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《图形的相似》全章复习与巩固--知识讲解（基础）
责编：常春芳
【学习目标】
1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段；
2、掌握黄金分割的定义、性质及应用；
3、理解相似三角形、相似多边形、相似比的概念；熟练掌握三角形相似的判定方法以及相似三角形的性
质，并能够运用性质与判定解决有关问题；
4、了解位似的概念，做的位似是特殊的相似变换，会利用位似的方法，讲一个图形放大或缩小；
5、了解平行投影和中心投影的基本概念与性质，能综合运用图形相似的知识解决一些简单的实际问
题.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、比例线段及黄金分割
1. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我
们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
要点诠释：
（1）若a:b=c:d ，则ad=bc；（d 也叫第四比例项）
（2）若a:b=b:c ，则b2=ac（b 称为a、c 的比例中项）．
2.黄金分割的定义：如图，将一条线段AB 分割成大小两条线段AP、PB，若小段与大段的长度之比等于大
段的长度与全长之比，即
AB
AP
AP
PB
（此时线段AP 叫作线段PB、AB 的比例中项），则P 点就是线段AB 的
黄金分割点（黄金点），这种分割就叫黄金分割．
3. 黄金矩形与黄金三角形：
黄金矩形：若矩形的两条邻边长度的比值约为0.618，这种矩形称为黄金矩形.
黄金三角形：顶角为36°的等腰三角形，它的底角为72°，恰好是顶角的2 倍，人们称这种三角形为黄
金三角形．
黄金三角形性质：底角平分线将其腰黄金分割．
要点二、相似图形
1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).
要点诠释：
(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；
(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等.
2.相似多边形
各角分别相等，各边成比例的两个多边形，它们的形状相同，称为相似多边形．
要点诠释：
（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．
（2）相似多边形对应边的比称为相似比.
要点三、相似三角形
1. 相似三角形的判定:
判定方法（一）：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似.
判定方法（二）：两角分别相等的两个三角形相似.
要点诠释：
要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而
言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.
判定方法（三）：两边成比例夹角相等的两个三角形相似.
要点诠释：
此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两
边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.
判定方法（四）：三边成比例的两个三角形相似.
2.相似三角形的性质：
（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；
（2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比；
（3）相似三角形周长的比等于相似比；
（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方.
3.相似多边形的性质：
（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似多边形的周长比等于相似比．
（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．
要点四、图形的位似及投影
1.位似多边形定义:
如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点O，且每组对应点与点O 点的距
离之比都等于一个定值k，例如，如下图，OA′=k·OA（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O
叫做位似中心.
要点诠释：
位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.
2.位似图形的性质:
（1）位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心；
（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.
3. 作位似图形的步骤
第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；
第二步：作位似中心与各关键点连线；
第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；
第四步：顺次连接各对应点.
要点诠释：
位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.
4.平行投影
在平行光的照射下，物体所产生的影称为平行投影.
(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1 所示，在太阳光下，它们的影子一样长.
(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2 所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本
身的长度.
(3)在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.
即：
利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.
注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.
5.中心投影
在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影.
(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1 所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远
的物体它的影子长.
(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2 所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越
远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.
【典型例题】
类型一、比例线段及黄金分割
1. 已知: a:b:c=3:5:7 且2a+3b-c=28, 求3a-2b+c 的值.
【答案与解析】
∵a:b:c=3:5:7
设a=3k, b=5k, c=7k
∵2a+3b-c=28
∴6k+15k-7k=28，∴k=2
∴3a-2b+c=9k-10k+7k=6k=12
【总结升华】题目中已知三个量a,b,c 的比例关系和有关a,b,c 的等式,我们可以利用这个等量关系,通
过设参数k, 转化成关于k 的一元方程,求出k 后,使得问题得解.
举一反三
【变式】如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n 与a、b、c 分别交于点A、C、E、B、D、F，AC＝4，
CE＝6，BD＝3，则BF ＝（ ）
A．7 B．7.5 C．8 D．8.5
【答案】B.
2.以长为2cm 的定线段AB 为边，作正方形ABCD，取AB 的中点P．在BA 的延长线上取点F，使
PF=PD，以AF 为边作正方形AMEF，点M 落在AD 上，如图所示．
（1）试求AM、DM 的长；
（2）点M 是线段AD 的黄金分割点吗？请说明理由．
【答案与解析】（1）在Rt△APD 中，AP=1，AD=2，
由勾股定理知PD=
=
，
∴AM=AF=PF-AP=PD-AP=
-1，
DM=AD-AM=3-
；
（2）∵AM2=（
-1）=6-2
，
AD•DM=2×（3-
）=6-2
，
∴AM2=AD•DM，
所以点M 是线段AD 的黄金分割点．
【总结升华】能够根据已知条件结合勾股定理求得线段的长，能够用黄金分割点的定义进行证明．
类型二、相似三角形
3. 如图所示，在4×4 的正方形方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1 的小正方形的顶点
上．
(1)∠ABC=________，BC=________；
(2)判断△ABC 与△DEF 是否相似，并说明理由.
