冀教版数学七年级下册教师用书_初高中资料库_初中资料库（转存避免链接过期失效）_初中数学

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敬爱的老师们:
感谢您使用这套教科书!
依据教育部正式颁布的《义务教育数学课程标准(2011年版)》(以下简称《标准
(2011年版)》),配合修订并经教育部基础教育课程教材专家工作委员会审查通过的冀教
版义务教育教科书《数学(七年级下册)》,我们对原教师用书进行了重编,供教师教学中
参考.
  一、教科书修订说明
依据《标准(2011年版)》,我们对本套教科书进行了较大的修订.
1.修订理念.
一套好的教科书的根本特征,应当是具有促进学生全面发展的教育功能.全力把学科
形态的数学课程打造成较好的“促进学生发展的教育形态”的数学课程,是我们这次教材
修订的核心理念.
(1)以“促进学生发展的教育形态”为出发点,修订教材内容,安排知识结构与
体系.
首先,素材选择的着眼点贴近学生的生活实际和已有的数学经验,本着“现实性”的
原则,在相对严谨的情况下,知识的组织更符合学生的认知水平和年龄特征.
其次,努力使教科书的内容呈螺旋式上升,体现数感、符号意识、数学模型、推理意
识、应用意识等核心概念逐步生成的过程.
(2)以“促进学生发展的教育形态”为出发点,构建知识的形成过程.处理好“具体
与抽象”“特殊与一般”“合情推理与演绎推理”“正向与逆向”以及“整体与部分”的关
系,使知识的形成过程成为一个“数学化”的过程,一个“再创造”的过程.
(3)以“促进学生发展的教育形态”为出发点,设置课堂活动过程.创设恰当的问题
情境,向学生提供探究的机会,在教师恰当的组织、引领、合作之下,使学生体验到努力
后的成功和问题解决后的喜悦,使学生的自信心、责任感、实践能力、创新意识和情感态
度的培养目标落在实处.
(4)以“促进学生发展的教育形态”为出发点,把“数学基本思想”渗透到数学内容
中,增强数学知识的生命力.坚持从现实开始,经过探索达到抽象,构建数学模型,进而
验证、推广和应用.
2.教材特色.
本次教科书修订有两个着力点,一是按《标准(2011年版)》的要求,增减知识内容,
调整整体结构、教学方式和学习方式;二是发扬优良的做法,克服缺陷与不足,力争在教
师的“教”和学生的“学”两个方面做到互相兼顾,突出特色,打造亮点.
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(1)整合知识内容,确保数学知识和整体结构的科学性.
按照数学内在的知识结构,适度调整知识展现的先后顺序,对相关内容进行科学、合
理的整合.按照“螺旋上升”的原则,本着“提前体验渗透,适时集中揭示”的原则,对
一些数学知识的呈现进行适度调整,以反映数学知识之间的密切联系.
(2)紧密围绕修订理念,努力渗透“数学基本思想”.
《标准(2011年版)》明确提出了“基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”
四项培养目标,尤其是“数学基本思想”的提出,给教材编写带来了新的发展机遇.在本
次修订中,我们作了认真的梳理,并进行了积极的尝试.
(3)关注学生“基本活动经验”的积累,致力于改进学生的活动方式.
一是围绕数学本质特征,兼顾学生的生活经验和数学知识经验,继续做好“问题情
境”的创设环节.
二是根据学生的认知规律和数学知识内容的需要,灵活组织教材编写内容的展开
方式.
为此,设置了诸如“一起探究”“试着做做” “大家谈谈”等栏目.具体展开方式有:
问题式启发、对比式辨析、示例性引导、反思性总结、讨论式拓展等.
(4)重视教师的组织、引领作用,致力于教学方式的改进和完善.
学生是学习的主体,在学生的学习过程中,教师应发挥好主导作用,组织和引领学生
开展有效的教学活动,取得良好的教学效果.为此,在教科书的修订过程中,根据数学知
识内容的本质属性,我们对有些内容作了较大的修改.如数学概念、运算法则、代数基本
性质、几何基本事实、定理的发现与证明等方面,一般都设计成了教师引领下的学生认知
活动.
3.知识结构和展开方式.
(1)数与代数.
修订后的教科书更加突出和强化“数与式—方程(不等式)—函数”之间的共性和内在
联系,突出它们对数量和数量关系的“表达”和“刻画”的功能,更为明晰地展现了“数
学模型”的形成过程及作用.
“数与代数”的学习,最重要的特征是“水平数学化”的过程,即由“实际问题中的
数量关系”到“数学模型”的过程,其思维形式主要是“抽象”. “数学模型” “抽象”能
力的培养,一是需要典型和适当的“具体”,二是需要恰当的“螺旋上升”.修订中, “数
与代数”内容的呈现方式,就是以创设这种螺旋上升的由“具体”到“抽象”的生成情境
和过程为基本模式的.
(2)图形与几何.
修订后的教科书不再将推理的学习分为“合情推理”与“推理证明”两个阶段,而是
将“合情推理”与“推理证明”两种推理形式,以对图形的“观察” “操作”为基础有机
地融合在一起,以突出和强化“发现和提出问题,分析和解决问题”能力的培养.
“图形与几何”的学习,最主要的特征是认识和把握图形的性质和图形间的关系,其
思维形式是以“观察”为基础的.本套教科书的修订, “图形与几何”内容的呈现方式便
是把“观察”“操作”“猜想到归纳”“概括并说理证明”作为最主要的模式.
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(3)统计与概率.
对原教科书中相关内容进行了整合,由原来的五章内容,调整为三章: “数据的收集
与整理”“数据分析”和“随机事件的概率”.
统计内容的学习,结合大量有价值的实际问题,经历收集数据—整理和表示数据—数
据分析—作出判断这样完整的过程,渗透统计思想,逐步培养学生数理统计分析观念.
(4)综合与实践.
从“课题学习”修订为“综合与实践”,内容变化较大,思维空间更广,研究性学习
的特征更加明显.修订后的教科书中,适当增加了一些“数学活动”的内容.
“综合与实践”内容的展开方式,一般为:情境(问题)—解决方案—启发与引导—问
题解决—反思与交流.“数学活动”一般按“问题—活动”两个环节展开.
  二、对教师的建议
经过十多年的课程改革和教学实践,人们对数学学习、数学教学和学习评价的认识也
在不断的完善和发展,需要老师们进一步的理解和把握,并贯彻落实在教学实践当中.
1.学习方式.
有意义的接受式学习和自主性学习都是学生进行学习的有效方式,二者应当有机结
合,做到和谐统一.
“认真听讲”是一种有效的学习方式.当然,这种学习方式与自主学习方式不能是对
立的,而应是相互关联、相互协调的.
“积极思考”“动手实践” “自主探索”和“合作交流”是学生自主学习的重要方式,
也是大力倡导的学习方式.学生的数学学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的
过程,在这个过程中,应当留给学生足够的时间和空间来经历观察、实验、猜测、计算、
推理和验证等活动,使学生获得直接数学经验.这种直接数学经验的获得,显然只有“认
真听讲”是难以完成的,需要通过自主学习方式的有力支持才能实现.当然,那些形式上
的、无序的、无目的的所谓“自主”也是价值不大的、低效的,甚至是无效的.
2.教学方式.
教学方式,一般说来没有固定的模式,应当根据具体的数学知识、内容、思想和方
法,选择不同的教学方式.教学方式的选择应有利于教与学两个方面共同开展,应有利于
教学活动的有效开展.目前,取得共识和肯定的教学方式有:
(1)“启发式”是我们的优秀教育传统,也是卓有成效的教学方式之一.启发式教学
的显著特征应当是:①激发学生的学习兴趣;②引发学生的数学思考;③培养学生良好的
学习习惯;④帮助学生掌握正确的学习方法.
(2)“面向全体和因材施教”是我国的重要教育思想,也可以说是重要的教学方式.
教学中需要正确处理好二者之间的关系,既要关注全体学生的共同发展,也要关注学生的
个性差异和个体需求,最终实现全体学生的全面发展.
3.学习评价.
评价的根本目的是为了促进学生的发展.学习评价的内容应包含以下三个方面:
(1)“四基目标”评价,应改变以往的以“双基”为主、以应试技能为重点的评价方
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式,在评价“基础知识和基本技能”的同时,关注数学“基本思想和基本活动经验”的评
价,突出“发现和提出问题、分析和解决问题”能力的评价.
(2)过程性评价,是一种重要的评价形式,对于促进学生发展具有十分积极的意义和
作用.过程性评价,包括反馈学习信息、诊断学习问题的评价,激励学生学习积极性的评
价,学生在学习活动中的态度和行为表现的评价,学习状况和教学状况的评价等方面.教
学中应给予高度的重视,认真、及时地进行过程性评价,做好过程性评价.
(3)多样性评价,指的是评价目标多元和评价方式多样双重意义,这是大力倡导的评
价方法和方式.应立足于学生的发展,立足于知识与技能、数学思考、问题解决、情感与
态度四维目标,结合具体的评价内容,确定多角度、多层面、多维度的评价问题.应改变
一张试卷、一次考试下定论的做法,对学生的数学档案袋、数学反思小结、数学调查报
告、数学观察记录、数学小课题等材料的评价,都是开展多样性评价的内容.
  三、关于教师用书
(1)设计.本套教师用书采用了与教科书“套排”的方式进行编写,它既包含相应教
科书的全部内容,也包含教学和使用的建议.
(2)内容.本套教师用书的内容包括:每章教科书内容的设计说明和教学建议,每节
课的教学目标和每课时的教学活动建议,教科书内容的关注点,教科书栏目的注释和要
求,练习题、习题和复习题的答案等.
(3)编写队伍.本套教师用书是由教科书的所有编者共同参与编写的,他们是:杨俊
英、王洁敏、缴志清、程海奎、王佐、徐建乐、苏桂海、李会芳、简友.
教师用书与教科书一样,它的开发和建设需要广大教育工作者的热情关心和大力支
持,特别是需要您的积极参与,希望您能多提宝贵意见和建议,以便我们共同编好这套教
师用书,更好地服务于数学教学.
编 者
2012年12月
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数学!七年级下册
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!!某酒厂有大小两种存酒的木桶!已知!个大桶加上"个小桶可以盛酒
#$升!"个大桶加上!个小桶可以盛酒#%升!那么!"个大桶和"个小桶
分别可盛酒多少升"
观察下面解决问题的过程#
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设"个大桶盛酒"升!则"个小桶
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第六章!!"#$%&'
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一组解!
