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让更多的孩子得到更好的教育
《旋转》全章复习与巩固（提高）知识讲解
责编：康红梅
【学习目标】
1、 通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋
转中心连线所成的角彼此相等的性质．
2、通过具体实例认识中心对称，探索它的基本性质，理解对应点所连线段被对称中心平分的性质，
了解平行四边形、圆是中心对称图形．
3、 能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，欣赏旋转在现实生活中的应用．
4、探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平移和旋转的组合
进行图案设计．
【知识网络】
【要点梳理】要点一、旋转
1. 旋转的概念：把一个图形绕着某一点O 转动一个角度的图形变换叫做旋转..点O 叫做旋转中
心，转动的角叫做旋转角(如∠AO A′),如果图形上的点A 经过旋转变为点A′，那么，这两个点
叫做这个旋转的对应点.
要点诠释：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.
2.旋转的性质: (1)对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）；
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
(3)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△
).
要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.
3. 旋转的作图: 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键
沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．
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要点诠释：
作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；
(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；
(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；
(4)连接所得到的各对应点.
要点二、特殊的旋转—中心对称
1.中心对称： 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这
两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中
心的对称点．
要点诠释：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；
（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图
形重合 (全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) .
2.中心对称图形： 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重
合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
要点诠释：(1)中心对称图形指的是一个图形；
（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.
要点三、平移、轴对称、旋转
平移、轴对称、旋转之间的对比
平移
轴对称
旋转
相同点
都是全等变换（合同变换），即变换前后的图形全等．
不
同
点
定
义
把一个图形沿某一方向
移动一定距离的图形变
换．
把一个图形沿着某一条直
线折叠的图形变换．
把一个图形绕着某一定
点转动一个角度的图形
变换．
图
形
要
素
平移方向
平移距离
对称轴
旋转中心、旋转方向、旋
转角度
性
质
连接各组对应点的线段
平行（或共线）且相等．
任意一对对应点所连线段
被对称轴垂直平分．
对应点到旋转中心的距
离相等；对应点与旋转中
心所连线段的夹角都等
于旋转角．
对应线段平行（或共线）
且相等．
任意一对对应点所连线段
被对称轴垂直平分．
*对应点到旋转中心的距
离相等；对应点与旋转中
心所连线段的夹角等于
旋转角， 即：对应点与旋
转中心连线所成的角彼
此相等．
【典型例题】
类型一、旋转
1．如图1，ΔACB 与ΔADE 都是等腰直角三角形，∠ACB 和∠ADE 都是直角，点C 在AE 上，如
果ΔACB 经逆时针旋转后能与ΔADE 重合.
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①
请指出其旋转中心与旋转角度；
②用图1 作为基本图形，经过怎样的旋转可以得到图2？
【答案与解析】①旋转中心：点A； 旋转角度：45°（逆时针旋转）
②以点A 为旋转中心，将图1 顺时针（或逆时针）旋转90°三次得到图2.
【总结升华】此类题型要把握好旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.
举一反三：
【变式】如图，在平面直角坐标系中，△ABC 和△DEF 为等边三角形，AB=DE，点B、C、D 在x 轴上，点
A、E、F 在y 轴上，下面判断正确的是（ ）
A．△DEF 是△ABC 绕点O 顺时针旋转90°得到的.
B．△DEF 是△ABC 绕点O 逆时针旋转90°得到的.
C．△DEF 是△ABC 绕点O 顺时针旋转60°得到的.
D．△DEF 是△ABC 绕点O 顺时针旋转120°得到的.
【答案】A.
类型二、中心对称
2. 如图，△ABC 中A(-2，3)，B(-3，1)，C(-1，2)．
⑴将△ABC 向右平移4 个单位长度，画出平移后的△A1B1C1；
⑵画出△ABC 关于x 轴对称的△A2B2C2；
⑶画出△ABC 关于原点O 对称的△A3B3C3；
⑷在△A1B1C1，△A2B2C2，△A3B3C3中，
△______与△______成轴对称，对称轴是______；
△______与△______成中心对称，对称中心的坐标是______．
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【答案与解析】 ⑷△A2B2C2与△A3B3C3成轴对称，对称轴是y 轴．
△A3B3C3与△A1B1C1成中心对称，对称中心的坐标是(2，0)．
【总结升华】注意观察中心对称和旋转对称的关系.
