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实数与近似数—知识讲解（提高）
责编：杜少波
【学习目标】
1.了解无理数及实数的意义；
2.了解无理数的概念、实数的分类, 无理线段的作法；
3.了解近似数的概念，能按精确度的要求取近似数，能根据近似数的不同形式确定其精确度；
4.体会近似数在生活中的实际应用.
【要点梳理】
【高清课堂：389317 实数，知识要点】
要点一、有理数与无理数
有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.
要点诠释：
（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成
分数的形式.
（2）常见的无理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数，如：
1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如5 .
（3）注意22
7 是一个有理数，因为它是一个分数，所有的分数都是有理数. 22
7
=3.1428571428571……，切不可因为它的值接近，就说它是无理数.
要点二、实数
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
①按定义分：
实数
有理数：有限小数或无限循环小数
无理数：无限不循环小数
②按与0 的大小关系分：
实数0
正有理数
正数
正无理数
负有理数
负数
负无理数
2.实数与数轴上的点一一对应
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之
对应.
3.无理线段的作法
无理线段可以在数轴上表示出来，一般是把被开方数拆成m2+n2 的形式，例如：①
2
2
5
2
1
，特点是被开方数可化为一个完全平方数+1 的形式；②
2
2
13
2
3
，特
点是被开方数可以化成两个平方数的和的形式；③
2
2
14
3
2
1
，特点是被开方数可
以化成几个平方数的和的形式.
要点三、实数大小的比较
对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.
正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.
要点四、实数的运算
有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.
当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘
方运算，而且正数及0 可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实
数的运算时，有理数的运算法则及运算性质同样适用.
要点五、近似数及精确度
1. 近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长
江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数.
要点诠释：
一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是大于5 还是小于5,4 舍5
入.
2. 精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位
也叫做这个近似数的精确度.
要点诠释：
①精确度是指近似数与准确数的接近程度.
②精确度一般用“精确到哪一位”的形式的来表示，一般来说精确到哪一位表示误差绝
对值的大小，例如精确到0.1米，说明结果与实际数相差不超过0.05米.
【典型例题】
类型一、实数概念
1、把下列各数分别填入相应的集合内：
3 2 ，1
4 ，7 ，π，5
2
，2 ，20
3
，
5
，
3 8
，4
9
，0，0.3737737773……（相邻两
个3 之间7 的个数逐次增加1）
【答案与解析】
有理数有：1
4
，
5
2
，
3 8
，
4
9
，0，
无理数有：3 2 ，
7 ，π，
2 ，
20
3
，
5
， 0.3737737773……
【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.常见的无
理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数，如：0.3737737773……③带有根
号的数，但根号下的数字开方开不尽，如3 2 ，
7 ，
2 ，
20
3 ，
5
.
…
有理数集合
…
无理数集合
举一反三：
【高清课堂：389317 立方根 实数 ，例1】
【变式】判断正误，在后面的括号里对的用 “√”，错的记“×”表示，并说明理由.
(1)无理数都是开方开不尽的数.( )
(2)无理数都是无限小数.( )
(3)无限小数都是无理数.( )
(4)无理数包括正无理数、零、负无理数.( )
(5)不带根号的数都是有理数.( )
(6)带根号的数都是无理数.( )
(7)有理数都是有限小数.( )
(8)实数包括有限小数和无限小数.( )
【答案】
(1)(×)无理数不只是开方开不尽的数，还有π，1.020 020 002…这类的数也是无理数.
(2)(√)无理数是无限不循环小数，是属于无限小数范围内的数.
(3)(×)无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两类数，其中无限不循环小数才
是无理数.
(4)(×)0 是有理数.
(5)(×)如π，虽然不带根号，但它是无限不循环小数，所以是无理数.
(6)(×)如
，虽然带根号，但
＝9，这是有理数.
(7)(×)有理数还包括无限循环小数.
(8)(√)有理数可以用有限小数和无限循环小数表示，无理数是无限不循环小数，所以
实数可以用有限小数和无限小数表示.
类型二、实数大小的比较与运算
2、比较
2010
1
与1949
1
的大小．
【思路点拨】根据a
b
，b
c
，则a
c
来比较两个实数的大小．
【答案与解析】
解：因为
2010
1
2025
1
45 1
44
，1949
1
1849
1
43 1
44
．
所以
2010
1
＜1949
1
.
【总结升华】实数的比较有多种方法，除了上述方法外，还有作差法、作商法、通分子法、倒数
法等.