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组解!一般地!将二元一次方程的一组解记为"!"!
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检验方程两边是否相等!
结合以上两个问题!请你谈谈列$含一个未知数%的方程和列$含两个
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#"*%#!"
"
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)
"
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#
'
'
!!%!分别写出方程%"$##!(%和方程#"*%#!"的四组解!你还能找出
这两个方程的其他解吗& 一个二元一次方程有多少组解&
#!是否有同时满足这两个方程的一组解& 若有!请你指出是哪组解!
由几个方程组成的一组方程叫做方程组!含有两个未知数!并且含有未
知数的项的次数都是(的方程组!叫做二元一次方程组"+,+-./01234.56
.785-304+01-9084:4094+#!二元一次方程组中方程的公共解叫做这个二
元一次方程组的解!
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YZ[ø%”wûF
<ZhZiGH´Å,
D，¥4¸™l‰)ž5
,l‰ghZiGH．
（１）J¹59狓，º»
59 １３（１２－２狓），<GH
9３狓－２３（１２－２狓）＝５．
DÅ狓＝３．¼：¹53３，
»53２．
（２）２狓＋３狔＝１２，
３狓－２狔＝５．
（３）½>．
§¾¿¿
¨™：¸™)ž5,
‰5yz．
£¤：Óü“3GH，
¸™“Z‰)ž5”,GH
PÀâYÄCZi78，
¸™“l‰)ž5”,G
H，3C>æG¤£¤;
]CÆ{．
ZÁ·¸
１．|．２．|．３．狓＝３，
狔＝２．
｛
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛
　　３．“·šÝÝ”，Ó3‡opghZiGH(Ó,D°ƒ，u“/0©Wñ”,YZ[wû
©ÂÃ．$%¯，a´%”ÄfÅ¢，z×，‹GM%T™~,%”，56€üw©áÍÎ
¯{，78€üf%É5%,‚ƒ．
４．“·šÝÝ”(“§¾¿¿”,D,™l‰：Z3YZ[EF“¸™Z‰)ž5”,GH
©“¸™l‰)ž5”,GH,¨™©£¤；g3ø%”'µ2ghZiGHj•yÞÉ/
OÆâÇRS¯,5æG¤．
５．ø%”ÄfÅ¢“ZÁ·¸”，Èa×½Éõö†$2YÄ56．½%”ú¯wû¥4
Z‰ghZiGH,D™¶5j．dUPQµ¶，wûz×¥4l‰ghZiGH,Dʙ
Zj，95ÆghZiGHj(Ó,D,ËÌÝÉAÍ．
·
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１．４－２狓．
２．（４）．
３．（１）．
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Ａ!
１．１；２．
２．（３）．
３．４狓＋５狔＝５２，
１０狓＋３狔＝５４．
｛
!
!
数学!七年级下册
一般地!二元一次方程组记作!!"#"$%!!
#!&!"
"
#
$
$' 的形式!而!$#!
"
"
#
$ $! 是这个
方程组的解#
现阶段!我们只研究含有两个方程的二元一次方程组#
!!%#把方程!!""$(写成用含!的代数式表示"的形式""$
#
!#下列方程中!哪个是二元一次方程#
$%%!"$#&!!!!!!!!!$!%!!!&"$)&
$#%%
!$!&
$(%*!&"$##
##下列方程组中!哪个是二元一次方程组#
$%% !""$#!
!!""$+
"
#
$
&
$!% #$&!%$%!
&"'$!
"
#
$
&
$#% !!$(!
"$(!
"
#
$
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$(% !""$,!
!!&"$(
"
#
$
#
- 组
%#已知二元一次方程!!""$+#当!$#时!"$
"当"$#时!!$
#
!#下列哪组!!"的值是方程组!!""&(,$.!
#!""
"
#
$
&')$.的解#
$%% !$&%#!
"$&!.
"
#
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"
$!% !$&%#!
"$!.
"
#
$
"
$#% !$%#!
"$!.
"
#
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"
$(% !$!.!
"$%#
"
#
$
#
##已知(辆小卡车和'辆大卡车一次能运货'!/!%.辆小卡车和#辆大卡
车一次能运货'(/#设每辆小卡车每次能运货!/!每辆大卡车每次能运
货"/!列二元一次方程组#
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
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第六章!!"#$%&'
!
!
! 组
"!某山区县的林地面积和耕地面积原来共有"#$%&'!该县响应国家"退
耕还林#号召!将一部分耕地恢复为林地后!林地面积增加了()*!耕
地面积减少了+$*!设原有耕地面积为"%&'!林地面积为#%&'!列
二元一次方程组!
'!某两位数!两个数位上的数之和为""!这个两位数加上,(!得到的两位
数恰好等于原两位数的两个数字交换位置所表示的数!求原两位数!
$"%列一元一次方程求解!
$'%设原两位数的十位数字为"!个位数字为#!列二元一次方程组!
$-%检验$"%中求得的结果是否满足$'%中的方程组!
Ｂ!
１．狓＋狔＝１８０，
（１－７０％）狓＋
（１＋５６％）狔＝１８０．
烅烄
烆
２．（１）"#$%&'()狓，
*+$%&'()（１１－
狓），,-./１０（１１－狓）＋
狓＋４５＝１０狓＋（１１－狓）．0
/狓＝８．1#2$'3
３８．
（２）狓＋狔＝１１，
１０狓＋狔＋４５＝
１０狔＋狓．
烅烄
烆
（３）45．
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛
　　
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１．%D&>?Dgh
ZiGHj,Gr，•Ï
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（１）ÁGH①Ò¡ƒ
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（２）Óü“;],3
“45”．
（３）=ýGH③†①，
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（４）"#Z‰GH，Á
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)ž5;]，=ýŽZ‰
GH¯，9ZhZiG
H，´Å¢D，ôƎZ
‰)ž5,D．
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数学!七年级下册
!!解二元一次方程组的基本方法是!通过"消元#$将二元一次方程组
化为一元一次方程来求解!怎样进行"消元#呢%
!!对于!鸡兔同笼"问题#上有三十五头$下有九十四足$问鸡兔各
几何%&' 列一元一次方程!!!!!!!!!列二元一次方程组
设鸡有"只!根据题意列方
程!得
!!!!""#"$%&"#'(#!!
"
解这个一元一次方程!得
"'!$!
从而!得
$%&!$')!!
即鸡有!$只!兔子有)!只!
!
设鸡有"只!兔子有#只!根
据题意!可得方程组
!!
""#'$%!
!""##'(#
#
$
%
!
!
"
由!!得
!!#'$%&"!
#
将#代入"!得
!!!""#"$%&"#'(#!
$
#)&由方程组""#'$%$
!""##
#
$
%
'(#是怎样得出方程$的%
#!&说明方程$和方程
"
完全相同的理由!
#$&你会解方程$吗% 由$解出"的值以后$怎样求出#的相应的值%
##&从中你能体会到怎样解二元一次方程组吗%
例"!求二元一次方程组
#'"&*$
""!#
#
$
%
'(
!
"
的解!
解'将!代入"$得
""!#"&*&'(!
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
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ghZiGHj,Dr，ÓÊՕ,ÔÕ，Ö×ZØ,HÙ，EtÚÛ/YĽGK8
ÜìÅD．?a,3DghZiGHj,W@Gr，ܑh、’．1l，$%¯‹ØƀÜl
@：!Z，ÝJZ[,RS²³(ÞJô$,ߦ，ëì•^:%”dU/0、¬È、Wñ(
’àËc，^|(áoƑh、’,WXGr；!g，ø%”dUâïPó，wû‘hr,
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+§ãÐ３‰ã×，‹Á“‘h、’”,W@Gr©ªtä．
１．uÊ!Zãׯ,“ZÁ·¸”，‹[íî%”3Ð,·¸×±(÷±，ëì•F%”
ÄfÅ¢，½%”'墯,æ%．‡YÄ$%×，nì4—Æ4q‰RSå%”Wñ：
（１）€lÇ<GH,Gr，Óü,½z@©yz@“™çk？
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第六章!!"#$%&'
!
!
解这个一元一次方程!得
!!""
将!!"代入!!得
#!#"
所以!原方程组的解为
!!"!
#!#
"
#
$
"
将方程组中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示出
来!代入另一个方程中!消去一个未知数!得到一元一次方程!通过解一元
一次方程!求得二元一次方程组的解"这种解方程组的方法叫做代入消元
法"$%&'&()*&+(,-./,.*&*/*&+(#!简称代入法"
求二元一次方程组的解的过程叫做解二元一次方程组"
解二元一次方程组
!!!!!!!!!!!!
!0#!#1!
!23#!4
"
#
$
"
!
"
方程!可变形为
!!!!!!!!!!!!!!#12#"
#
将#代入"!得
#12#23#!4"
解这个方程!得
#!3"
将#!3代入#!得
!!5"
所以!原方程组的解为
!!5!
#!3
"
#
$
"
观察上面的解题过程!你还有其他的解法吗$ 请你试一试!并把你的想
法和同学们进行交流"
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=ýr，Z„3ÁG
Hj¯¤5È9NO,Z
‰GHÒ¡ƒ=ýŽZ‰
GH，<á‘h,D,．
+SVì4ÁGH②
Ò¡9狓＝２狔＋４，Ã=ý
GH①´D．
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛
　　（２）GH①、②¯zZ‰)ž5;],3zZ‰5æè？Óü©GH™éÜ,£¤？
（３）FGH①、②ÅáGH④72,Gr3êë，9êëì4€ÜÝ？
２．uÊe１，$2‹oô“ZÁ·¸”，Ò_ghZiGHjDr,:+WX：ÁDghZ
iGHj9DZhZiGH．€Ç,Gr¼3“‘h”．
３．uÊ“§¾¿¿”，%”,EFì•yá0，KìyZí，V앙¥,Dr（îT$P
,%”Vì•2“þÿ‘hr”），ž€kWñUH“3™ï,，$2‹GM%”,ïðWñ
&z¯DMRS,ßà(Gr．
４．uÊDghZiGHj,:+Wñ，˜ø%”¿ï´,òr，&f*õö，óƒ$2
Ãáo．
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（１）狓＝２，
狔＝１；
｛
（２）狓＝６，
狔＝－３．
｛
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Ａ!
