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《基本平面图形》全章复习与巩固（提高）知识讲解
【学习目标】
1．掌握直线、射线、线段、角这些基本图形的概念、性质、表示方法和画法；
2. 掌握圆、扇形及多边形的概念及相关计算；
3．初步学会应用图形与几何的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题；
4．逐步掌握学过的几何图形的表示方法，能根据语句画出相应的图形，会用语句描述简单的
图形．
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、线段、射线、直线
1.直线，射线与线段的区别与联系
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2.基本性质
(1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间，线段最短．
要点诠释：
①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可
以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线.
②连接两点间的线段的长度，叫做两点的距离.
3.画一条线段等于已知线段
（1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段.
（2）用尺规作图法：用圆规在射线AC 上截取AB=ａ，如下图：
4.线段的比较与运算
（1）线段的比较：
比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法.
（2）线段的和与差：
如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。
（3）线段的中点：
把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有：
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D
B
A
C
B
A
b
a
b
a
M
B
A
要点诠释：
①线段中点的等价表述：如上图，点M 在线段AB 上，且有
，则点M 为线段AB
的中点.
②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，点
M,N,P 均为线段AB 的四等分点.
P
N
M
B
A
要点二、角
1.角的度量
（1）角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条
射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.
(2)角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点
的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图：
要点诠释：
①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义；
②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示.
（3）角度制及角度的换算
1 周角=360°，1 平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒为单位的角的度量制，
叫做角度制.
要点诠释：
①度、分、秒的换算是60 进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同.
②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用
乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行.
③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60 进一，减一
成60.
（4）角的分类：
（
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∠β
锐角
直角
钝角
平角
周角
范围
0＜∠β＜90°
∠β=90°
90°＜∠β<180°
∠β=180°
∠β=360°
5）画一个角等于已知角
（1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11 个角.
（2）借助量角器能画出给定度数的角.
（3）用尺规作图法.
2.角的比较与运算
（1）角的比较方法: ①度量法；②叠合法.
（2）角的平分线：
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：
如下图，因为OC 是∠AOB 的平分线，所以∠1=∠2=
∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2.
类似地，还有角的三等分线等.
3.方位角
以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角.
要点诠释：
（1）方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的.所以在应用中一要确
定其始边是正北还是正南.二要确定其旋转方向是向东还是向西，三要确定旋转角度的大小.
（2）北偏东45°通常叫做东北方向，北偏西45°通常叫做西北方向，南偏东45°通常叫做东
南方向，南偏西45°通常叫做西南方向.
（3）方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛.
要点三、多边形和圆的初步认识
1.多边形及正多边形：多边形是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭
平面图形．其中，各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．如下图：
要点诠释：
（1）n 边形有n 个顶点、n 条边，对角线的条数为
．
（2）多边形按边数的不同可分为三角形、四边形、五边形、六边形等．
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2. 圆及扇形：
（1）圆：如图，在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形
成的图形叫做圆，固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径. 以点O 为圆心的圆，记作
“⊙O”，读作“圆O”．
要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.
（2）扇形：由一条弧AB 和经过这条弧的端点的两条半径OA，OB 所组成的图形叫做扇形.如下
图：
要点诠释： 扇形OAB 的面积公式：
；扇形OAB 的弧长公式：
.【典型例题】
类型一、线段、射线、直线
1.下列判断错误的有( )
①延长射线OA；②直线比射线长，射线比线段长；③如果线段PA＝PB，则点P 是线段
AB 的中点；④连接两点间的线段，叫做两点间的距离．
