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《圆》全章复习与巩固—巩固练习（基础）
【巩固练习】
一、选择题
1.对于下列命题：
①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；
②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；
③任意三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；
④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形．
其中，正确的有( )．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
2．（2015•海南）如图，将⊙O 沿弦AB 折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P 是优弧
上一点，则∠APB 的度数为
（ ）
A．45° B．30° C．75° D．60°
3．秋千拉绳长3 米，静止时踩板离地面0.5 米，某小朋友荡秋千时，秋千在最高处踩板离地面2 米(左右对
称)，如图所示，则该秋千所荡过的圆弧长为( ).
A.
米 B.
米 C.
米 D.
米
4．已知两圆的半径分别为2、5，且圆心距等于2，则两圆位置关系是( )．
A．外离 B．外切 C．相切 D．内含
5．如图所示，在直角坐标系中，一个圆经过坐标原点O，交坐标轴于E、F，OE＝8，OF＝6，则圆的直径长为(
)．
A．12 B．10 C．4 D．15
第3 题图 第5 题图 第6 题图 第7 题图
6．如图所示，方格纸上一圆经过(2，5)，(-2，1)，(2，-3)，(6，1)四点，则该圆圆心的坐标为( )．
A．(2，-1) B．(2，2) C．(2，1) D．(3，1)
7．如图所示，CA 为⊙O 的切线，切点为A，点B 在⊙O 上，若∠CAB＝55°，则∠AOB 等于( )．
A．55° B．90° C．110° D．120°
8．一个圆锥的侧面积是底面积的3 倍，这个圆锥的侧面展开图的圆心角是( )．
A．60° B．90° C．120° D．180°
二、填空题
9．如图所示，△ABC 内接于⊙O，要使过点A 的直线EF 与⊙O 相切于A 点，则图中的角应满足的条件
是________________(只填一个即可).
10．已知两圆的圆心距
为3，
的半径为1.
的半径为2，则
与
的位置关系
为________.
11．如图所示，DB 切⊙O 于点A，∠AOM=66°，则∠DAM=________________.
第9 题图 第11 题图 第12 题图 第15 题图
12．如图所示，⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB=CD，则图中与∠1 相等的角有________________.
13．点M 到⊙O 上的最小距离为2cm，最大距离为10 cm，那么⊙O 的半径为___ _____．
14．已知半径为R 的半圆O，过直径AB 上一点C，作CD⊥AB 交半圆于点D，且
3
2
CD
R
，则AC 的长
为_____ ___．
15．如图所示，⊙O 是△ABC 的外接圆，D 是弧AB 上一点，连接BD，并延长至E，连接AD，若AB＝AC，
∠ADE＝65°，则∠BOC＝___ _____．
16.（2015•衢州）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2m，某天下雨后，水
管水面上升了0.2m，则此时排水管水面宽CD 等于 m．
三、解答题
17．如图，AB 是半圆O 的直径，过点O 作弦AD 的垂线交半圆O 于点E ，交AC 于点C，
使
BED
C
．试判断直线AC 与圆O 的位置关系，并证明你的结论；
18．在直径为20cm 的圆中，有一弦长为16cm，求它所对的弓形的高。
C
A
O
B
E
D
19． 如图，点P 在y 轴上，
交x 轴于A、B 两点，连结BP 并延长交
于C，过点C 的直线
交
轴于
，且
的半径为
，
.
(1)求点
的坐标；
(2)求证：
是
的切线；
20. （2015•德州）如图，⊙O 的半径为1，A，P，B，C 是⊙O 上的四个点，∠APC= CPB=60°
∠
．
（1）判断△ABC 的形状：
；
（2）试探究线段PA，PB，PC 之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）当点P 位于
的什么位置时，四边形APBC 的面积最大？求出最大面积．
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】B；
【解析】任意一个圆的内接三角形和外切三角形都可以作出无数个．①③正确，②④错误，故选B．
2.【答案】D；
【解析】作半径OC⊥AB 于D，连结OA、OB，如图，
∵将⊙O 沿弦AB 折叠，圆弧恰好经过圆心O，
∴OD=CD，
∴OD= OC= OA，
∴∠OAD=30°，
而OA=OB，
∴∠CBA=30°，
∴∠AOB=120°，
∴∠APB= ∠AOB=60°．
故选D．
3.【答案】B；
【解析】以实物或现实为背景，以与圆相关的位置关系或数量关系为考查目标.这样的考题，
背景公平、现实、有趣，所用知识基本，有较高的效度与信度.