（１）狓＝－１，
狔＝１；
｛
（２）狓＝７，
狔＝２；
｛
（３）狓＝－２，
狔＝－７２；
烅烄
烆
（４）狓＝２，
狔＝１．
｛
Ｂ!
１．（１）狓＝２，
狔＝－１；
｛
（２）犿＝３，
狀＝２．
｛
２．２狓＋３狔＝２６，
狓＋狔＝１１．
｛
6：78&9:3７;／
<=，>&9:3４;／
<=．
!
!
数学!七年级下册
!!用代入消元法解下列方程组!
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%"&#!"'
"
#
$
%!!!!!!"## ("$!"#)$
#"&%!"%
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! 解下列方程组!
"!# !""&#$
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"$#!",$
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"(# #"$!"%$
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$
#
- 组
!#解下列方程组!
"!# ("&%!",$
"$#!"(
"
#
$
%!!!!
"## #$$%"($
#$&%%"!#
"
#
$
#
##大刚和小亮到同一家超市购买水果#大刚买了#./苹果和%./梨$共
花了#+元%小亮买了!./苹果和!./梨$共花了!!元0设苹果和梨的
价格分别为"元&千克和!元&千克$请你列出方程组$并求出苹果和梨
的价格#
下面$我们进一步学习代入消元法#
例"!解方程组
%"&!1!"!($
!1"&!,!"%#
"
#
$
#
!
"
解!由方程!$得
%""!($!1!$
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
'(,-
Z„&{，bKZ‰ghZiGHj“ì42=ý‘hr´D．+ãã32=ý‘hr
DghZiGHj,AB(^_（¤5½u*+Zk），D,3ø%”ÂÃ(ÏÎ>?€Ç
Dr，z×，Vô]šþÿ‘hrÜÁst．
１．uÊ+ã,l‰eS，‹õ˜ø%”{ÄfÅ¢．‡€‰UH¯，ì—ƍ<RS：
（１）Á¢¯Z‰GHÒ¡，2¸狔,=56;]狓，†2¸狓,=56;]狔，op3é
Ü,？（２）Á狓†狔,;<6=ýŽZ‰GH¯，ÅáZ‰êëÜ,ZhZiGH？
（３）€‰ZhZiGH,D3êë，GHj,D3êë？
uÊ%”«Çyz,Dr，F%”ï´³§¾_]&vD，9:¢€%”YÄ@h，$
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第六章!!"#$%&'
!
!
!!"#$"%"
&
#
!
将!代入"!整理!得
"#%$''"!()#
解这个一元一次方程!得
"!#
'#
将"!#
'代入!!得
!!*#
所以!原方程组的解为
!!*!
"!#
'
"
#
$
#
例"!解方程组
+!,#"$"%!%!
#!,*"$'!%
"
#
$
#
#
"
解"原方程组可化为
+!,#"!"%!
#!,*"!'
"
#
$
#
!
$
由方程$!得
"!'$#!
*
#
%
将%代入!!整理!得
"%$!!"%#
解得
!!%#
将!!%代入%!得
"!'
*#
所以!原方程组的解为
!!%!
"!'
*
"
#
$
#
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛
2‹uöZÇDrí,÷Ø，y[°øî4ùú．
２．uÊ“§¾¿¿”，‹[F%”YÄáo，&3Ðõö，a½%”EFá：uÊöZ‰g
hZiGHj，¦p2=ý‘hr{D，“ì4™ûÇyz,¡6（l‰GH"¢Z，l‰)
ž5"¢Z）．9Cÿ­*+,K8，Z„"#ÈNO,GH†Z‰)ž5,NO;<¡6，
€¼üauö‰GH«)ž5,¤5²!1¬ÈÐÑ，&¾¿ï´,EFYÄ"#．
‡%”,õöUH¯，$2‹š?56%”EF“‘h”“’”,W@Gr．
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“”，,ýr3“=
ý‘h”，Ü“’”．
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（１）狓＝１，
狔＝１；
｛
（２）狓＝１，
狔＝５．
｛
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１．（１）狓＝２，
狔＝５；
｛
（２）狓＝１２，
狔＝－２；
烅烄
烆
（３）犪＝５，
犫＝３；
｛
（４）犿＝１，
狀＝－１．
｛
２．３５．
ZÁ·¸
１．l‰GH¯)ž5
狔,¤5É9½f5．
!"
!
数学!七年级下册
!!结合下列实例和图示!说一说怎样运用"代入消元法#解二元一次方
程组!二元一次
方程组! "!"#$#!
"$%#
"
#
$
!&
"!'!
#
"
#
$ !%
! !!
%
&
&
&转化
!!!! 代入
%
&
&
&消元
!!!!!!!!!!!!!!!! '
&
&
&得解
一元一次
!方程
$"#$#%$%#!&
(
)))求解
#!%
(
)))
代入
"!"#$#
(
)求解
"!'
!!用代入消元法解下列方程组&
$"% (")%#!*!
+"$*#!"
"
#
$
'!!!!!!$%% *")%#!"*!
'")(#!%(
"
#
$
!
"!解下列方程组!
""# ,"$(#!$"$
&"$*#!$",
"
#
$
%!!!
"%# "#")(#)"!#$
&")*#)'!#
"
#
$
%
"(# ($!*%$
%$$(%!"
"
#
$
%!!!!
"&# (&$*'!'$
+&)*'$"!#
"
#
$
!
%!一个两位数$十位上的数与个位上的数之和是'$个位数字与十位数字
交换后所得新数比原数大"'!求这个两位数!
除了可以运用代入法解二元一次方程组外!还有其他方法解二元一次方
程组吗(
"!观察二元一次方程组
*")(#!"+!
%"$(#
"
#
$
!$%
!
"
中未知数的系数!有什么特点(
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
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uÊ“þÿ‘hr”,5ý，þì42ãä,ø%ýr£¤_s，Vì4ueS¯GHj
˜2“=ý‘hr”´D（ªÿ,Dr），ÐѤ5ƒÃz´ŽmDr（ª!,Dr），nì4Ž
mj"eSYÄ´D．á°，‹¾¿%”,PQ²!($2,$%ϵ，#Íj"$%．þÿ
‘hr(=ý‘hrZÜ，“3DghZiGHj,Gr．uÊZ‰vw,ghZiGH
j，¸$"#çÇGr´DÈÉ，‹vwRSvwÐÑ，y%OKÒ_．
１．uÊ“ZÁ·¸”¯,GHj，˜ø%”·¸€l‰GH¤5,@，óƒ—ÆRS：
GH①¯)ž5狔,¤53＋３，GH②¯)ž5狔,¤53－３，•s¾¿€Z@，ÏU
Ò¡，P|‘h，ÅáZ‰ZhZiGH？ø%”ÄfWñ、_s&'，óƒÖï´,XrW
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２１
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第六章!!"#$%&'
!!
!
!!根据你发现的特点!试解这个方程组!
小亮的思路"代入消元#!!!!!!!!小红的思路!!
由!!得
""#!#$!!
"
将"代入#可消去未知数"!
得
%#$!#$!#&'!
$
解一元一次方程$!求出#的
值后再代入#!得到方程组的
解为
##!!
"#!
"
#
$
!
!!
两个方程中未知数"的系
数互为相反数!将方程#"
!左右两端分别相加!可
消去未知数"!得
%#$!##&'(!! %
解一元一次方程%!求出
#的值后再代入#!得到
方程组的解为
##!!
"#!
"
#
$
!
!!"!小亮和小红采用不同的方法!都先消去了未知数"!他们的解题依
据是什么$
下面!我们按照小红的思路解方程组!
例"!解方程组
%#$""#&'!
!#(""#(!
"
#
$
!
#
!
解%#$!!得
)##&*!
##!!
把##!代入#!得
&+$""#&'!
"#!!
所以!原方程组的解为
##!!
"#!
"
#
$
!
当两个方程中同一个未知数的系数互为相反数或相等时!采用将两个方
程左右两边分别相加"或相减#的方法&消元'较简便!
　　２．|．
３．l‰GH¯zZ‰
)ž5;],3zZ‰5
æ，4†>6,À．
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛
　　２．‹F%”˜ÄfÅ¢“ÝZÝ”,-.，½%”YZ[wû：[l‰GH¯zZ‰)ž
5,¤5É9½f5†½>×，(2Ál‰GH)*l…Й½þ（†½ÿ）,Gr“‘h”
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３．uÊe５，‹56%”·ð：¦p+X2âŠ,Gr{D，¾¿GH,ÀÝéÜ,Ò
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ÁGH３狓＋２狔＝７
ÿ W３狓＋狔＝５，ì Å
狓＝１，
狔＝２．
｛
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１．oôPe©•]，
2”Ÿz’àáoDgh
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２．MK/0l‰GH
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数学!七年级下册
!!解方程组
!!"#"$%!
!!""$&
"
#
$
#
!
两个未知数的
系数既不相等!也
不互为相反数!怎
么办"
例#!解方程组
!!
&!"'"$%!!!!!!
#!"!"$(#
"
#
$
"
解"")#!得
(!"'"$*#
#
!+#!得
!$+,#
把!$+,代入"!得
+#"!"$(!
"$##
所以!原方程组的解为
!$+,!
"$#
"
#
$
#
将二元一次方程组中两个方程相加#或相减!或进行适当变形后再加
减$!消去一个未知数!得到一元一次方程#通过求解一元一次方程!再求
得二元一次方程组的解#这种解方程组的方法叫做加减消元法#-./0/123/41
56277/3/41489:5382;3/41$!简称加减法<
结合下列图示!谈一谈用加减消元法解二元一次方程组的基本过程是怎
样的!解方程组时应注意哪些事项#
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
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第六章!!"#$%&'
!"
!
二元一次
方程组! !!"#"$%&!
'!(#"
"
#
$
$('
!$'!
"
"
#
$ $'
! %
&转化!!!%
&加减消元!!!!!!!!!!
'
&得解
一元一次
!方程
! )!$%*!!!!!!!!!!!
!"$'
%
&
!
!!!!
%
&
&
&求解
!!!!!!!!!!!!
'
&
&
&求解
一元一次
方程的解!!!$'
(
)))))))))))
代入
!+'"#"$%&
!!%#用加减消元法解下列方程组"
#%$ !""$!!
!("$#
"
#
$
%!!!!!!!!#'$ $(%$%!
