文档文本内容
《实数和二次根式》全章复习与巩固（基础）
【学习目标】
1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.
2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些
数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.
3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一
一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.
4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.
5.理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.
6.熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.
7.了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、平方根和立方根
类型
项目
平方根
立方根
被开方数
非负数
任意实数
符号表示
a
3 a
性质
一个正数有两个平方根，且互为
相反数；
零的平方根为零；
负数没有平方根；
一个正数有一个正的立方根；
一个负数有一个负的立方根；
零的立方根是零；
第1页 共8页
重要结论
)
0
(
)
0
(
)
0
(
)
(
2
2
a
a
a
a
a
a
a
a
a
3
3
3
3
3
3
)
(
a
a
a
a
a
a
要点二、无理数与实数
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
实数
要点诠释：
（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有
限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．
（2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如
，
等；
②有特殊意义的数，如π；
③有特定结构的数，如0.1010010001…
（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形
式.
2.实数与数轴上的点一 一对应
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与
之对应.
3.实数的三个非负性及性质
在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式：
（1）任何一个实数
的绝对值是非负数，即|
|≥0；
（2）任何一个实数
的平方是非负数，即
2
a ≥0；
（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即
0
a
(
0
a
).
非负数具有以下性质：
（1）非负数有最小值零；
（2）有限个非负数之和仍是非负数；
（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.
4.实数的运算
数
的相反数是－
；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反
数；0 的绝对值是0.
有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、
开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.
5.实数的大小的比较
有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.
法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数
第2页 共8页
大；
法则2．正数大于0，0 大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；
法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.
要点三、二次根式的相关概念和性质
1. 二次根式
形如
(
0)
a a
的式子叫做二次根式，如
1
3,
, 0.02, 0
2
等式子，都叫做二次根式.
要点诠释：二次根式
a 有意义的条件是
0
a
，即只有被开方数
0
a
时，式子
a 才
是二次根式，
a 才有意义.
2.二次根式的性质
（1）
；
（2）
；
（3）
.
要点诠释：（1） 一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a
2
(
)
a
（
0
a
），如
2
2
2
1
1
2
( 2) ;
(
) ;
(
)
3
3
x
x
（
0
x
）.
（2）
2
a 中a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，
2
a 一定有意
义.
（3）化简
2
a 时，先将它化成a ，再根据绝对值的意义来进行化简.
（4）
2
a 与
2
(
)
a
的异同
不同点：
2
a 中a 可以取任何实数，而
2
(
)
a
中的a 必须取非负数；
2
a = a ，
2
(
)
a
=a （
0
a
）.
相同点：被开方数都是非负数，当a 取非负数时，
2
a =
2
(
)
a
.
3. 最简二次根式
（1）被开方数是整数或整式；
（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.
满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如
2
2
2,
,3
,
ab
x
a
b
等都是最简
二次根式.
第3页 共8页
要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式
的指数都小于根指数2.
4.同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.
要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否
相同，再判断.如
2 与8 ，由于8 =2 2 ，2 与8 显然是同类二次根
式.
要点四、二次根式的运算
1. 乘除法
（1）乘除法法则：
类型
法则
逆用法则
二次根式的乘法
(
0,
0)
a
b
ab a
b
积的算术平方根化简公式：
(
0,
0)
ab
a
b a
b
二次根式的除法
(
0,
0)
a
a a
b
b
b
商的算术平方根化简公式：
(
0,
0)
a
a a
b
b
b
要点诠释：
（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如
a b c d
ac bd
.
（2）被开方数
一定是非负数（在分母上时只能为正数）.
如
( 4) ( 9)
4
9
.
2.加减法
将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不
变，即合并同类二次根式.
要点诠释：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二
次根式，最后合并同类二次根式.如
2
3 2
5 2
(1 3
5) 2
2
.
【典型例题】
类型一、有关方根的问题
1、下列命题：①负数没有立方根；②一个实数的算术平方根一定是正数；③一个正数或
负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的算术平方根是这个数本身，那么这个数是1 或
0；⑤如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1 或0 ，其中错误的有（ ）
A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个
【答案】B；
【解析】①负数有立方根；②0 的算术平方根是0；⑤立方根是本身的数有0，±1.
【总结升华】把握平方根和立方根的定义是解题关键.
举一反三：
【变式】下列运算正确的是（ ）
第4页 共8页
A．
4
2
B．
2
3
5
C．3
8
2
D．
| 2 |
2
【答案】C；
2、若102.01
10.1
，则± 1.0201 ＝
若
7160
.0
3670
.0
3
，
542
.1
670
.3
3
，则
___
__________
367
3
【答案】±1.01；7.16；
【解析】102.01 向左移动2 位变成1.0201，它的平方根向左移动1 位，变成1.01，注意符号；
0.3670 向右移动3 位变成367，它的立方根向右移动1 位，变成7.16
【总结升华】一个数向左移动2 位，它的平方根向左移动1 位；一个数向右移动3 位，它的立
方根向右移动1 位.
