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《图形的相似》全章复习与巩固--知识讲解（基础）
【学习目标】
1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段；
2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、对
应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方；
3、探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些
实际问题；
4、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位
似变换后点的坐标的变化；
5、结合相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养推理能力，发展逻辑思维能力
和推理论证的表达能力，以及综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、相似图形及比例线段
1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).
要点诠释：
(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；
(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两
个图形全等；
2.相似多边形
如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．
要点诠释：
（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．
（2）相似多边形对应边的比称为相似比.
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3. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如
a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
要点诠释：
（1）若a:b=c:d ，则ad=bc；（d 也叫第四比例项）
（2）若a:b=b:c ，则
2
b =ac（b 称为a、c 的比例中项）．
要点二、相似三角形
1. 相似三角形的判定:
判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相
似.
判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.
判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两
个三角形相似.
要点诠释：
此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个
角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.
判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两
个三角形相似.
要点诠释：
要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直
角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.
2. 相似三角形的性质：
（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；
（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比；
相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.
(3) 相似三角形周长的比等于相似比；
（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
3.相似多边形的性质：
（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似多边形的周长比等于相似比．
（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．
要点三、位似
1.位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一
点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
2.位似图形的性质:
（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；
（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.
要点诠释：
(1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构
成位似图形.
（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点
为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k.
【典型例题】
类型一、相似图形及比例线段
1. 已知: a:b:c=3:5:7 且2a+3b-c=28, 求3a-2b+c 的值.
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【答案与解析】
∵a:b:c=3:5:7
设a=3k, b=5k, c=7k
∵2a+3b-c=28
∴6k+15k-7k=28，∴k=2
∴3a-2b+c=9k-10k+7k=6k=12
【总结升华】题目中已知三个量a,b,c 的比例关系和有关a,b,c 的等式,我们可以利用这个等
量关系,通过设参数k, 转化成关于k 的一元方程,求出k 后,使得问题得解.
举一反三
【变式】如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n 与a、b、c 分别交于点A、C、E、B、D、F，AC＝4，CE
＝6，BD＝3，则BF ＝（ ）
A．7 B．7.5 C．8 D．8.5
【答案】B.
类型二、相似三角形
2. 如图所示，在4×4 的正方形方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1 的小正
方形的顶点上．
(1)∠ABC=________，BC=________；
(2)判断△ABC 与△DEF 是否相似，并说明理由.
【答案与解析】
(1)135°，
(2)△ABC 和△DEF 相似(或△ABC∽△DEF).
因为
，
，所以
.
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又因为∠ABC=∠DEF=90°+45°=135°，所以△ABC∽△DEF.
【总结升华】根据正方形的性质和格点三角形的特点，从边角方面去探究两三角形有关
角的度数和边的长度，利用两边对应成比例且夹角相等证明两三角形相似．
举一反三：
【变式】下列4×4 的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，
则与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】B.
3. 在正方形ABCD 中，P 是BC 上的点，BP=3PC，Q 是CD 的中点，求证：△ADQ∽△QCP．
【答案与解析】
∵BP=3PC，Q 是CD 的中点，
∴
1
2
CP
CQ
DQ
AD
，
又∵∠ADQ=∠QCP=90°，
∴△ADQ∽△QCP.
【总结升华】本题考查了相似三角形对应角相等的性质，以及相似三角形的判定.
4. 如图所示，在△ABC 和△DBE 中，若
.
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(1)△ABC 与△DBE 的周长差为10 cm，求△ABC 的周长；
(2)△ABC 与△DBE 的面积之和为170 cm2，求△DBE 的面积．
【答案与解析】
(1)∵
，
∴ △ABC∽△DBE.
∴
，设△ABC 的周长为5k cm，△DBE 的周长为3k cm，
∴
，
，
，
∴ △ABC 的周长为
.
(2)∵ △ABC∽△DBE，∴
.
设
，
.
∴
，解得k=5，
∴
.
【总结升华】相似三角形的周长比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方．
举一反三
【变式】如图，在平行四边形ABCD 中，E 是CD 上的一点，DE：EC=2：3，连接AE、BE、BD，且AE、
BD 交于点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF=（ ）.
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A．2：5：25 B．4：9：25 C．2：3：5 D．4：10：25
【答案】D.
5. 如图所示，已知在梯形ABCD 中，AD∥BC，AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，点E，F 分别在
线段AD，DC 上(点E 与点A，D 不重合)，且∠BEF=120°，设
，
.
(1)求y 与x 的函数解析式；
(2)当x 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？
【答案与解析】
(1)在梯形ABCD 中，AD∥BC，
AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，所以∠A=∠D=120°，
所以∠AEB+∠ABE=180°-120°=60°.
因为∠BEF=120°，所以∠AEB+∠DEF=180°-120°=60°，
所以∠ABE=∠DEF.
所以△ABE∽△DEF，所以
.
因为
，
，所以
，
所以y 与x 的函数解析式是
.
(2)
，
所以当
时，y 有最大值，最大值为
.
【总结升华】本题考查了等腰梯形的性质，相似三角形的判定和性质，以及二次函数的最值
问题.
举一反三
【变式】如图所示，在Rt△ABC 中，∠A=90°，AB=8，AC=6．若动点D 从点B 出发，沿线段BA
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运动到点A 为止，运动速度为每秒2 个单位长度．过点D 作DE∥BC 交AC 于点E，设动点D
运动的时间为x 秒，AE 的长为y．
(1)求出y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
(2)当x 为何值时，△BDE 的面积S 有最大值，最大值为多少?
【答案】
(1)因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，
所以
.
又因为AB=8，AC=6，
，
，
所以
，即
，
自变量x 的取值范围为
.
(2)
.
所以当
时，S 有最大值，且最大值为6.
类型三、位似
6. 将下图中的△ABC 作下列变换，画出相应的图形，指出三个顶点的坐标所发生的
变化．
(1)沿y 轴负方向平移1 个单位；
(2)关于x 轴对称；
(3)以C 点为位似中心，放大到1.5 倍．
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【答案与解析】
变换后的图形如下图所示．
(1)将△ABC 沿y 轴负方向平移1 个单位后得到△A1B1C1，
A1(-5，-1)，B1(0，2)，C1(0，-1)．
即横坐标不变，纵坐标减小．
(2)将△ABC 关于x 轴对称后，得△A2B2C2，A2(-5，0)，B2(0，-3)，C2(0，0)．
即横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数．
(3)将△ABC 以C 点为位似中心，放大到1.5 倍得△A3B3C3(有2 个三角形)，
显然，A3(-5×1.5，0)，B3(0，3×1.5)，C3(0，0)，
即A3(-7.5，0)，B3(0，4.5)，C3(0，0),或A3（7.5,0）、B3（0，-4.5）、C3（0,0）.
【总结升华】本题应先按图形变换的要求画出相应的图形，再求出变换后图形的点的坐标，
第(3)问可先求变换后图形的点的坐标，但注意此时的位似中心是原点．
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