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《锐角三角函数》全章复习与巩固--巩固练习（提高）
【巩固练习】
一、选择题
1. 计算tan 60°+2sin 45°－2cos 30°的结果是( )．
A．2 B．
C．
D．1
2．如图所示，△ABC 中，AC＝5，
，
，则△ABC 的面积是( )
A．
B．12 C．14 D．21
3．如图所示，A、B、C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△
，
则tan
的值为( )
A．
B．
C．
D．
第2 题图 第3 题图 第4 题图
4．如图所示，小明要测量河内小岛B 到河边公路的距离，在A 点测得∠BAD＝30°，在C 点测
得∠BCD＝60°，又测得AC＝50 米，那么小岛B 到公路的距离为( )．
A．25 米 B．
米 C．
米 D．
米
5．如图所示，将圆桶中的水倒入一个直径为40 cm，高为55 cm 的圆口容器中，圆桶放置的角度与水平线的
夹角为45°．要使容器中的水面与圆桶相接触，则容器中水的深度至少应为( )．
A．10 cm B．20 cm C．30 cm D．35 cm
6．如图所示，已知坡面的坡度
，则坡角
为( )．
A．15° B．20° C．30° D．45°
第5 题图 第6 题图 第7 题图
7．如图所示，在高为2 m，坡角为30°的楼梯上铺地毯，则地毯的长度至少应为( )．
A．4 m B．6 m C．
m D．
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8．因为
，
，所以
；因为
，
，所以
，由此猜想，推理知：一般地，当
为锐角
时有sin(180°+
)＝-sin
，由此可知：sin240°＝( )．
A．
B．
C．
D．
二、填空题
9．如图，若AC、BD 的延长线交于点E，
，则
= ；
= ．
10．如图，AD⊥CD，AB=10，BC=20，∠A=∠C=30°，则AD 的长为 ；CD 的长为 .
A
B
C
D
E
O
第9 题图 第10 题图 第11 题图
11．如图所示，已知直线
∥
∥
∥
，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点
分别在四条直线上，则
________．
12．如果方程
的两个根分别是Rt△ABC 的两条边，△ABC 最小的角为A，那么tanA 的值
为__ ______．
13. 已知
，则锐角
的取值范围是____ ____．
14. 在△ABC 中，AB＝8，∠ABC＝30°，AC＝5，则BC＝____ ____．
15. 如图，直径为10 的⊙A 经过点C(0,5)和点O (0,0)，B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点,则∠OBC 的余弦值
为 .
第15 题图 第16 题图
16. 如图，等腰梯形ABCD 中，AD∥BC，∠DBC=45°，翻折梯形ABCD，使点B 重合于点D，折痕分别交边AB、BC
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于点F、E，若AD=2，BC=8.则(1)BE 的长为 . (2)∠CDE 的正切值为 .
三、解答题
17．如图所示，以线段AB 为直径的⊙O 交线段AC 于点E，点M 是
的中点，OM 交AC 于点D，
∠BOE＝60°，cos C＝
，BC＝
．
(1)求∠A 的度数；(2)求证：BC 是⊙O 的切线；(3)求MD 的长度．
18. 如图所示，要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路MN，已知C 点周围200 米范围内为原始
森林保护区，在MN 上的点A 处测得C 在A 的北偏东45°方向上，从A 向东走600 米到达B 处，测得C 在
点B 的北偏西60°方向上．
(1)MN 是否穿过原始森林保护区?为什么?(参考数据：
≈1.732)
(2)若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5 天完成，需将原定的工作效率提高25％，则原
计划完成这项工程需要多少天?
