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《实数》全章复习与巩固——知识讲解（基础）
责编：杜少波
【学习目标】
1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.
2.理解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求非负数的平方根，会用立方运算求数的立方
根，会用计算器求平方根和立方根.
3.了解无理数和实数的概念，理解实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一
一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.
4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.
5.了解近似数的概念，能按精确度的要求取近似数，能根据近似数的不同形式确定其精确度，
体会近似数在生活中的实际应用.
【知识网络】
【要点梳理】
【高清课堂：389318 实数复习，知识要点】
要点一：平方根和立方根
类型
项目
平方根
立方根
被开方数
非负数
任意实数
符号表示
a
3 a
性质
一个正数有两个平方根，
且互为相反数；
零的平方根为零；
负数没有平方根；
一个正数有一个正的立方根；
一个负数有一个负的立方根；
零的立方根是零；
重要结论
)
0
(
)
0
(
)
0
(
)
(
2
2
a
a
a
a
a
a
a
a
a
3
3
3
3
3
3
)
(
a
a
a
a
a
a
要点二：实数
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
①按定义分：
实数
有理数：有限小数或无限循环小数
无理数：无限不循环小数
②按与0 的大小关系分：
实数0
正有理数
正数
正无理数
负有理数
负数
负无理数
要点诠释：
（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和
无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．
（2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如5 ，3 2 等；②有特殊意义的数，如π； ③
有特定结构的数，如0.1010010001…
（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.
（4）实数和数轴上点是一一对应的.
2.实数与数轴上的点一一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与
之对应.
3.三类具有非负性的实数
在实数范围内，正数和零统称为非负数.我们已经学习过的非负数有如下三种形式：
（1）任何一个实数a 的绝对值是非负数，即|a |≥0；
（2）任何一个实数a 的平方是非负数，即
2
a ≥0；
（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即
0
a
(
0
a
).
非负数具有以下性质：
（1）非负数有最小值——零；
（2）有限个非负数之和仍是非负数；
（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.
4.实数的运算
数a 的相反数是－a ；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反
数；0 的绝对值是0.
有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、
开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.
5.实数的大小的比较
有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.
（1）实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数
大；
（2）正数大于0，0 大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；
（3）两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.
要点三、近似数及精确度
1.近似数
接近准确值而不等于准确值的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.
一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入.
2.精确度
近似数中，四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个
近似数的精确度.
要点诠释：
（1）精确度是指近似数与准确数的接近程度.
（2）精确度一般用“精确到哪一位”的形式的来表示，一般来说精确到哪一位表示误差
绝对值的大小，例如精确到0.1米，说明结果与实际数相差不超过0.05米.
【典型例题】
类型一、平方根和立方根
1、下列命题：①负数没有立方根；②一个实数的算术平方根一定是正数；③一个正数或
负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的算术平方根是这个数本身，那么这个数是1 或
0；⑤如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1 或0 ，其中错误的有（ ）
A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个
【答案】B；
【解析】①负数有立方根；②0 的算术平方根是0；⑤立方根是本身的数有0，±1.
【总结升华】把握平方根和立方根的定义是解题关键.
举一反三：
【变式】下列运算正确的是（ ）
A．
4
2
B．
2
3
5
C．3
8
2
D．
| 2 |
2
【答案】C；
2、若102.01
10.1
，则± 1.0201 ＝
若
7160
.0
3670
.0
3
，
542
.1
670
.3
3
，则
___
__________
367
3
【答案】±1.01；7.16；
【解析】102.01 的小数点向左移动2 位变成1.0201，它的平方根的小数点向左移动1 位，变成
1.01，注意符号；0.3670 的小数点向右移动3 位变成367，它的立方根的小数点向右
移动1 位，变成7.16
【总结升华】一个数的小数点向左移动2 位，它的平方根的小数点向左移动1 位；一个数的小
数点向右移动3 位，它的立方根的小数点向右移动1 位.
类型二、与实数有关的问题
3、计算（1）
2
3
3
)
3
2
(
1000
216
（2）
2
3
)
4
5
1(
1
27
26
（3）
3
2
)1
3
1
)(
9
5
1(
)
3
1
(
【思路点拨】先逐个化简后，再按照计算法则进行运算.
【答案与解析】
解：（1）
2
3
3
)
3
2
(
1000
216
＝
2
2
6 10
16
3
3
（2）
2
3
)
4
5
1(
1
27
26
＝
2
3
1
1
1
1
1
27
4
3
4
12
（3）
3
2
)1
3
1
)(
9
5
1(
)
3
1
(
＝
3
3
1
4
2
1
8
1
2
1
3
9
3
3
27
3
3
3
.