【答案与解析】
(1)135°，
(2)△ABC 和△DEF 相似(或△ABC∽△DEF).
∵
，
，∴
.
又∵∠ABC=∠DEF=90°+45°=135°，∴△ABC∽△DEF.
【总结升华】根据正方形的性质和格点三角形的特点，从边角方面去探究两三角形有关角的度数和边
的长度，利用两边对应成比例且夹角相等证明两三角形相似．
举一反三：
【变式】下列4×4 的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC 相
似的三角形所在的网格图形是（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】B.
4.（2015•宁夏） 在平行四边形ABCD 中，E 为BC 边上的一点．连结AE．
（1）若AB=AE，求证：∠DAE= D
∠；
（2）若点E 为BC 的中点，连接BD，交AE 于F，求EF：FA 的值．
【答案与解析】
证明：（1）在平行四边形ABCD 中，AD BC
∥
，
AEB= EAD
∴∠
∠
，
AE=AB
∵
，
ABE= AEB
∴∠
∠
，
B= EAD
∴∠
∠
，
B= D
∵∠
∠，
DAE= D
∴∠
∠；
（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，
AD BC
∴
∥
，AD=BC，
BEF
AFD
∴△
△
∽
，
∴
，
E
∵
为BC 的中点，
BE=
∴
BC= AD，
EF
∴
：FA=1：2．
【总结升华】此题考查了相似三角形的判定与性质与平行四边形的性质．熟练掌握平行四边形的性质是解
题的关键．
举一反三
【变式】如图，在平行四边形ABCD 中，E 是CD 上的一点，DE：EC=2：3，连接AE、BE、BD，
且AE、BD 交于点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF=（ ）
A．2：5：25 B．4：9：25 C．2：3：5 D．4：10：25
【答案】D.
5. 如图所示，已知在梯形ABCD 中，AD∥BC，AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，点E，F 分别在线段AD，DC
上(点E 与点A，D 不重合)，且∠BEF=120°，设
，
.
(1)求y 与x 的函数解析式；
(2)当x 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？
【答案与解析】
(1)在梯形ABCD 中，AD∥BC，
AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，所以∠A=∠D=120°，
所以∠AEB+∠ABE=180°-120°=60°.
因为∠BEF=120°，所以∠AEB+∠DEF=180°-120°=60°，
所以∠ABE=∠DEF.
所以△ABE∽△DEF，所以
.
因为
，
，所以
，
所以y 与x 的函数解析式是
.
(2)
，
所以当
时，y 有最大值，最大值为
.
【总结升华】本题考查了等腰梯形的性质，相似三角形的判定和性质，以及二次函数的最值问题.
类型三、图形的位似
6.如图，在平面直角坐标系中，△ABC 和△A′B′C′是以坐标原点O 为位似中心的位似图形，且点B
（3，1），B′（6，2）．
（1）请你根据位似的特征并结合点B 的坐标变化回答下列问题：
①若点A（，3），则A′的坐标为
；
ABC
②△
与△A′B′C′的相似比为
；
（2）若△ABC 的面积为m，求△A′B′C′的面积．（用含m 的代数式表示）
【思路点拨】观察点B 点和B′点的坐标得到位似比，然后根据位似比即能够确定A′的坐标；根据三角形相
似的性质进而求△A′B′C′的面积．
【答案与解析】
解：（1）①∵点B（3，1），B′（6，2），
∴位似比为2，
∴若点A（，3），则A′的坐标（5，6）；
ABC
②△
与△A′B′C′的相似比为1：2；
故答案为（5，6），1：2；
（2）∵△ABC 与△A'B'C'的相似比为1：2
∴
= ，
而△ABC 的面积为m，
A′B′C′
∴△
的面积为4m．
【总结升华】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对
应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．在平面直角坐标系中，如果
位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或﹣k．
类型四、用相似三角形解决问题
7.（2014 秋•怀远县校级期末）身高1.6 米的安心同学在某一时刻测得自己的影长为1.4 米，此刻她
想测量学校旗杆的高度．但当她马上测量旗杆的影长时，发现因旗杆靠近一幢建筑物，影子一部分落在地
面上，一部分落在墙上（如图）．她先测得留在墙上的影子CD=1.2 米，又测地面部分的影长BC=3.5 米，你
能根据上述数据帮安心同学测出旗杆的高度吗？
【思路点拨】此题是实际应用问题，解题的关键是将实际问题转化为数学问题解答；根据在同一时刻物高
与影长成正比例．利用相似三角形的对应边成比例解答即可．
【答案与解析】
解：过点C 作CE AD
∥
交AB 于点E，
AE CD
∵
∥
，EC AD
∥
，
∴四边形AECD 是平行四边形，
AE=CD=1.2
∴
米，
又在平行投影中，同一时刻物长与影长成比例，
∴
，
即BE=3.5×
=4．
AB=AE+EB=1.2+4=5.2
∴
米．
【总结升华】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方
程求解即可，体现了转化的思想．