举一反三：
【变式】如图是
正方形网格，请在其中选取一个白色的单位正方形并涂黑，使图中黑色部分是
一个中心对称图形．
【答案】
类型三、平移、轴对称、旋转
【高清课堂:高清ID 号： 388636
关联的位置名称（播放点名称）：经典例题2-3】
3. （2016•日照）如图，在正方形ABCD 中，E、F 是对角线BD 上两点，且∠EAF=45°，将△ADF 绕点
A 顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ，求证：
（1）EA 是∠QED 的平分线；
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（2）EF2=BE2+DF2．
【思路点拨】（1）直接利用旋转的性质得出△AQE≌△AFE（SAS），进而得出∠AEQ=∠AEF，即可得出答
案；
（2）利用（1）中所求，再结合勾股定理得出答案．
【答案与解析】
证明：（1）∵将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°后，得到△ABQ，
∴QB=DF，AQ=AF，∠ABQ=∠ADF=45°，
在△AQE 和△AFE 中
，
∴△AQE≌△AFE（SAS），
∴∠AEQ=∠AEF，
∴EA 是∠QED 的平分线；
（2）由（1）得△AQE≌△AFE，
∴QE=EF，
在Rt△QBE 中，
QB2+BE2=QE2，
则EF2=BE2+DF2．
【总结升华】此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定理等知识，正确得出
△AQE≌△AFE（SAS）是解题关键．
举一反三：
【变式】如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AC=2，AB=
，△ACD 是等边三角形．
（1）求∠ABC 的度数．
（2）以点A 为中心，把△ABD 顺时针旋转60°，画出旋转后的图形．
（3）求BD 的长度．
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【答案】
（1）Rt△ABC 中，AC=2，AB=
,
∴BC=4，
∴∠ABC=30°
（2）如图所示：
（3）连接BE．
由（2）知：△ACE≌△ADB，
∴AE=AB，∠BAE=60°，BD=EC，
∴BE=AE=AB=
，∠EBA=60°，
∴∠EBC=90°，
又BC=2AC=4，
∴Rt△EBC 中，EC=
4.（2015•东西湖区校级模拟）如图，Rt
ABC
△
中，AC=BC，∠ACB=90°，点E 在线段AB 上，
CF CE
⊥
，CE=CF，EF 交AC 于G，连接AF．
（1）填空：线段BE、AF 的数量关系为
，位置关系为
；
（2）当
= 时，求证：
=2；
（3）若当
=n 时，
=
，请直接写出n 的值．
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【思路点拨】（1）在Rt
ABC
△
中，AC=BC，∠ACB=90°，CF CE
⊥
，可推出∠ECB= ACF
∠
，且CE=CF，由此可
得△ECB
FCA
△
≌
，即得BE=AF，∠CBE= CAF
∠
，且∠CBE+ CAB=90°
∠
，故∠CAF+ CAB=90°
∠
，即
BE AF
⊥
；
（2）作GM AB
⊥
于M，GN AF
⊥
于N，可得出GM=GN，从而有S
AEG
△
=2S
AFG
△
，即证
=2；
（3）根据（2）的推理过程，知S
AEG
△
=nS
AFG
△
，则
，即可求得n 的值．
【答案与解析】 （1）解：∵∠ACB=90°，CF CE
⊥
，
ECB= ACF
∴∠
∠
．
又AC=BC，CE=CF，
ECB
FCA
∴△
△
≌
．
BE=AF
∴
，∠CBE= CAF
∠
，
又∠CBE+ CAB=90°
∠
，
CAF+ CAB=90°
∴∠
∠
，
即BE=AF，BE AF
⊥
．
（2）证明：作GM AB
⊥
于M，GN AF
⊥
于N，
ACF
△
∵
可由△BCE 绕点C 顺时针方向旋转90°而得到，
AF=BE
∴
，∠CAF= CBE=45°
∠
．
AE=2AF
∴
，∠CAF= CAB
∠
，
GM=GN
∴
．
S
∴
AEG
△
=2S
AFG
△
，
EG=2GF
∴
，
∴
=2．
（3）解：由（2），得
当
=n 时，S
AEG
△
=nS
AFG
△
，
则
，
∴当n=
时，
=
．
【总结升华】此题综合运用了全等三角形的判定和性质、旋转的性质，能够从特殊推广到一般发现规律．
【高清课堂:高清ID 号：388636
关联的位置名称（播放点名称）：经典例题4-5】
5.已知：点P 是正方形ABCD 内的一点，连结PA、PB、PC，
（1）若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC 的长.
(2)若
，请说明点P 必在对角线AC 上.
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【思路点拨】通过旋转，把PA、PB、PC 或关联的线段集中到同一个三角形，再根据两边的平方和
等于第三边求证直角三角形，可以求解∠APD．
【答案与解析】
(1)∵AB=BC,∠ABC=90°，
∴△CBP 绕点B 逆时针旋转90°，得到△ABE,
∵BC=BA,BP=BE,∠CBP=∠ABE
∴△CBP≌△ABE
∴AE=PC
∵BE=BP,∠PBE=90°，PB=4
∴∠BPE=45°，PE=
又∵∠APB=135°
∴∠APE=90°
∴
即AE=6,
所以PC=6.
(2)由（1）证得：PE=
BP,PC=AE
∵
∴
∴∠PAE=90°
即∠PAB+∠BAE=90°
又∵由（1）证得∠BAE=∠BCP
∴∠PAB+∠BCP=90
又∵∠ABC=90°
∴点A,P,C 三点共线，
即P 必在对角线AC 上.
【总结升华】注意勾股定理及逆定理的灵活运用.
举一反三：
【变式】如图，在四边形ABCD 中，AB=BC，
，K 为AB 上一
点，N 为BC 上一点.若
的周长等于AB 的2 倍，求
的度数.
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【答案】显然，
绕点D 顺时针方向旋转
至
6 如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得它们的斜
边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3 的形状，使点B、C、F、D 在同一条
直线上，且点C 与点F 重合（在图3～图6 中统一用F 表示）
小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决.
⑴将图3 中的△ABF 沿BD 向右平移到图4 的位置，使点B 与点F 重合，请你求出平移的距离；
⑵将图3 中的△ABF 绕点F 顺时针方向旋转30°到图5 的位置，A1F 交DE 于点G，请你求出线段FG
的长度；
⑶将图3 中的△ABF 沿直线AF 翻折到图6 的位置，AB1交DE 于点H，请证明：AH=DH.
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【答案与解析】⑴平移的距离为5cm（即
）
⑵
⑶证明：
在△AHE 与△DHB1中
∴△AHE≌△DHB1（AAS） ∴AH=DH.
【总结升华】注意平移和旋转综合运用时找出不变量是解题的关键.
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