【总结升华】根据开立方和立方，开平方和平方互逆运算的关系，可以通过立方、平方的方法
去求一个数的立方根、平方根.
举一反三：
【变式】（2015 春•北京校级期中）计算：
+
．
【答案】
解：原式=7﹣3+
﹣1+
=13
4 +
．
4、若
0
,0
ab
a
，化简
3
3
4
a
b
b
a
【思路点拨】由
0
,0
ab
a
判断b ＞0，再判断绝对值里的数的正负，由绝对值的定义去掉
绝对值.
【答案与解析】
解：∵
0
,0
ab
a
，
∴b ＞0，
∴
4 3
0,
3
0
a
b
b
a
∴
4 3
3
a
b
b
a
(
4 3)
(
3)
a
b
b
a
4 3
3
3 3
a
b
b
a
【总结升华】含绝对值号的代数式的化简是重点也是难点.分类的标准应按正实数,负实数,
零分类考虑.要掌握好分类标准,不断加强分类讨论的意识.
举一反三：
【变式1】（2016 秋·安徽期末）实数a、b 在数轴上的位置如图所示，则化简
的结果为 .
【答案】
解：∵-1＜a ＜0，1＜b ,
∴a ＋2b ＞0，a －b ＜0，
∴
＝a ＋2b －(－a ＋b )＝b ＋2a .
【高清课堂：389318 实数复习，例5】
【变式2】实数a 在数轴上的位置如图所示，则
2
,
1
,
,
a
a
a
a
的大小关系是： ；
0
-1
a
【答案】
2
1
a
a
a
a
；
类型三、近似数与精确值
5、某工人执行爆破任务时，点燃导火索后往100m 外的安全地带奔跑的速度为7m/s，已
知导火索燃烧的速度为0.11m/s，求：导火索的长度至少多长才能保证安全？（精确到0.1m）
【思路点拨】先算出往100 米外的安全地带奔跑所用时间，再根据导火索燃烧的速度为
0.11m/s，求出导火索的至少长度，最后根据有效数字的表示方法，即可得出答案．
【答案与解析】根据题意，得
导火索的长度至少为：100
7 ×0.11≈1.6（m）；
答：导火索的长度至少1.6m 才能保证安全．
【总结升华】此题考查了列代数式和近似值，关键是读懂题意，列出代数式，再根据近似
值的要求进行用四舍五入法取近似值即可．
6、（新罗区校级月考）用激光技术测得地球和月球之间的距离为377985654.32 米，请
按要求分别取得这个数的近似值．
（1）精确到千位；（2）精确到千万位；（3）精确到亿位．
【思路点拨】（1）首先利用科学记数法表示，然后对千位以后的数位进行四舍五入；
（2）首先利用科学记数法表示，然后对千万位以后的数位进行四舍五入；
（3）首先利用科学记数法表示，然后亿位以后的数位进行四舍五入；
【答案与解析】
解：（1）精确到千位；377985654.32 米≈377986000 米，即3.77986×108米
（2）精确到千万位；377985654.32 米≈380000000 米，即3.8×108米
（3）精确到亿位；377985654.32 米≈400000000 米，即4×108米．
【总结升华】本题考查了近似数，对于用科学记数法表示的数，精确到哪一位是需要识记的内
容，经常会出错．
类型四、实数综合应用
7、现有一面积为150 平方米的正方形鱼池，为了增加养鱼量，欲把鱼池的边长增加6
米，那么扩建鱼池的面积为多少（最后结果精确到0.1）？
【答案与解析】
解：因为原正方形鱼池的面积为150 平方米，根据面积公式，
它的边长为150
12.247
（米）．
由题意可得扩建后的正方形鱼池的边长为（12.247＋6）米，
所以扩建后鱼池的面积为
2
18.247 ≈333.0（平方米）．
答：扩建后的鱼池的面积约为333.0（平方米）．
【总结升华】要求扩建后的鱼池的面积，应先求出其边长，而原鱼池的面积为150 平方米，由
此可得原鱼池的边长，再加上增加的6 米，故新鱼池面积可求．
举一反三：
【变式】一个底为正方形的水池的容积是486
3
m ，池深1.5m ，求这个水池的底边长．
【答案】
解：设水池的底边长为x ，由题意得
2 1.5
486
x
,
2
324
x
,
18
x
.
答：这个水池的底边长为18m .