'$"#%$)
"
#
$
#
'#用加减消元法解下列方程组"
#%$ )!('"$#!
,!"'"$(%,
"
#
$
%!!!!
#'$ !"'""'$-!
)!(*""*%$-
"
#
$
#
. 组
%#用加减消元法解下列方程组!
"%# '!""$#$
#!("$)
"
#
$
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"
#
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"
#
$
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'""
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!("$%'
"
#
$
#
'#若方程&!"'"$%-的两组解是!$&$
"
"
#
$ $(*和!$'$
"$'
"
#
$
$试求&$'的值#
/ 组
%#解下列方程组!
"%# !!(&"$,$
)!(*"$(!
"
#
$
%
"'# #"!(%#$""!$
!""(%#$#"!"!#
"
#
$
#
'#一个两位数$十位上的数与个位上的数之和是)$如果把这个两位数加
上,$所得的两位数的个位数字&十位数字恰好分别是原来两位数的十
位数字和个位数字#求这个两位数#
Î T
１．（１）狓＝４，
狔＝１；
｛
（２）犿＝２，
狀＝１．
｛
２．（１）狓＝－１，
狔＝－５；
｛
（２）狓＝－５，
狔＝３２．
烅烄
烆
T S
Ａ!
１．（１）狓＝２，
狔＝－１；
｛
（２）狓＝１０，
狔＝－１；
｛
（３）狓＝２，
狔＝１；
｛
（４）狓＝７８５，
狔＝１８５．
烅
烄
烆
２．犪＝３，犫＝２．
Ｂ!
１．（１）狓＝－３，
狔＝－４；
｛
（２）狓＝５，
狔＝７．
｛
２．３４．
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛
　　
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'()*
１．dUPQRS，½
%”'µghZiGHj
,‹2i，þ0%”u
5%IJ,EF，,Ò5
%,‹2KF．
２．dUÁPQRS¯
,5æG¤Â9ghZ
iGHj，wû5%,
UH，—˜ÐÑRS(D
MRS,•–．
３．12%”,·ðŠ
‹(ô1KF．
ZÁ·¸
１．§3,455ÿ１
>ʪ3,455þ１．
§3,455þ１
>ʪ3,455ÿ１
ƒ,２6．
２．狓－１＝狔＋１，
狓＋１＝２（狔－１）．
｛
!"
!
数学!七年级下册
!!我们已经学习了二元一次方程组及其解法!现在!利用二元一次方
程组来解决一些实际问题!
!!大马和小马驮着货物在途中有一段对话!如下图!
!!!"#$
%&'()*+,-!./
012 3456().7894/:!;
!!<"#$
%'=>,-!.?2;
!!!"#$
%@ABC2 DE-,'
!.F '().78G-)#H:!;
根据大马和小马的对话!你能求出大马和小马各驮了几包货物吗"
!!大马的两句话!说出了两个等量关系!这两个等量关系是什么"
"!如果设大马驮物"包!小马驮物#包!那么列出的二元一次方程组
是怎样的"
#!请你试着解出"中所列的二元一次方程组!并和同学们进行交流!
小明的解答过程如下#
解"因为
大马驮物包数$!%小马驮物包数&!!
大马驮物包数&!%#小马驮物包数$!$'"!
所以!若设大马驮物"包!小马驮物#包!则有
"$!%#&!!
"&!%"##$!$
"
#
$
!
整理!得
"$#%"!
"$"#%$#
"
#
$
!
!
"
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
'(,-
2ghZiGHjDMPQRS3Z‰5%,UH．‡€‰UH¯，`a7ã3ÁP
QRS²³¯,5æG¤ÚÛÆ{，2ghZiGHj;]，G87ã3)fRS¯,5æ
G¤．$%¯，‹?@GMRS¯5æG¤,ÐÑUH．2ghZiGHjDMPQRS，Z
„‹Ö׍<Wñ{_s：PQRS—9ä—9:;Ç,5æG¤—2)ž5;]>
æG¤—<ÆGH—´DGH—1¼．
１．uÊ“§(ª34”,RS，!Z;Ž<¸CZ‰>æG¤，¢¯‹MK“=ÿ１”
(“=þ１”，y•Êÿyþ†Êþyÿ．!q;Ž><¸šŽZ‰>æG¤，¢¯‹MK“=
þ１”(“=3=,２6”．
２．uÊe１，Vì4ø%”ÄfWñ，&֍Š,W@?iYÄ：
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第六章!!"#$%&'
!"
!
!!"!得
!"#"!
!
你与小明的解
答一样吗"
将!"#代入!!得
!!!!!!!!!#"$"
所以!方程组的解为
#"$!
!"#
"
#
$
"!
!!答#大马驮物$包!小马驮物#包"
例!!化肥厂往某地区发运了两批化肥!第一批装满了%节火车车厢和&#辆
卡车!共运走了'()*"第二批装满了+&节火车车厢和+)辆卡车!共
运走了$')*"平均每节火车车厢和每辆卡车分别装运化肥多少吨#
分析$本题中的等量关系是$
第一批!%节火车车厢运货吨数,&#辆卡车运货吨数"'()"
第二批!+&节火车车厢运货吨数,+)辆卡车运货吨数"$')"
解$设平均每节火车车厢装运化肥#*!每辆卡车装运化肥!*"
根据题意!得
%#,&#!"'()!
+&#,+)!"$')
"
#
$
"
解这个方程组!得
#"')!
!"(
"
#
$
"
答$平均每节火车车厢装运化肥')*!每辆卡车装运化肥(*"
!!某车间有工人'')名!生产甲%乙两种零件"已知每人每天平均生产甲
种零件+(个或乙种零件&)个!+个甲种零件与&个乙种零件为一套"如何
调配人员可使每天生产的两种零件刚好配套#
&+'找出本题中的等量关系"
&&'适当设未知数!列出方程组"
&-'解这个方程组!并回答上面提出的问题"
ÝZÝ
（１）”@¹ÇA.,
B5＋”@»ÇA.,B
5＝６６０；¹ Ç A . , ‰
5×２＝»ÇA.,‰5．
（２）J”@¹ÇA.
,CB™狓D，”@»Ç
A.,CB™狔D，<G
Hj9狓＋狔＝６６０，
２×（１４狓）＝２０狔．
｛
（３）DÅ狓＝２７５，
狔＝３８５．
｛
¼：”@¹ÇA.,CB
™２７５D，”@»ÇA.
,CB™３８５D．
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛
　　（１）uRSYÄEFWñ；
（２）2ä—9:;ÇRS¯,>æG¤；
（３）J)ž5，2ghZiGHj;]ƀk>æG¤．
３．uÊ´Æ,ghZiGHj,D，‹¾¿PQRSGµ¢ô%，ÃÅÆHRS,
¼I．
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¿ï´,â„ϵ¿E
F，€3%EF¡¢(
^_,?aßà．
Î T
１．"?@AB狓C，?D
AB狔C，*
狓＋４＝狔－４，
狓＋狔＋６＝３（狔－狓）．
｛
0/狓＝５，
狔＝１３．
｛
6：E．
２．"FGHI)狓ｋｍ／ｈ，
JK L F M & H I )
狔ｋｍ／ｈ，*
３（狓＋狔）＝４５，
５（狔－狓）＝６５．
｛
0/狓＝１，
狔＝１４．
｛
6：E．
T S
Ａ!
１．"NOPQRFSTU
VWXYZ[)狓ｍ３，
狔ｍ３，*
!"
!
数学!七年级下册
!!根据你的经验!写出用二元一次方程组解决实际问题的步骤!并与同学
们交流!
!!!!小华"年后的年龄与小丽"年前的年龄相等!#年后!她们两人的
年龄和等于她们年龄差的#倍!求小华和小丽今年的年龄!
$!一艘船在某河道上航行!已知顺水航行"%&'需要#(!逆水航行
)%&'需要%(!该船在静水中的速度与该河的水流速度分别是多少"
* 组
!!我国是水资源相对缺乏的国家之一!水资源的人均占有量比世界人均占
有量少))++'#!仅是世界人均占有量的!
"!分别求我国和世界水资源
的人均占有量!
$!去年春季!蔬菜种植场在!%公顷的大棚地里分别种植了茄子和西红柿!
总费用是$)%+++元!其中!种植茄子每公顷的费用是!,+++元!种植
西红柿每公顷的费用是!-+++元!已知每公顷茄子可获利$"+++元!每
公顷西红柿可获利$)+++元!茄子和西红柿的种植面积各为多少公顷"
种植场在这一季共获利多少元"
. 组
!!某次知识竞赛共出了$%道题!评分标准如下#答对!题加"分!答错
!题扣!分!不答记+分!已知李刚不答的题比答错的题多$道!他的
总分为,"分!他答对$答错和不答的题各有多少道"
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
　狔－狓＝６６００，
狓＝１４狔．
烅烄
烆
0/狓＝２２００，
狔＝８８００．
｛
２．"\]P^_`Z[abc狓de，狔de，*狓＋狔＝１５，
１７０００狓＋１８０００狔＝２６５０００．
｛
0/狓＝５，
狔＝１０．
｛
fg)２４０００×５＋２６０００×１０＝３８００００（;）．
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第六章!!"#$%&'
!"
!
!!甲!乙两人在"##$的环形跑道上练习赛跑!若两人同时同地反向跑"
则经过!%&第一次相遇#若两人同时同地同向跑"则经过!%#&甲第一
次追上乙!甲!乙两人的速度各是多少$
!!下面!我们继续学习列二元一次方程组解决实际问题!
例#!去年秋季!某校七年级和高中一年级招生总人数为%##名!计划今年
秋季七年级招生人数比去年增加!#'!高中一年级招生人数比去年增
加(%'!这样!今年秋季七年级和高中一年级招生总人数将比去年招
生总人数增加()'!今年秋季七年级和高中一年级各计划招生多少名"
分析#本题中的等量关系是#
去年!七年级人数*高中一年级人数+%##$
今年!七年级人数*高中一年级人数+%##%(*()'&$
今年!七年级人数+去年七年级人数*增长数$
今年!高中一年级人数+去年高中一年级人数*增长数!
解#设去年七年级招生"名!高中一年级招生#名!根据题意!得
"*#+%##!
%(*!#'&"*%(*(%'&#+%##,%(*()'&
"
#
$
!
整理!得
"*#+%##!
!""*!-#+(()##
"
#
$
!