举一反三：
【高清课堂：389317 立方根 实数，例2】
【变式】已知实数x 、y 、z 在数轴上的对应点如图所示，试化简：
|
|
|
|
|
|
|
|
x
z
x
y
y
z
x
z
x
z
．
【答案】由图可知：
0
x
y
，
0
z
，
0
x
z
．
∴
0
x
y
，
0
y
z
，
0
x
z
，
0
x
z
．
∴
|
|
|
|
|
|
|
|
x
z
x
y
y
z
x
z
x
z
(
)
(
)
(
)
(
)
1
x
z
x
y
y
z
x
z
x
z
．
3、（2016 秋·富顺县校级期中）已知a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，
，求
的值．
【思路点拨】利用相反数，倒数，以及绝对值的定义得到a+b，cd，以及x 的值，代入原式计算
即可得到结果．
【答案与解析】
解：根据题意得：a+b=0，cd=1，x=1 或-1，
则当x=1 时，原式=-2；当x=-1 时，原式=2．
【总结升华】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
举一反三：
【高清课堂：389317 立方根 实数，例3】
【变式】若a 的两个平方根是方程3
2
2
x
y
的一组解．
（1）求a 的值；
（2）求
2
a 的算术平方根．
【答案】
解：（1）∵ a 的平方根是3
2
2
x
y
的一组解，则设a 的平方根为
1a ，
2a ，
则根据题意得：
1
2
1
2
3
2
2,
0,
a
a
a
a
解得
1
2
2,
2.
a
a
∴ a 为
2
( 2)
4
．
（2）∵
2
2
4
16
a
．
∴
2
a 的算术平方根为4．
类型三、近似数及精确度
4、1000 米与1.0×103 米有无区别？请说明理由．
【思路点拨】应考虑两种情况：当这两个数作为准确值时没有区别；但如果是两个近似
值时，精确程度不同．
【答案与解析】当这两个数作为准确值时没有区别；当是两个近似值时有区别，1 000 米
精确到1 米，而1.0×103 米精确到100 米．
【总结升华】本题应分情况讨论,主要考查的是近似数的精确度的概念．
5、体育委员给王磊、赵立两位的身高都记为1.7×102cm，可有的同学说王磊比赵
立高9cm，这种情况可能吗？请说明你的理由．
【思路点拨】根据科学记数法的表示方法，得出两人的身高可能值，进而得出答案.
【答案与解析】
解：有这种可能．理由如下：
∵1.65×102≈1.7×102，1.74×102≈1.7×102，
∴1.74×10 2-1.65×102=9（cm）．
故有可能．
【总结升华】此题考查了科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的近似数，得
出两人身高的可能值是解题关键．
类型四、实数的综合运用
【高清课堂：389317 立方根 实数 ，例4】
6、已知
2
(
2
1)
3
0
a
b
b
，且3
4
c
，求3
3
3
a
b
c
的值．
【答案与解析】
解：∵
2
(
2
1)
3
0
a
b
b
，且
2
(
2
1)
0
a
b
，
3
0
b
．
∴
2
(
2
1)
0,
3
0
a
b
b
且
，即
2
1
0
a
b
，
3
0
b
．
解得 b ＝3，a ＝5，3
4
c
得c ＝64．
∴ 3
3
3
3
3
3
3
5
3
64
216
6
a
b
c
．
【总结升华】本题考查非负性与立方、立方根的综合运用，由
2
1
0
a
b
，
3
0
b
可求a 、
b ，又
3
4
c
，所以c ＝64，则
3
3
3
a
b
c
可求．
举一反三：
【变式】（2015 春•定州市期末）（1）计算：
﹣|
﹣3|+
（2）若
+（3x+y﹣1）2=0，求
的值．
【答案】
解：（1）原式=4﹣3+
+6=7+
；
（2）∵
+（3x+y﹣1）2=0，
∴
，
解得：
，
则原式=
=3．
7、如图所示：在平行四边形ABCO 中，点A、C 的坐标分别是
( 5, 5)
A
，(2 5,0)
C
．
（1）写出点B 的坐标；
（2）将平行四边形ABCO 向左平移5 个单位长度，求所得平行四边形A B C O
四个顶
点的坐标；
（3）求平行四边形ABCO 的面积．
【思路点拨】（1）由C 点坐标可知
2 5
OC
，由于AB＝OC，所以B 点坐标是纵坐标与A 点坐
标相同，横坐标即将A 点坐标右移2 5 ．（2）平行四边形向左平移5 个单位后，四个顶点的
纵坐标不变，横坐标分别减去5 ．（3）平行四边形的面积用OC 为底边，A 点或B 点的纵坐标
为高来求的．
【答案与解析】
解：（1）
(3 5, 5)
B
．
（2）将四个顶点
( 5, 5)
A
、(3 5, 5)
B
、(0,0)
O
、(2 5,0)
C
的横坐标分别减去5
得：
(0, 5)
A
，
(2 5, 5)
B
、
( 5,0)
C
、
(
5,0)
O
．
（3）
|
|
2 5
5
10
A
ABCO
S
OC
y
平行四边形
．
【总结升华】有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用，在实数范围内，加、减、乘、除、乘
方五种运算同有理数一样.
