：当∠BON＝108°时．BM＝CN 还成立．
证明：如图(4)，连接BD、CE
在△BCD 和△CDE 中，
∵ BC＝CD，∠BCD＝∠CDE＝108°，CD＝DE，
∴ △BCD≌△CDE．
∴ BD＝CE，∠BDC＝∠CED，∠DBC＝∠ECD．
∵ ∠CDE＝∠DEN＝108°，
∴ ∠BDM＝∠CEM．
∵ ∠OBC+∠OCB＝108°，∠OCB+∠OCD＝108°．
∴ ∠MBC＝∠NCD．
又∵ ∠DBC＝∠ECD＝36°，
∴ ∠DBM＝∠ECM．
∴ △BDM≌△CEN，
∴ BM＝CN．