解得
"+-##!
#+!##
"
#
$
!
所以
%(*!#'&"+%(*!#'&,-##+-.#!
%(*(%'&#+%(*(%'&,!##+!-#!
答#今年秋季七年级计划招生-.#名!高中一年级计划招生!-#名!
Ｂ!
１．"6h狓i，6j狔i，
*k6&)（狔＋２）i，
*狓＋狔＋狔＋２＝２５，
４狓－狔＝７４．
｛
0/狓＝１９，
狔＝２．
｛
２．"l&HI)狓ｍ／ｓ，
m&HI)狔ｍ／ｓ，*
２５（狓＋狔）＝４００，
２５０（狓－狔）＝４００．
｛
0/狓＝８．８，
狔＝７．２．
｛
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛
'(,-
１．uÊe２，‹ø%”ÖדWJ”(“KJ”“LJM”(“˜ZJM”û‰?iى%N
>æG¤．
uʀ‰RS，O!Z‰GHm，Vì4ÖKJ¬WJ,þ,5æ<GH，Flì
Å狓＋狔＝５００，
２０％狓＋１５％狔＝５００×１８％．
｛
２．GÊ“ZÁ·¸”，V‹56%”Z[(úB/x2•]，Ü“RS→•]5æG¤→
ghZiGHj”．‡%”3Ð&',:;â，$2$×/íîL^．
·
９１
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D,3ø%”wûy
z,´DGr．½u=:，
HGHj,´DUHÈ
NO．
ZÁ·¸
（１）QP、QRP、Q
RúâQáÅSUQ2
,×±(«<QR‡Qâ
,×±．
（２）•|．
（３）２６狓＝１０００＋狔，
１４狓＝１０００－狔．
｛
（４）DÅ狓＝５０，
狔＝３００．
｛
Î T
１．"n9)狓;，o9)
狔;，*
７５％狓－狔＝－２５，
９０％狓－狔＝２０．
｛
0/ 狓＝３００，
狔＝２５０．
｛
２．"X狓pqrstu，
X狔pqrvt，*
!"
!
数学!七年级下册
!!请你将今年两个年级计划招生人数设为未知数!列方程组解答例!中的
问题!并与上面的解答过程比较!看看哪种解法较简便些!
小明为了测得火车过桥时的速度和火车的长
度!在一铁路桥旁进行观察"火车从开始上桥到
完全过桥共用!"#!整列火车完全在桥上的时间
为$%#&已知桥长$'''(!你能根据小明获得的
数据求出火车的速度和长度吗#
$$%问题中涉及了哪些量#
$!%画示意图!并寻找等量关系!
$)%用"!#分别表示火车的速度$(&#%和长度$(%!列方程组!
$%%解答上面的问题!
!!$!某种过季商品打折销售!如果按定价的七五折销售!每件将赔!*
元'如果按定价的九折出售!每件将赚!'元!这种商品每件的定价是多少
元!进价是多少元#
!!)月$!日是我国的植树节!这一天!某校七年级共有!%'名学生参
加义务植树活动!如果平均每人每天挖树坑"个或栽树$'棵!那么!怎样
安排学生才能使这一天挖出的树坑全部栽上树苗#
+ 组
$!某公司甲!乙两个销售点$月份的总销售额为*''''元!!月份"甲销
售点的销售额比$月份增加了*,"乙销售点的销售额比$月份增加了
-.*,&这样"两个销售点!月份比$月份共增加销售额)'''元!两个
销售点$月份的销售额分别是多少#
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
　狓＋狔＝２４０，
６狓＝１０狔．
｛
0/狓＝１５０，
狔＝９０．
｛
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Ａ!
１．"l、m2#wxy１z{&wx|Z[)狓;P狔;，*狓＋狔＝５００００，
５％狓＋７．５％狔＝３０００．
｛
0/狓＝３００００，
狔＝２００００．
｛
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０２
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第六章!!"#$%&'
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!!甲!乙两车相距"##$%"两车同时出发&如果同向而行"乙车经过'(可
追上甲车#如果相向而行"两车经过#)*(相遇!求甲!乙两车的速度!
+ 组
"!$一千零一夜%中有这样一段文字&有一群
鸽子"其中一部分在树上欢歌"另一部分在
地上觅食!树上的一只鸽子对地上觅食的鸽
子说&'若从你们中飞上来"只"则树下的鸽
子就是整个鸽群的"
,#若从树上飞下去"只"
则树上!树下的鸽子就一样多了!(你知道
树上!树下各有多少只鸽子吗) 试列方程组
解答!
!!某酒店客房部有三人间!双人间客房!三人
间的价格为"-#元*天"双人间的价格为"'#元*天!为吸引游客"该酒
店实行了团体入住五折优惠的措施!一个-#人的旅游团优惠期间到该酒
店入住"住了一些三人间和双人间!若每间客房正好住满"且一天共花
去住宿费"-"#元"则该旅游团住了三人间和双人间客房各多少间)
２．"l、m2}&HIZ[
)狓ｋｍ／ｈP狔ｋｍ／ｈ，
*４（狔－狓）＝１００，
０．８（狓＋狔）＝１００．
｛
0/狓＝５０，
狔＝７５．
｛
Ｂ!
１．"t%&~])狓，
t € & ~ ] )狔，
*狔－１＝１３（狓＋狔），
狓－１＝狔＋１．
烅烄
烆
0/狓＝７，
狔＝５．
｛
２．"U‚X狓‚，ƒU
‚X狔‚，*
３狓＋２狔＝５０，
７５狓＋７０狔＝１５１０．
｛
0/狓＝８，
狔＝１３．
｛
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛
　　
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数学!七年级下册
!!我们已经学习了利用代入消元法和加减消元法对二元一次方程组进
行求解!在本节中!我们将用消元的方法!对简单的三元一次方程组进
行求解!
类似于二元一次方程!我们把含有三个未知数!并且含未知数的项的次
数都是!的方程!叫做三元一次方程"
"#$%&'%()&*#+$,#*-*-'%%)$.$+,$/#!
含有三个未知数!并且含未知数的项的次数都是!的方程组!叫做三元
一次方程组"/0/*%1+2"#$%&'%()&*#+$/+2*-'%%)$.$+,$/#!三元一次方程组中
各方程的公共解叫做这个三元一次方程组的解!
"34#3$5!!
6"7#3$5!8!
8"7#39$58:
"
#
$
!
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"57;!
#7:$5<!
8"7#3$5!=
"
#
$
!
!
"3#58;!
"3$5>!
8"7#7:$
"
#
$
576
都是三元一次方程组!
!
类比解二元一次
方程组的方法!我们
可以研究解三元一次
方程组的方法!
!!对于求解三元一次方程组
"3#3$54!
"7#74$5!!
8"76#3$5!9
"
#
$
!
!
"
#
小亮的想法是$!?43"!再#7!!消去未知数$!得到一个二元一次
方程组
;"39#58;!
"79#5>
"
#
$
!
$
%
解得"!#后代入!求出$!从而求得三元一次方程组的解!
"!#你能否先消去未知数"或#!最后求得三元一次方程组的解%
"8#试着解一解这个方程组!并与同学们交流!
!!标有
%
的内容为选学内容!
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
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Ö《EA（２０１１JT）》,a´，qhZiGHj†¢Dr3"%-.，1l‡$%¯，•
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第六章!!"#$%&'
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例!解方程组
!!""#!
!!#$""%!
&!$'#$&""%(
"
#
$
$
!
"
#
解"由!!得
""!!#$
$
将$分别代入"!#!得
&!!#")!
#!$'#"&)
"
#
$
$
%
&
解这个二元一次方程组!得
!"#!
#"'
"
#
$
$
把!"#代入!!得
""*$
所以!原方程组的解为
!"#!
#"'!
""*
"
#
$
$
已知小明与爸爸#妈妈的年龄之和为%*+岁!
爸爸比妈妈大&岁!小明与妈妈的年龄之和比爸爸
大%&岁$他们的年龄分别是多少$
%%&在本题中!有几个等量关系$ 请你分别表
示出来$
%&&如果设爸爸的年龄是!岁!妈妈的年龄是#岁!小明的年龄是
"岁!请列出方程组$
%'&解这个方程组$
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（１）™q‰>æG¤：
ª',JW＋XX,JW
＋YY,JW＝１０８；XX
,JW－２＝YY,JW；
ª',JW＋YY,JW
＝XX,JW＋１２．
（２）狓＋狔＋狕＝１０８，
狓－２＝狔，
狔＋狕＝狓＋１２．
烅烄
烆
（３）狓＝４８，
狔＝４６，
狕＝１４．
烅烄
烆
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛
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（１）狓＝２，
狔＝－１，
狕＝４；
烅烄
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（２）狓＝８，
狔＝２，
狕＝５．
烅烄
烆
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１．（１）狓＝１，
狔＝３，
狕＝５；
烅烄
烆
（２）
狓＝１１，
狔＝１３２，
狕＝９２．
烅
烄
烆
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!
数学!七年级下册
!!请结合下列图示!谈一谈解三元一次方程组的基本方法和步骤!
三元一次
方程组!
"!#!$"#!
"$#$#$"%!
&"$'#!$
"
#
$
"%(
""#!
#"$%!
$
"
#
$ "%
!
%
&
&
&
&
&
&
转化
!!
!
%
&
&
&
&
&
&
消元
!!!!!!!!!!!!!'
&得解
"!#!$"#! !!!!
'
&代入
二元一次
方程组!!
)"!(#"&)!
"$(#
"
#
$
"*
!!!!!!!!!!
""#!
#
"
#
$ "$%
!
%
&转化!!!!
%
&求解!!!
!!!!!!!!!'
&得解
一元一次
!方程
!! +""'#
(
))))
求解
""#
(
))))
代入
"$(#"*
!!解三元一次方程组的基本思想就是"转化#!通过消元!将"三元#转
化为"二元#!再将"二元#转化为"一元#!通过求一元一次方程的解!进
而求得二元一次方程组的解!最后求得三元一次方程组的解!
解下列方程组$
%%&
"!#"%!
"!$")!
#!$"'
"
#
$
'
!!!!!!!%&&
"$#!$"%%!
"!#$$"#!
"$#$$"%
"
#
$
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, 组
%!解下列方程组!