类型二、与实数有关的问题
3、把下列各数填入相应的集合：
－1、3 、π、－3.14、9 、
2
6
、
2
2
、
7.0 ．
（1）有理数集合｛ ｝；
（2）无理数集合｛ ｝；
（3）正实数集合｛ ｝；
（4）负实数集合｛ ｝．
【思路点拨】首先把能化简的数都化简，然后对照概念填到对应的括号里.
【答案与解析】
（1）有理数集合｛－1、－3.14、9 、
7.0 ｝；
（2）无理数集合｛ 3 、π、
2
6
、
2
2
｝；
（3）正实数集合｛ 3 、π、9 、
2
6
、
7.0 ｝；
（4）负实数集合｛ －1、－3.14、
2
2
｝．
【总结升华】有理数是有限小数和无限循环小数，无理数是无限不循环小数.总结常见的无理
数形式.
举一反三：
【变式】在实数5 ，，3
8
，22
7 ，0.3，其中无理数有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】B；
提示：无理数有5 ，.
4、计算（1）
2
3
3
)
3
2
(
1000
216
（2）
2
3
)
4
5
1(
1
27
26
第5页 共8页
（3）
3
2
)1
3
1
)(
9
5
1(
)
3
1
(
【思路点拨】先逐个化简后，再按照计算法则进行计算.
【答案与解析】
解：（1）
2
3
3
)
3
2
(
1000
216
＝
2
2
6 10
16
3
3
（2）
2
3
)
4
5
1(
1
27
26
＝
2
3
1
1
1
1
1
27
4
3
4
12
（3）
3
2
)1
3
1
)(
9
5
1(
)
3
1
(
＝
3
3
1
4
2
1
8
1
2
1
3
9
3
3
27
3
3
3
.
【总结升华】根据开立方和立方，开平方和平方互逆运算的关系，可以通过立方、平方的方法
去求一个数的立方根、平方根.
举一反三：
【变式】计算(1)
3
3
3
000216
.0
008
.0
1
27
26
(2)
2
2
3
3
2
3
)
3
(
)
2
1
(
)
4
(
)
4
(
2
【答案】
解：(1)
3
3
3
000216
.0
008
.0
1
27
26
3
1
0.2
0.06
27
29
150
(2)
2
2
3
3
2
3
)
3
(
)
2
1
(
)
4
(
)
4
(
2
1
8 4
4
3
4
32 1 3
36
.
5、若
0
,0
ab
a
，化简
3
3
4
a
b
b
a
【思路点拨】由
0
,0
ab
a
判断
＞0，再判断绝对值里的数的正负，由绝对值的定义去掉
绝对值.
第6页 共8页
【答案与解析】
解：∵
0
,0
ab
a
，
∴
＞0，
∴
4 3
0,
3
0
a
b
b
a
∴
4 3
3
a
b
b
a
(
4 3)
(
3)
a
b
b
a
4 3
3
3 3
a
b
b
a
【总结升华】含绝对值号的代数式的化简是重点也是难点.分类的标准应按正实数,负实数,
零分类考虑.掌握好分类标准,不断加强分类讨论的意识.
举一反三：
【变式1】实数
、
在数轴上所对应的点的位置如图所示：
化简
2
a ＋∣
－
∣＝ .
【答案】
解：∵
＜0＜
,
∴
－
＜0
∴
2
a ＋∣
－
∣＝－
－(
－
)＝
－2
.
【变式2】实数a 在数轴上的位置如图所示，则
2
,
1
,
,
a
a
a
a
的大小关系是： ；
0
-1
a
【答案】
2
1
a
a
a
a
；
类型三、二次根式概念与运算
6、 当________时，二次根式
3
x
在实数范围内有意义.
【答案】x ≥3.
【解析】根据二次根式的性质，必须
3
x
≥0 才有意义.
【总结升华】本例考查了二次根式成立的条件，要牢记，只有
0
a
时
a 才是二次根式.
举一反三
【变式】①
2
4
2
x
x
成立的条件是_________.
②
2
2
3
3
x
x
x
x
成立的条件是___________.
【答案】① x ≤0；(
2
4
2
2
x
x
x
x
≤0.)
② 2≤
3
x
.(
2
0,3
0,
x
x
≥
2≤
3
x
)
第7页 共8页
7、化简
2010
2011
( 3
2)
( 3
2)
.
【答案与解析】
【总结升华】本题的求解用到了积的乘方的性质，乘法运算律，平方差公式及根式的性质，是
一道综合运算题型.
8、已知
2
2
3
1,
1 2
x
x
x
x
求
的值.
【答案与解析】
【总结升华】 化简求值时要注意
的取值范围，如果未确定要注意分类讨论.
举一反三
【变式】已知a
b
=-3, ab =1,求
a
b
b
a
的值.
【答案】
解：∵a
b
=-3,ab =1，∴<0
a
, <0
b
.
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