A．0 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】D
【解析】①由于射线向一方无限延伸，因此，不能延长射线；②由于直线向两方无限延伸，射线
向一方无限延伸，因此它们都是不能度量的，所以它们不存在相等或不相等的关系，而线段
是可以度量的，可以比较线段的长短；③线段PA＝PB，只有当点P 在线段AB 上时，才是线
段AB 的中点，否则就不是；④两点间的距离是表示大小的量，而线段是图形，二者的本质属
性不同．
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【总结升华】本题考查的是基本概念，要抓住概念间的本质区别．
举一反三：
【变式】平面上有五条直线，则这五条直线最多有_____交点，最少有_____个交点．
【答案】10， 0．
类型二、角
2. (安徽芜湖)如图所示的4×4 正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7 等于(
)
A．330° B．315° C．310° D．320°
【答案】B
【解析】通过网格的特征首先确定∠4＝45°．由图形可知：∠l 与∠7 互余，∠2 与∠6 互余，∠3
与∠5 互余，所以∠l+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝90°+90°+90°+45°＝315°．
【总结升华】互余的两个角只与数量有关，而与位置无关．
举一反三：
【变式】如图所示，AB 和CD 都是直线，∠AOE＝90°，∠3＝∠FOD，∠1＝27°20′，求∠2，
∠3．
【答案】
解：因为∠AOE＝90°，
所以∠2＝90°-∠1＝90°-27°20′＝62°40′．
又∠AOD＝180°-∠1＝152°40′，∠3＝∠FOD．
所以∠3＝
∠AOD＝76°20′．
答：∠2 为62°40′，∠3 为76°20′．
3. (山东潍坊)用A、B、C 分别表示学校、小明家、小红家，已知学校在小明家的南偏东
，小红家在小明家正东，小红家在学校北偏东35°，则∠ACB 等于( )
A．35° B．55° C．60° D．84°
【思路点拨】这是生活中有关方位角问题，解决这类问题，只要分清方向，正确地画出图形，问
题便会迎刃而解．
【答案】B
【解析】根据题意画出图形如下：
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∵∠ACB 与35°的和为90°，∴∠ACB=90°－35°＝
55°．
【总结升华】解决有关方位角问题，只要分清方向，正
确地画出图形，问题便迎刃而解．
举一反三：
【变式】(张家界模拟)考点办公室设在校园中心O 点，带队老师休息室A 位于O 点的北偏东
45°，某考室B 位于O 点南偏东60°，请在图(1)中画出射线OA、OB，并计算∠AOB 的度数．
【答案】
解：如图(2)，以O 为顶点，正北方向线为始边向东旋转45°，得OA；以O 为顶点，正南方向线
为始边向东旋转60°，得OB，则∠AOB＝180°-(45°+60°)＝75°．
4. 如图所示，时钟的时针由3 点整的位置(顺时针方向)转过多少度时，与分针第一次
重合．
【答案与解析】
解：设时针转过的度数为x 时，与分针第一次重合，依题意有
12x＝90+x
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解得
答：时针转过
时，与分针第一次重合．
【总结升华】在相同时间里，分针转过的度数是时针的12 倍，此外此问题可以转化为追及问
题来解决．
类型三、利用数学思想方法解决有关线段或角的计算
1.方程的思想方法
5. 如图所示，B、C 是线段AD 上的两点，且
，AC＝35cm，BD＝44cm，求线
段AD 的长．
【答案与解析】
解：设AB＝x cm，则
或
于是列方程，得
解得：x＝18，即AB＝18(cm)
所以BC＝35-x＝35-18＝17(cm)
(cm)
所以AD＝AB+BC+CD＝18+17+27＝62(cm)
【总结升华】根据题中的线段关系，巧设未知数，列方程求解．
2.分类的思想方法
6. 同一直线上有A、B、C、D 四点，已知AD＝
DB，AC＝
CB，且CD＝4cm，求
AB 的长．
【思路点拨】先根据题意画出图形，再从图上直观的看出各线段的关系及大小．
【答案与解析】
解：利用条件中的AD＝
DB，AC＝
CB，设DB＝9x，CB＝5y，
则AD＝5x，AC＝9y，分类讨论：
（1）当点D，C 均在线段AB 上时，如图所示：
∵ AB＝AD+DB＝14x，AB＝AC+CB＝14y，∴ x＝y
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∵ CD＝AC－AD＝9y－5x＝4x＝4，∴ x＝1，∴ AB＝14x＝14(cm)．
（2）当点D，C 均不在线段AB 上时，如图所示：方法同上，解得
(cm)．
（3）如图所示，当点D 在线段AB 上而点C 不在线段AB 上时，方法同上，解得
(cm)．
（4）如图所示，当点C 在线段AB 上而点D 不在线段AB 上时，方法同上，解得
(cm)．
综上可得：AB 的长为14cm，
cm，
cm．
【总结升华】解决没有图形的题目时，一要注意满足条件下的图形的多样性；二要注意解决的
方法，注意方程法在解决图形问题中的应用. 在正确答案中，(3)与(4)的答案虽然相同，但
作为图形上的差别应了解．
类型四、多边形和圆
7.（1）操作与证明：如图所示，O 是边长为a 的正方形ABCD 的中心，将一块半径足够
长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O 处，并将纸板绕O 点旋转，求证：正方形ABCD
的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a．
（2）尝试与思考：如图a、b 所示，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心角放在边长为a 的正
三角形或边长为a 的正五边形的中心点处，并将纸板绕O 旋转，当扇形纸板的圆心角为
________时，正三角形边被纸板覆盖部分的总长度为定值a；当扇形纸板的圆心角为_______
时，正五边形的边长被纸板覆盖部分的总长度也为定值a．
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D
E
C
B
A
O
(a) (b)
【答案与解析】
解：（1）如图所示，不妨设扇形纸板的两边与正方形的边AB、AD分别交于点M、N，连结
OA、OD．
∵四边形ABCD 是正方形
∴OA＝OD，∠AOD＝90°，∠MAO＝∠NDO＝45°，
又∠MON=90°，∠AOM=∠DON.
∴△AMO 与△DNO 形状完全相同.
∴AM＝DN
∴AM+AN＝DN+AN＝AD＝a
（2）
，所以当扇形纸板的圆心角为120°时，正三角形边被纸板覆盖部分的总长度
为定值a；同理可得，当扇形纸板的圆心角为72°时，正五边形的边长被纸板覆盖部分的总长
度也为定值a．
【总结升华】一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a 的正n 边形的中心O
点处，若将纸板绕O 点旋转，当扇形纸板的圆心角为
时，正n 边形的边被纸板覆盖部分
的总长度为定值a.
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