"%#
"$$"$($
"!#$$"$%$
$$&#"$%
"
#
$
%
"&#
"$#$$"-$
"!#$'$"($
&"$##!+$"&%
"
#
$
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欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
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第六章!!"#$%&'
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!!解下列方程组!
""#
#"$#%"$
"&#%'$
!"$(#&#$%$)
"
#
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"$#&$%)$
"&#$$%*$
!"$##&+$%##
"
#
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, 组
"!解下列方程组!
""#
"$#$!$%"*$
#$#$%$-$
#"$#&($%!"
"
#
$
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"!#
#$#"$!$%"$
"&!#&#$%.$
("$'#&$%#-
"
#
$
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!!在我国古代数学著作&九章算术'中有这样一个问题!上等谷#束$中
等谷!束$下等谷"束$共#.斗%上等谷!束$中等谷#束$下等谷
"束$共#-斗%上等谷"束$中等谷!束$下等谷#束$共!)斗!求
上(中(下三等谷每束各是几斗!
２．（１）狓＝２，
狔＝５，
狕＝５；
烅烄
烆
（２）
狓＝３，
狔＝３５，
狕＝１８５．
烅
烄
烆Ｂ!
１．（１）
狓＝９７１７，
狔＝－７１１７，
狕＝－１１７；
烅
烄
烆
（２）狓＝－１８，
狔＝－１５，
狕＝１９．
烅烄
烆
２．"%、M、€„…†‡
Z [ ) 狓ˆ、狔ˆ、
狕ˆ，*
３狓＋２狔＋狕＝３９，
２狓＋３狔＋狕＝３４，
狓＋２狔＋３狕＝２６．
烅烄
烆
0/
狓＝３７４，
狔＝１７４，
狕＝１１４．
烅
烄
烆
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛
　　
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ÍÎg：¦p犪狓１＋
犫＝犱１＝０，†犪狓２＋犫＝
犱２＝０，\ ë 狓＝狓１†
狓＝狓２Ü9GH犪狓＋犫＝
０,D．
¦p犱１≠０，犱２≠０，
\ëÁ①、②}9GÊ犪，
犫, g h Z i G H j D
°，Å犪＝犱１－犱２
狓１－狓２，
犫＝犱２狓１－犱１狓２
狓１－狓２．
烅
烄
烆
狓＝－犫犪
＝－犱２狓１－犱１狓２
狓１－狓２÷犱１－犱２
狓１－狓２
＝犱１狓２－犱２狓１
犱１－犱２（犱１－犱２≠０）．
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!
数学!七年级下册
一元一次方程的!试位解法"
!!一元一次方程的写法和解法都经历了漫长的岁月才发展成为现在的
样子!阿默士是用一大串符号表示一元一次方程的!并且是用算术的方
法来解的!笛卡儿"法国数学家!!"#$!!$"%年#给出了一元一次方程现
在的写法和解法!古代数学家曾用$试位法%来解一元一次方程!
以&"'()%为例!任取"的两个不同的值"!!"*"比如"!)!!"*)
*#!将它们分别代入方程的左边!并设&"!'()#!!&"*'()#*"此时
#!)!*!#*)!$#!则
")#!"*+#*"!
#!+#*
)!*,*+!$,!
!*+!$
)+*
是&"'()%的解!一般称这种解法为$试位法%!
!!活动一&仍以&" '()%为例!请你另取"的两个不同的值"$
!!
"$
* !并按上述方法进行计算!看其结果是不是原方程的解!
活动二&说明用试位法解一元一次方程的道理!
我们知道!一元一次方程%"'&)%"%"%!%!&为已知数#的解是
")+&
%!
试位法&任取"的两个不同的值"!!"*!代入上述方程的左边!并设
%"!'&)#!!
%"*'&)#*!
"
#
如果#!)%"或#*)%#!那么")"!"或")"*#即为原方程的解!
不然!
")#!"*+#*"!
#!+#*
"#!+#*"%#
是原方程的解!试对此给出说明!
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
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第六章!!"#$%&'
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!!在本章中!我们学习了二元一次方程组和三元一次方程组的解法!并且
学会了用二元一次方程组来解决一些简单的实际问题!
一!知识结构
用二元一次方程组解决实际问题的过程"
二!总结与反思
同一元一次方程一样!二元一次方程组也是解决现实世界中数量之间相
等关系的重要数学工具!
!!列二元一次方程组和列一元一次方程解决实际问题的思路是相同的!
有些含两个未知数的实际问题用只设一个未知数列方程的办法求解往往较困
难!若设两个未知数列方程组!则常常因等量关系比较容易表示而使列方程
变得简单!
"!解二元一次方程组的基本思路是"通过#消元$!把二元一次方程组
转化为一元一次方程!逐步实现化#未知$为#已知$的目的!这就是#化
归$的数学思想!
#!解二元一次方程组的基本方法有
%
解三元一次方程组的基本方法有
!
$!解二元一次方程组的一般步骤是
!
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４．ab4*TSＡj¯,７S9e，ЙdU<ZhZiGH(ghZiGHj{´
D，&WñŠ,RS：
（１）¼€‰PQRS{&，3ZhZiGHÈ.f<Æ，n3ghZiGHjÈ.f<Æ？
（２）‡DghZiGHj,UH¯，Æ|H{,ZhZiGHCè？€&'Cêë？
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１．（１）３狓－４；（２）０，０．
２．（１）狓＝１，
狔＝１；
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（２）狓＝２，
狔＝１３；
烅烄
烆
（３）
狓＝１０３，
狔＝－２３９，
狕＝－１６９；
烅
烄
烆
（４）
狓＝４１１２，
狔＝１５４，
狕＝－１１２．
烅
烄
烆
３．５０＝１０犽＋犫，
６８＝２０犽＋犫．
｛
0/犽＝１．８，
犫＝３２．
｛
狔＝１．８狓＋３２．
４．"_、‰2ŠU'Z[)
狓，狔，*狓－１＝狔，
狔－１＝１２狓．
烅烄
烆
0/狓＝４，
狔＝３．
｛
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数学!七年级下册
!!用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是
!
!!
三!注意事项
在列方程组解应用题时!应注意在求出方程组的解后要进行检验!使它
既满足方程组!又符合题意!
" 组
#!填空!
"##已知$"%#&'!若用含"的代数式表示#$则#&
!
"(#在(")#
$#&#中$当"&#
(时$#&
%当#&$时$"&
!
(!解下列方程组!
"## $")'#&*$
!"%#&'
"
#
$
%!!!!!!!!"(# (")$#&!$
'"%$#&*
"
#
$
%
"$#
#%($&#$
")$$&%($
$"%!#)$&(#
"
#
$
%
"'#
")#)($&*$
"%(#%$&%'$
(")$#)$&#+
"
#
$
!
$!已知华氏温度#"!#与摄氏温度"",#满足#&%")&!当"&#-时$
#&!-%当"&(-时$#&.+!求%$&的值$并写出#与"间的关系式!
'!七年级"二#班选出部分同学参加夏令营$分成红&蓝两队$红队戴红帽
子$蓝队戴蓝帽子!一个红队队员说$我看见的是红队人数与蓝队人数
相等%一个蓝队队员说$我看见的是红队人数是蓝队人数的(倍!求红
队人数和蓝队人数!
!!七年级两个班共++名同学给学校花坛栽种花卉$"一#班同学平均每人栽
种+棵$"二#班同学平均每人栽种#-棵$两个班共栽种*++棵!求这两
个班各有多少同学!
.!某工程队承包了两项工程!第一项工程甲组做了#-天$乙组做了+天完
成$共获报酬#(+--元%第二项工程甲组做了+天$乙组做了#(天完
成$共获报酬#$.--元!甲&乙两组平均每做工一天各应得报酬多
少元'
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
５．"（‹）、（Œ）Z[X狓pP狔pŽq，*狓＋狔＝８８，
８狓＋１０狔＝７８８．
｛
0/狓＝４６，
狔＝４２．
｛
６．"l、m2!†&‘Z[)狓;P狔;，*１０狓＋８狔＝１２８００，
８狓＋１２狔＝１３６００．
｛
0/狓＝８００，
狔＝６００．
｛
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第六章!!"#$%&'
!"
!
!!甲!乙两人相距"!#$%若两人同时出发相向而行"则出发后&'()相
遇#若两人仍是相向而行"但甲比乙先出发*+$,-"则乙出发!+$,-后
两人相遇!求甲!乙两人的速度!
.!已知一个三角形的周长为"/0$"其中两条边的长度之和等于第三条边
长的*倍"而这两边长度的差等于第三条边长的&
"!求这个三角形的三
边长!
1 组
&!已知"2+"
#
"
#
$ 2"和"2/"
#
"
#
$ 2&都是方程$"3%#2.的解"求$"%的值!
"!已知""4*#2("3"#2&"求""#的值!
*!关于""#的二元一次方程组$"3%#2."
"$"4*%#
"
#
$
24/的解为"2""
#2/
"
#
$
"求$和%
的值!
/!如图"在图$&%中"各行!各列及对角线上的三个数之和都相等!
$&%请你求出""#的值!
$"%把满足$&%的其他5个数填入图$"%中的方格内!
!第/题"
(!小亮跟爸爸于6月初和&+月初两次到超市购买食品!
７．"l、m2U&HIZ[
)狓ｋｍ／ｈP狔ｋｍ／ｈ，*
１．５（狓＋狔）＝２７，
３０＋７０
６０狓＋７０６０狔＝２７．
烅烄
烆
0/狓＝１２，
狔＝６．
｛
８．"’“2”•Z[)
狓ｃｍP狔ｃｍ，*
狓＋狔＝３（２４－狓－狔），
狓－狔＝１２（２４－狓－狔）．
烅烄
烆
0/狓＝１０．５，
狔＝７．５．
｛
 ” • ) １０．５ｃｍ，
７．５ｃｍ，６ｃｍ．
Ｂ!
１．犿＝１，
狀＝４．
｛
２．２狓－３狔＝１，
５狓＋２狔＝１．
｛
狓＝５１９，
狔＝－３１９．
烅
烄
烆
３．２犿＋４狀＝８，
４犿－１２狀＝－４．
｛
犿＝２，
狀＝１．
｛
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
４．（１）狓＝－１，狔＝１．
（２）
－２３２
５１－３
０－１４
５．"–—P˜™&š9Z[)狓;P狔;，*６狓＋１２狔＝３０，
（１０狓＋１５狔）×７５％＝３０．
｛
0/狓＝１，
狔＝２．
｛
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Ｃ!