19．如图所示，圆O 的直径为5，在圆O 上位于直径AB 的异侧有定点C 和动点P，已知BC:CA＝4:3，点P 在半
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圆弧AB 上运动(不与A、B 重合)，过C 作CP 的垂线CD 交PB 的延长线于D 点．
(1)求证：AC·CD＝PC·BC；
(2)当点P 运动到AB 弧中点时，求CD 的长；
(3)当点P 运动到什么位置时，△PCD 的面积最大？并求这个最大面积S．
20. 如图所示，在Rt△ABC 中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，D，E 分别是边AB，AC 的中点，点P 从点D 出发沿DE
方向运动，过点P 作PQ⊥BC 于Q，过点Q 作QR∥BA 交AC 于R，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设
BQ＝x，QR＝y．
(1)求点D 到BC 的距离DH 的长；
(2)求y 关于x 的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)；
(3)是否存在点P，使△PQR 为等腰三角形?若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理
由．
【答案与解析】
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一、选择题
1.【答案】C；
【解析】tan 60°+2sin 45°－2cos 30°＝
．
2.【答案】A；
【解析】过A 作AD⊥BC 于D，因为
，所以∠B＝45°，所以AD＝BD，因为
，
所以
，∴ BD＝AD＝3，所以
，所以BC＝BD+DC＝7，
.
3.【答案】B；
【解析】旋转后的三角形与原三角形全等，得∠B′＝∠B，然后将∠B 放在以BC 为斜边，直角边在网格线
上的直角三角形中，∠B 的对边为1，邻边为3，tan B′＝tanB＝
．
4.【答案】B；
【解析】依题意知BC＝AC＝50 米，小岛B 到公路的距离，就是过B 作的垂线，即是BE 的长，
在Rt△BCE 中，
，BE＝BC·sin 60°＝50×
(米)，因此选B．
5.【答案】D；
【解析】如图，△ABD 是等腰直角三角形，过A 点作AC⊥BD 于C，则∠ABC＝45°，AC＝BC＝
，则
所求深度为55－20＝35(cm)．
6.【答案】C；
【解析】
，∴
．
7．【答案】D；
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【解析】地毯长度等于两直角边长之和，高为2 m，宽为
(m)，
则地毯的总长至少为
m．
8．【答案】C；
【解析】sin 240°＝sin(180°+60°)＝-sin 60°＝
．
二、填空题
9．【答案】cos∠CEB=
；tan∠CEB=
【解析】如图，连结BC，则∠ACB=90°，易证△ECD∽△EBA，∴
，
cos∠CEB=
tan∠CEB=
第9 题答案图 第10 题答案图
10．【答案】5
+10；10
+5.
【解析】过B 点分别作BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为E、F，则得BF=ED，BE=DF.
∵在Rt△AEB 中，∠A=30°，AB=10，
∴AE=AB·cos30°=10×
=5
，
BE=AB·sin30°=10×
=5.
又∵在Rt△BFC 中，∠C=30°，BC=20，
∴BF=
BC=
×20=10，
CF=BC·cos30°=20×
=10
.
∴AD=AE+ED=5
+10，
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CD=CF+FD=10
+5.
11．【答案】
；
【解析】设AB 边与直线
的交点为E，∵
∥
∥
∥
，且相邻两条平行直线间的距离都是1，
则E 为AB 的中点，在Rt△AED 中，∠ADE＝α，AD＝2AE．设AE＝k，则AD＝2k，
．
∴
．
12．【答案】
或
；
【解析】由
得x1＝1，x2＝3．①当1，3 为直角边时，则tan A＝
；
②当3 为斜边时，则另一直角边为
．∴
．
13．【答案】0＜α≤30°；
【解析】由题意知
，故
≤
，即sin
≤sin 30°，由正弦函数是增函数．
知0＜α≤30°．
14．【答案】
或
；
【解析】因△ABC 的形状不是唯一的，当△ABC 是锐角三角形时，如图所示，作AH⊥BC 于H，
在Rt△ABH 中．AH＝AB·sin∠ABC＝8×sin30°＝4，BH＝
，
在Rt△AHC 中，HC＝
．∴ BC＝
．
当△ABC 是钝角三角形时，如图所示，同上可求得BC＝
．
15．【答案】
3
2 ；
【解析】连接CA 并延长到圆上一点D，
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∵CD 为直径，∴∠COD=∠yOx=90°，
∵直径为10 的⊙A 经过点C（0，5）和点O（0，0），
∴CD=10，CO=5，
∴DO=
，
∵∠B=∠CDO，
∴∠OBC 的余弦值为∠CDO 的余弦值，
∴cos∠OBC=cos∠CDO=
．
16．【答案】（1）BE=5；（2）tan∠CDE=
【解析】（1）由题意得△BFE≌△DFE，∴DE=BE.
