文档文本内容
实数与近似数—知识讲解（基础）
责编：杜少波
【学习目标】
1.了解无理数及实数的意义；
2.了解无理数的概念、实数的分类, 无理线段的作法；
3.了解近似数的概念，能按精确度的要求取近似数，能根据近似数的不同形式确定其精确度；
4.体会近似数在生活中的实际应用.
【要点梳理】
【高清课堂：389317 实数，知识要点】
要点一、有理数与无理数
有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.
要点诠释：
（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成
分数的形式.
（2）常见的无理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数，如：
1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如5 .
（3）注意22
7 是一个有理数，因为它是一个分数，所有的分数都是有理数. 22
7
=3.1428571428571……，切不可因为它的值接近，就说它是无理数.
要点二、实数
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
①按定义分：
实数
有理数：有限小数或无限循环小数
无理数：无限不循环小数
②按与0 的大小关系分：
实数0
正有理数
正数
正无理数
负有理数
负数
负无理数
2.实数与数轴上的点一一对应
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之
对应.
3.无理线段的作法
无理线段可以在数轴上表示出来，一般是把被开方数拆成m2+n2 的形式，例如：①
2
2
5
2
1
，特点是被开方数可化为一个完全平方数+1 的形式；②
2
2
13
2
3
，特
点是被开方数可以化成两个平方数的和的形式；③
2
2
14
3
2
1
，特点是被开方数可
以化成几个平方数的和的形式.
要点三、实数大小的比较
对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.
正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.
要点四、实数的运算
有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.
当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘
方运算，而且正数及0 可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实
数的运算时，有理数的运算法则及运算性质同样适用.
要点五、近似数及精确度
1. 近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长
江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数.
要点诠释：
一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是大于5 还是小于5,4 舍5
入.
2. 精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位
也叫做这个近似数的精确度.
要点诠释：
①精确度是指近似数与准确数的接近程度.
②精确度一般用“精确到哪一位”的形式的来表示，一般来说精确到哪一位表示误差绝
对值的大小，例如精确到0.1米，说明结果与实际数相差不超过0.05米.
【典型例题】
类型一、实数概念
1、指出下列各数中的有理数和无理数：
3
3
22
2
2,
,
,
9,
8,
9, 0,
, 1
2, 5 5, 0.1010010001......
7
3
【思路点拨】对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据它的最后结果进行
分类，不能仅看到根号表示的数就认为是无理数；π 是无理数，化简后含π 的代数式也是无
理数.
【答案与解析】有理数有
3
22
2
,
9,
8, 0,
,
7
3
无理数有
3
2,
,
9, 1
2, 5 5, 0.1010010001
……
【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.常见的无
理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数，如：0.1010010001…….③带有
根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如5 5 ，
3 9 ，
2 ，1
2
.
举一反三：
【高清课堂： 389318 实数复习 ，巩固练习3】
【变式】下列说法错误的是（ ）
①无限小数一定是无理数； ②无理数一定是无限小数；
③带根号的数一定是无理数；④不带根号的数一定是有理数.
A．①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④
【答案】C；
类型二、实数大小的比较
2、比较
5
2
和0.5 的大小．
【答案与解析】
解：作商，得
5
2
5
0.5
．
因为5
1
，即
5
2
1
0.5
，所以
5
0.5
2
．
【总结升华】若a ，b 均为正数，则由“
1
a
b
，
1
a
b
，
1
a
b
”分别得到结论“ a
b
，a
b
，
a
b
，”从而比较两个实数的大小．比较大小的方法有作差法和作商法等，根据具体情况选
用适当的方法.
举一反三：
【变式】比较大小：
___ 3.14
；
7 ___
5 ； 4 __
2
3
； 2 3 ___ 3 2 ；
3
2
9 ___ 0
－
；
3___
10
； | 4 3 | ___ ( 7)
.
【答案】＜； ＞； ＜； ＜； ＜； ＞； ＜.
类型三、实数的运算
3、化简：
(1)| 2 1.4|
－
； (2)| 7
| 7
4||
－
－
； (3)|1
2|+| 2
3|+| 3
2|
－
－
－
.
【答案与解析】
解：| 2 1.4|
－
2
1.4
；
| 7
| 7
4||
－
－
=| 7
4+ 7|
－
=2 7
4
；
|1
2|+| 2
3|+| 3
2|
－
－
－
2
1
3
2
2
3
1
.
【总结升华】有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.有理数的运算法则及运算
性质同样适用.
举一反三：
【变式】（2015 春•北京校级期中）计算：
．
【答案】解：原式=4+
﹣
﹣
﹣4=﹣
．
4、（2016 春·双城市期末）已知
满足：
，
求
的值．
【思路点拨】根据已知等式，利用非负数的性质求出x，y，z 的值，代入原式计算即可得到结果．
【答案与解析】
解：∵
，
∴
∴
，
解得：
，
则原式=
．
【总结升华】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
举一反三：
【变式】已知
2
(
16)
|
3|
3
0
x
y
z
，求
xyz 的值．
【答案】
解：由已知得
16
0
3
0
3
0
x
y
z
，解得
16
3
3
x
y
z
．
∴
xyz ＝
( 16) ( 3) 3
12
.
类型四、近似数及精确度
【高清课堂：近似数 356850 典型例题1】
5、用四舍五入法，按括号中的要求把下列各数取近似数.
(1)0.0198 (精确到0.001)；
(2)0.34082(精确到千分位)；
(3)64.49 (精确到个位)；
（4）5
3 （精确到0.01）；
【答案与解析】精确到哪一位，应观察它的下一位是进还是舍.
（1）0.0198≈0.020；（2）0.34082≈0.341；（3）64.49≈64；（4）5
3 ≈1.67.
【总结升华】近似数末位的0 不能随便去掉，去掉了就会改变它的精确度.
举一反三：
【变式】用四舍五入法，按括号中的要求把下列各数取近似数.
（1）27.15 万（精确到千位）； （2）12 341 000（精确到万位）.
【答案】（1）27.15 万=271500
5
272 000
2.72 10
或表示为27.2 万；
（2）12 341 000
12 340 000
=
7
1.234 10
.
类型五、近似数与精确数
【高清课堂：近似数 356850 典型例题4】
6、测得某同学的身高约是1.66 米，那么意味着他身高的精确值x 所在范围________．
【答案】1.655≤x＜1.665
【解析】1.66 是由四舍五入得到的数，若通过“入”得到1.66，则最小数应是1.655，若通过
“舍”得到1.66，则最大数不存在，但能判断小于1.665，所以1.655≤x＜1.665.
【总结升华】本类型题目的答案一般形式为：
1
2
a
a
a
， “精确度”是用来说明结果与实
际数误差大小的，如精确到0.01表示结果与实际数值相差不大于0.005.
7、2011 年温州市财政总收入为961088 万元，用四舍五入法取近似值，精确到千
位，并用科学记数法表示其结果是（ ）
A．9.61×103 万元
B．9.61×104 万元
C．9.61×105 万元 D．9.610×104 万元
【思路点拨】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10 的一位整数，n
为整数．确定n 的值是易错点，由于961088 有6 位，所以可以确定n=6-1=5．用科学记
数法表示的数的近似值只与前面的a 有关，与10 的多少次方无关．
【答案】C；
【解答】961088=9.61088×105≈9.61×105．故选C．
【总结升华】此题主要考查了科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的近
似值的确定方法．