１．"›œž狓Ÿ， ¡
)狔，*
１５０狔＝４５狓，
２００（狔－１）＝狓＋２５．
烅烄
烆
0/狓＝３３７５，
狔＝１８．
｛
２．"Ａ，Ｂ2a¢£¤¥
狓ｋｇP狔ｋｇ，*
狓＋狔＝１１０００，
５０（１＋１０％）狓＋４０（１－
１５％）狔＝５０狓＋４０狔．
烅烄
烆
0/狓＝６０００，
狔＝５０００．
｛
３．"l、m2Š¢¦§†
¤¨©狓ｋｍP狔ｋｍ，*
５０（狓＋狔）＝２００，
３０（狓＋狔）＋２０（狓＋
０．６）＋１０（狔＋０．４）＝２００．
烅烄
烆
0/狓＝１２５，
狔＝８５．
烅
烄
烆
!"
!
数学!七年级下册
根据打折前后花!"元所购买物品的数量!你能求出打折前牛奶和面包的
单价各是多少元吗"
# 组
$!某服装厂接到生产一种工作服的订货任务!要求在规定期限内完成!按
原来的生产进度!每天只能生产这种服装$%"套!在规定的期限内只能
完成订货量的&
%!现在!工厂改进了生产流程!每天可生产这种工作服
'""套!按现在的生产进度!不仅比规定的期限少用$天!而且比订货
量多生产了'%套!客户订做的工作服是多少套!要求完成的期限是多
少天"
'!制造某种产品需要(和)两种原料*其中(种原料的价格为%"元#千克!
)种原料的价格为&"元#千克*一段时间后!这两种原料的价格进行了调
整!(种原料价格上涨了$"+!)种原料价格下降了$%+*经核算!产品
的成本仍然不变*已知生产这种产品需(!)两种原料共$$""",-*
(种原料和)种原料各需多少"
!!某城市为了缓解缺水状况!计划实施一项引水工程!要把'"",.外的
河水引到城市中来!该市把这个工程交给了甲$乙两个施工队!工期为
%"天!甲$乙两队合作施工了!"天后!乙队因另外有任务需要离开
$"天!于是甲队加快施工速度!每天多修"/0,.!乙队回来后!为了保
证工期!甲队保持现在的施工速度不变!乙队每天比原来多修"/&,.!
结果工程如期完工!甲$乙两队原计划每天各施工多少千米"
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
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欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛
　　
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数学!七年级下册
!!对某一事物进行研究并交流!必然要借助于有关的名称!同时也经
常需要对一些问题作出判断!并对判断说明理由!
!正整数""和负整数统称为整数!#这是整数的定义!
!有公共端点的两条射线组成的图形叫做角!#这是角的定义!
!含有未知数的等式叫做方程!#这是方程的定义!
你能说出偶数"单项式"两点间的距离分别是怎样定义的吗$
在对!角#和!有理数#有了更多的认识后%形成了如下一些判断&
'#(两个直角相等!
'$(两个锐角之和是钝角!
'%(同角的余角相等!
'&(两个负数%绝对值大的反而小!
''(负数与负数的差仍是负数!
'((负数的奇次幂是负数!
上面的六个语句%都是对一件事情作出判断的句子!像这样%能够进行
肯定或者否定判断的语句%叫做命题')*+)+,-.-+/(!
一般地%命题都是由条件和结论两部分组成的!
命题常写成!如果))那么))#的形式!!如果#引出的部分是条件%
!那么#引出的部分是结论!
例如%负数的奇次幂是负数%可写为&如果一个数是负数%那么它的奇
次幂是负数!同角的余角相等%可写为&如果两个角是同一个角的余角%那
么这两个角相等!
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
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１．uÊ“§¾¿¿”，D,3a%”CDvwPe,ØL，€¼a%”dUï´u½GD
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２．uÊiS,EF，‹[‡$Pže¥(ÅÆiS,ØL°ƒ，ø%”™4y,×±
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３．›ØZ‰9;3y3iS，&¨ÐiS,-.(o'¦?a，‹©iS,“¦p……，
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第七章!!"#$%&#
!"
!
!!下列各语句中!哪些是命题!哪些不是命题" 是命题的!请你先将它改
写为#如果$$那么$$%的形式!再指出命题的条件和结论!
&!'正方形的对边相等!
&"'连接"!#两点!
&#'相等的两个角是锐角!
&$'延长线段"#到点$!使"$%""#!
&&'同角的补角相等!
&''($大于("吗"
!
请指出前面的命
题中!哪些是真命
题!哪些是假命题!
在命题中!既有正确的命题!也有不正确的命
题)我们把正确的命题叫做真命题&*+,-
.+/./01*1/2'!把不正确的命题叫做假命题&3450-
.+/./01*1/2')
#同角的余角相等%是一个真命题!因为!如果设"!的余角是""和
"#!那么"!6""%789!"!6"#%789!从而有""%"#!
#两个锐角之和是钝角%是一个假命题!如"!%!&9和""%#89是两个
锐角!但是"!6""%$&9!不是钝角!这个命题不正确!所以它是一个假
命题!
要说明一个命题是假命题!只要举出一个符合命题条件!但不符合命题
结论的例子就可以了!像这样的例子叫做反例&:/,2*-+-;4<.5-'!
例"!举例说明#两个负数之差是负数%是假命题!
说明(设%%("!&%(&!&符合命题的条件'
则%(&%&("'(&(&'%#!不是负数!&不符合命题的结论'
所以#两个负数之差是负数%是假命题!
!!!!下列各语句中!哪些是命题" 是命题的!请你先将它改写为#如
果$$那么$$%的形式!再找出命题的条件和结论!
&!'画一个角等于已知角!
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欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛
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４．‡uiS™CEF:;4ƒ，utiS(ŸiS,KL“.f%DC，l×Ãoôv
we¥>?›œZ‰iS3ŸiS,Gr———žfe，À3©%¢#,²，žaMKëì
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５３
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２．（４）3¶ª-．­·³
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数学!七年级下册
!!"互为相反数的两个数的和为"!
!#"当"$#时#有"!$#!!
!%"当"!$#!时#有"$#!
!!指出第&题中的假命题#并用举反例的方法说明!
&!指出下列命题中的条件和结论!
"&#如果两个角的和等于&'"($那么这两个角互为补角!
"!#等式两边都加上同一个数或同一个整式$等式仍然成立!
"##两个钝角相等!
"%#如果"$#$#$$$那么"$$!
!!写出三个命题$并判断它们的真假!如果有假命题$说出理由!
!!&!在图) & &中#%&和'(是直线吗$ 请你先观察#后判断#然后
利用直尺验证你的结论是否正确!
图) & &
!!!
图) & !
!!在图) & !中# !&"和!!"两图中间的两个正六边形大小一样吗$
请你先观察#后判断#然后利用叠合法验证你的判断是否正确!
#!如果"$*##那么"!$#!!由此得出%当"$*#时#"#$##!你认
为后一个命题正确吗$ 为什么$
由观察&实验&归纳和类比等方法得出的命题#可能是真命题#也可能
是假命题!判断命题的真假需要说明理由#这个过程就是说理!
有些命题经过实践检验被公认为真命题#我们把这样的命题叫做
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
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第七章!!"#$%&#
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基本事实!如!过平面上两点"有且只有一条直线#!两点之间的连线中"线
段最短#等都是基本事实!等式的性质也可以看做基本事实!
!!观察相邻两个奇数的和$
!
"
#
$
%
!&
'
!(
)!%
!%
!
人们经常用实
验!归纳的方法去
发现命题!
&!'相邻两个奇数的和与"之间有什么关系(
请提出你的猜想!
&&'通过说理"验证你的猜想正确与否!
图' ! #
例"!如图' ! #"说明!如果""#是线段
$%上的两点"且$"*#%"那么$#*
"%#是真命题!
理由$因为!$"*#% &已知'"
所以!$"+"#*#%+"# &等量加等量"和相等'!
所以!$#*"% &线段和的定义'!
!!像例题这样"依据已有的事实&包括定义)基本事实)已被确认的真命
题'"按照确定的规则"得到某个具体结论的推理就是演绎推理!
有些真命题"它们的正确性已经过演绎推理得到证实"并被作为判定其
他命题真假的依据"这些命题叫做定理&,-./0.1'!
!!!!!&&"&#是真命题还是假命题( 请说明理由!
&!阅读下面命题及其说理过程"在括号内填上推理的依据!
命题$如图"如果#$%"*#$'%'"'"#!*#&"那么##*#"!
&第&题'
ZÁ·¸
õ˜，ø%”/05
;，z¯µ¶，²XÅái
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４,65．”óƒ，ø%”ï
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5２狀－１(２狀＋１,(3
（２狀－１）＋（２狀＋１）＝４狀，
 4 Ó ü , ( 3 ４,
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１．¶ª-．¸°，犪＝０．１Ì，
犪２＝０．０１，ÍÌ犪２＜犪．
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛
　　４．dUe２，YZ[ø%”wû：!Z，iS,“Å，ˆ±Ê/0©²X；!g，ÏU&%，
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)２狀－２，２狀＋２．Ú)
（２狀－２）＋（２狀＋２）＝
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数学!七年级下册
理由!因为!"!"#!"!$"$#$"""!"#"#!!!!!!!$
所以!"!"#$""!"!$"$#$$"# #!!!!!!!$%
又因为!"%!"!"#$""""&!"!$"$#$$"#"#两角差的
定义$
所以!"%!"& #等量代换$%
"%对!如果""和"#都是"!的余角"那么""!"##的说理过程"在括
号内填上依据%
#第"题$
理由$因为!""'"!!()* %已知&"
所以!""!()*$"! %等式的性质&%
因为!"#'"!!()* %!!!!!!!&"
所以!"#!()*$"! %!!!!!!!&%
所以!""!"# %!!!!!!&%
#%说明!与一个偶数前后相邻的两个偶数之和"一定是&的倍数#是一个
真命题%
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
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第七章!!"#$%&#
!"
!
!!在同一个平面内!两条直线的位置关系只有相交或不相交!在本节
中!我们将研究两条直线相交构成的角及与其相关的一些问题!
!!在平面上任意画出两条直线!这两条直线的位置关系有几种可能"
下面探究当两条直线相交时!它们所构成的角之间的关系!