又∵在△BDE 中，∠DBE=45°，
∴∠BDE=∠DBE=45°，即DE⊥BC.
∵在等腰梯形ABCD 中，AD=2，BC=8，
∴EC=
(BC-AD)=3，BE=5.
(2)由(1)得DE=BE=5，
在△DEC 中，∠DEC=90°，DE=5，EC=3，
∴tan∠CDE=
=
.
三、解答题
17.【答案与解析】
(1)∵∠BOE＝60°，∴∠A＝
∠BOE＝30°．
(2)在△ABC 中，∵cos C＝
，∴∠C＝60°，
又∵∠A＝30°，∴∠ABC＝90°，∠ABC＝90°，
∴AB⊥BC，∴ BC 是⊙O 的切线．
(3)∵点M 是
的中点，∴OM⊥AE，在Rt△ABC 中，
∵BC＝
，∴AB＝BC tan 60°＝
，∴OA＝
，
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∴OD＝
OA＝
，∴MD＝
．
18.【答案与解析】
(1)过C 点作CH⊥AB 于H．设CH⊥AB．
由已知有∠EAC＝45°，∠FBC＝60°，
则∠CAH＝45°，∠CBA＝30°．
在Rt△ACH 中，AH＝CH＝x，
在Rt△HBC 中，tan∠HBC＝
．
∴
，
∵AH+HB＝AB，∴
，
解得
≈220(米)＞200(米)．
∴ MN 不会穿过森林保护区．
(2)设原计划完成这项工程需要y 天，则实际完成工程需要(y-5)天．
根据题意得：
，解得：y＝25．
经检验知：y＝25 是原方程的根．
答：原计划完成这项工程需要25 天．
19.【答案与解析】
(1)∵AB 为直径，∴∠ACB＝90°．
又∵ PC⊥CD，∴ ∠PCD＝90°．
而∠CAB＝∠CPD，∴△ABC∽△PDC．∴
．
∴AC·CD＝PC·BC．
(2)当点P 运动到AB 弧中点时，过点B 作BE⊥PC 于点E．
∵P 是
中点，∴∠PCB＝45°，CE＝BE＝
．
又∠CAB＝∠CPB，∴tan∠CPB＝tan∠CAB＝
．
∴
．
从而PC＝PE+EC＝
．由(1)得CD＝
．
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(3)当点P 在
上运动时，
．
由(1)可知，CD＝
．
∴
．故PC 最大时，
取得最大值；
而PC 为直径时最大，∴
的最大；
∴
的最大值
．
20.【答案与解析】
(1)∵∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，∴BC＝10．
∵点D 为AB 中点，∴BD＝
AB＝3．∵∠DHB＝∠A＝90°，∠B＝∠B．
∴△BHD∽△BAC，∴
，∴
．
(2)∵QR∥AB，∴△RQC∽△ABC，
∴
，∴
，
即y 关于x 的函数关系式为：
．
(3)存在，分三种情况：
①当PQ＝PR 时，过点P 作PM⊥QR 于M，如图所示，则QM＝RM．
∵∠1+∠2＝90°．∠C+∠2＝90°，∴∠1＝∠C．
∴
，∴
，∴
，
∴
，∴
．
②当PQ＝RQ 时，如图28—46 所示，则有
，∴x＝6．
③当PR＝QR 时，则R 为PQ 中垂线上的点，如图所示．
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于是点R 为EC 的中点，∴
．
∵
，∴
，∴
．
综上所述，当x 为
或6 或
时，△PQR 为等腰三角形．
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