4.【答案】D；
【解析】通过比较两圆半径的和或差与圆心距的大小关系，判断两圆的位置关系． 5-2＝3＞2，所以两圆
位置关系是内含．
5.【答案】B ；
【解析】圆周角是直角时，它所对的弦是直径．直径EF
2
2
10
OE
OF
．
6.【答案】C；
【解析】横坐标相等的点的连线，平行于y 轴；纵坐标相等的点的连线，平行于x 轴．结合图形可以发现，由
点(2，5)和(2，-3)、(-2，1)和(6，1)构成的弦都是圆的直径，其交点即为圆心(2，1)．
7．【答案】C；
【解析】能够由切线性质、等腰三角形性质找出数量关系式．由AC 切O 于A，则∠OAB＝35°，
所以∠AOB＝180°-2×35°＝110°．
8．【答案】C；
【解析】设底面半径为r，母线长为l ，则
2
1 2
3
2
r l
r
，∴
3
l
r
，∴
3
2
180
n
r
r
，
∴ n＝120，∴ ∠AOB＝120°．
二、填空题
9．【答案】∠BAE=∠C 或∠CAF=∠B.
10．【答案】外切.
11．【答案】147°；
【解析】因为DB 是⊙O 的切线，所以OA⊥DB，由∠AOM=66°，
得∠OAM=
，∠DAM=90°+57°=147°.
12．【答案】∠6，∠2，∠5.
【解析】本题中由弦AB=CD 可知
，因为同弧或等弧所对的圆周角相等，
故有∠1 =∠6=∠2=∠5.
13.【答案】4 cm 或6 cm ；
【解析】当点M 在⊙O 外部时，⊙O 半径
1 (10
2)
2
4(cm)；
当点M 在⊙O 内部时，⊙O 半径
1 (10
2)
6(cm)
2
．
点与圆的位置关系不确定，分点M 在 ⊙O 外部、内部两种情况讨论．
14.【答案】 1
2 R 或3
2 R ；
【解析】根据题意有两种情况：
①当C 点在A、O 之间时，如图(1)．
由勾股定理OC＝
2
2
3
1
2
2
R
R
R
，故
1
1
2
2
AC
R
R
R
．
②当C 点在B、O 之间时，如图(2)．由勾股定理知
2
2
3
1
2
2
OC
R
R
R
，
故
1
3
2
2
AC
R
R
R
．
没有给定图形的问题，在画图时，一定要考虑到各种情况．
15．【答案】100°；
【解析】∠ADE＝∠ACB＝65°，∴ ∠BAC＝180°-65°×2＝50°，∠BOC＝2∠BAC＝100°．
在前面的学习中，我们用到了圆内接四边形的性质(对角互补，外角等于内对角)，
在解一些客观性题目时，可以使用．
16．【答案】1.6；
【解析】如图：∵AB=1.2m，OE⊥AB，OA=1m，
∴OE=0.8m，
∵水管水面上升了0.2m，
∴OF=0.8﹣0.2=0.6m，
∴CF=
m，
∴CD=1.6m．故答案为：1.6．
三、解答题
17.【答案与解析】
AC 与⊙O 相切．
证明：∵弧BD 是∠BED 与∠BAD 所对的弧，
∴∠BAD=∠BED，
∵OC⊥AD，
∴∠AOC+∠BAD=90°，
∴∠BED+∠AOC=90°，
即∠C+∠AOC=90°，
∴∠OAC=90°，
∴AB⊥AC，即AC 与⊙O 相切.
18.【答案与解析】
一小于直径的弦所对的弓形有两个：劣弧弓形与优弧弓形.
如图，HG 为⊙O 的直径，且HG⊥AB，AB＝16cm，HG＝20cm
故所求弓形的高为4cm 或16cm
19.【答案与解析】
(1)连结
.
.
，
，
.
是
的直径，
.
，
，
，
，
，
.
(2)
过
点
.
当
时，
，
.
，
，
，
.
，
，
是
的切线.
20.【答案与解析】
（1）△ABC 是等边三角形．
证明如下：在⊙O 中
BAC
∠
∵
与∠CPB 是
所对的圆周角，∠ABC 与∠APC 是
所对的圆周角，
BAC= CPB
∴∠
∠
，∠ABC= APC
∠
，
又∵∠APC= CPB=60°
∠
，
ABC= BAC=60°
∴∠
∠
，
ABC
∴△
为等边三角形；
（2）在PC 上截取PD=AP，如图1，
又∵∠APC=60°，
APD
∴△
是等边三角形，
AD=AP=PD
∴
，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．
又∵∠APB= APC+ BPC=120°
∠
∠
，
ADC= APB
∴∠
∠
，
在△APB 和△ADC 中，
，
APB
ADC
∴△
△
≌
（AAS），
BP=CD
∴
，
又∵PD=AP，
CP=BP+AP
∴
；
（3）当点P 为
的中点时，四边形APBC 的面积最大．
理由如下，如图2，过点P 作PE AB
⊥
，垂足为E．
过点C 作CF AB
⊥
，垂足为F．
S
∵
APB
△
= AB•PE，S
ABC
△
= AB•CF，
S
∴
四边形APBC= AB•（PE+CF），
当点P 为
的中点时，PE+CF=PC，PC 为⊙O 的直径，
∴此时四边形APBC 的面积最大．
又∵⊙O 的半径为1，
∴其内接正三角形的边长AB=
，
S
∴
四边形APBC= ×2×
=
．