图! " #
如图! " #!两条直线"#!""相交于点#!形成
四个角#"#!""!"$和"%!"#和"$具有公共
顶点#!并且两边互为反向延长线!我们把具有这种
特殊位置关系的两个角叫做对顶角$&'()*+,-,./-'0%!
""和"%也是对顶角!
对顶角的大小有什么关系呢"
#!如图! " #!两条直线"#!""相交于点#!当一条直线绕点#转动
时!"#和"$同时增大或同时减小!你能猜想出"#与"$的大小关系吗"
"!你能用测量或拼叠的方法验证你的猜想吗" 试试看!
$!你能从&同角的补角相等'这一事实出发!用说理的方法来验证你
的猜想吗"
!!下面!我们对猜想&对顶角相等'的正确性给予说明!
如图! " #!已知"#与"$是对顶角!那么"#1"$!
理由#因为!"#与""互补!""与"$互补!
所以!"#1"$ $同角的补角相等%!
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欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛
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１．１３０°，５０°，１３０°．
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对顶角相等!
图! " "
如图! " "!一条直线"分别与两条直线#!$相
交"也说直线#!$被直线"所截#!构成八个角!
"##观察"#和"$!""和"%!"&和"!!"'
和"(的位置关系!试描述它们的位置特征!
""#"&和"%!"'和"$各有什么位置特征$
"&#"&和"$!"'和"%各有什么位置特征$
我们把具有"#和"$这样位置关系的一对角叫做同位角")*++,-.*/01/2
3/24,-#!""和"%!"&和"!!"'和"(都是同位角!
把具有"&和"%这样位置关系的一对角叫做内错角"345,+/35,1/5,+1*+
3/24,-#!"'和"$也是内错角!
把具有"&和"$这样位置关系的一对角叫做同旁内角"1/5,+1*+3/24,-
*/56,-37,-10,#!"'和"%也是同旁内角!
!!请你在图! " &的基础上分别画出符合下列各条件的角%
图! " &
"##与"%&'是对顶角!
""#与"%&'是同位角!
"&#与"%&'是内错角!
"'#与"%&'是同旁内角!
#!填空%
如图!已知"%('8$9:!那么!"%()8!!!!!"&()8!!!!!
"&('8!!!!!
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
r{µ¶；nƒ，Ã56%”2&%,Gr{¶'．€Ü,UH，Z3•12%”,Úە
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第七章!!"#$%&#
!"
!
!第!题"
!!!!!!
!第"题"
"!直线"##$%被直线&'所截#交点分别为(#)#所有的同位角$
内错角$同旁内角$对顶角各有多少对% 分别写出两对来#填入下表!
名!称
对!数
举!例
对顶角
同位角
内错角
同旁内角
# 组
!!如图!直线"#!$%!&'都经过点*!图中有几对对顶角" 请以等式
的形式把它们写出来!
!第!题"
!!!
!第"题"
"!如图!请分别写出各图中的一对同位角#内错角和同旁内角!
$ 组
!!如图!"!和""!"%和"&各是由哪两条直线被哪一条直线所截形成
的" 它们是具有什么位置关系的角"
２．àMhá’、Ž$’、â
j’、Žã⒤X４
h、４h、２h、２h．
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Ａ!
１．６h h á ’，Z [ 3
∠犅犗犇＝∠犃犗犆，
∠犇犗犈＝∠犆犗犉，
∠犈犗犃＝∠犉犗犅，
∠犅犗犈＝∠犃犗犉，
∠犃犗犇＝∠犅犗犆，
∠犈犗犆＝∠犉犗犇．
２．6äkå‹．
°：à（１）M，∠犃犇犉Ý
∠犃犅犆3Ž$’；∠犈犇犅
Ý∠犇犅犆3 â j ’；
∠犉犇犅Ý∠犇犅犆3Žã
â’．à（２）E．
Ｂ!
１．∠１Ý∠２3æç犃犅，
犆犇è犃犆Ûé“É&
âj’；∠３Ý∠４3æ
ç犃犇，犅犆è犃犆Ûé
“É&âj’．
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛
　　
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２．Ú)∠１Ý∠２MX‹
”k3ꋔ&ë•
ç，ÛÜ«¬k3há
’．Žì，∠３Ý∠４í
k3há’．
３．îఀ：
∠２Ý∠１3há’；
∠３Ý∠１3Ž$’；
∠４Ý∠１3âj’；
∠５Ý∠１3Žãâ’．
!"
!
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!第!题"
!!!!
!第"题"
"!光线从空气射入玻璃时!光的传播方向发生了改变!一部分光线通过玻
璃表面反射形成反射光线!一部分光线穿过玻璃发生了折射!如图所示!
由科学实验知道!"!#""!"$#"%!那么"!和""是对顶角吗!
"%和"$是对顶角吗" 为什么"
!第%题"
%!如图!两条直线"!#相交!请你再画一条直线$!
构成八个角!并分别找出与"!是对顶角#同位角#
内错角#同旁内角的角!
!
你能举出生活
中反映!两直线垂
直"的例子吗#
如图& " $#两条直线%& 和'( 相交于
点)!把直线'( 绕点) 按逆时针方向转动#当
"&)(#'()时#如图& " *#称直线%&和'(
互相垂直!+,-+,./01234-"#记作$%&$'(%#读作
$%&垂直于'(%!%&是'( 的垂线#'(也是%&的垂线!它们的交点)
叫做垂足!5667654+,-+,./01234-"!
!
想一想$其他
三个角都是什么角#
!!!!
图& " $
!!!
图& " *
!!!
已知直线%&及%&上一点'!利用三角尺#可以按图& " 8所示的
方法#画出经过点'的%&的垂线!
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
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１．%”‡ª%¼EFCêëÈl-£…|£，€É，쇽õ,l-£…¯，ø¢¯Z
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£…↣…mZ@,|…，½%”EFá“€Ü,|…,›‡”（Ü“™”），óƒ，úy1
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第七章!!"#$%&#
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图! " #
!!$!你能借助三角尺或量角器经过直线"#外一点$画出"#的垂线吗!
试一试!
!!"!经过直线上或直线外一点画该直线的垂线"可以画几条!
!!基本事实!!经过直线上或直线外一点!有且只有一条直线与已知
直线垂直!
图! " !
如图! " !"$是直线"#外一点"
且$%""#"垂足为%"即$%是点$到
"#的垂线段!再经过点$向直线"# 任
意引两条线段$&"$'!
#$$猜想线段$&"$%"$'哪一条
最短!
#"$以点$为圆心"$%的长为半径画弧"圆弧分别与线段$&"$'相
交于点&$"'$!线段$&$"$%"$'$相等吗! 由此能进一步验证你的猜
想吗!
通过上面的探究"我们得到%
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中!垂线段最短!
我们把垂线段$%的长度称为点!到直线"#的距离$
·šÝÝ
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３．zÜ，uÊ“£…mZ@©£…â«@ˆ¤,™…k¯，|…knË”，Va)f‡
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数学!七年级下册
!第!题"
!!!!如图#已知直线"##$%和点&#过点&分
别画出直线"##$%的垂线!
"!如图#要把河中的水引到水池$#在河岸"#
的什么地方开始挖渠#才能使水渠的长度最短$
!第"题"
!!!!
!第#题"
#!如图#在测量跳远成绩的示意图中#直线'是起跳线##(#"(#
")中哪一条线段的长度是跳远的成绩$
$ 组
!!经过点(分别画直线"#和$%的垂线!使用刻度尺分别测量点(到直
线"#和$%的距离!"精确到!%%#
!第!题"
!!!!!!
!第"题"
"!如图!经过点"!%画#$的垂线段"&!%*!分别量出点"!%到#$
的距离!"精确到!%%#
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
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第七章!!"#$%&#
!"
!
!!一个正方形的两条对角线有什么位置关系! 画一画"量一量!
" 组
!第#题"
#!给下面命题的说理过程填写依据!
已知#如图""是直线#$ 上的一点""% 是
"#"&的平分线""'是"&"$的平分线!
对"%#"'说明理由!
理由#因为!"%"&$#
%"#"& $!!!
%"
"&"'$#
%"&"$ $!!!!!%"
所以!"%"&&"&"'$#
%"#"&&#
%"&"$$#
% $"#"&&
"&"$%$!!!!!%!
所以!"%"'$#
%"#"$$#
%'#()*$+)* $两角和的定义%!
所以!"%#"' $!!!!!%!
%!如图"(")是"*"+内的两点"请由点(")分别向"*"+的两边
画垂线(#"($和)&")%"垂足分别为#"$"&"%!通过观察与测
量"对"#($和"&)%的大小关系提出你的猜想!
!第%题"
３．ðæ．îàP&YE．
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２．îఀ：
)*：∠犃犘犅＝∠犆犙犇．
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛
　　
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数学!七年级下册
!!平行是两条直线的一种特殊位置关系!在本节中!我们将认识平行
线!并了解如何画两条平行线!
你能从下列事物中看到平行线吗!
在同一平面内"不相交的两条直线叫做平行线#!"#"$$%$$&'%($)
平行线的表示%
图!形
符!号
读!法
"#"$%
直线"# 平行于直线$%!或直线"# 与
$%平行
&"'
直线&平行于直线'!或直线&与'平行
图* + ,
如图* + ,"直线&"'!""#为直线&上的
任意两点!
#,$请用三角尺分别画出点"和点#到直线'
的垂线段"("#)"观察并度量"(和#)"看看
它们的长度有什么关系!
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
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第七章!!"#$%&#
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!!"在直线!上另取一点"#画出点"到直线#的垂线段$它的长度与
%&#'(的长度相等吗$
事实上#若直线!"##则直线!上任意一点到直线#的距离都相等$这
个距离就叫做平行线!与#之间的距离$
两条平行线之间的距离处处相等$
已知一条直线!#怎样画出另一条直线##使它和直线!平行呢$ 在实
际中#人们常用如下的方法!图" # !"%
图" # !
观察上面画平行线的过程$
!$"如果在直线!外任意取一点"#你能过点"画出与直线!平行的直
线吗$ 这样的直线能画出多少条$
!!"如图" # !!%"中#只要哪对角相等#就可使!"#$ 在图" # !!%"
中指出这样的角$
!!基本事实!!经过已知直线外一点!有且只有一条直线和已知直线
平行$
两条直线被第三条直线所截#如果同位角相等#那么这两条直线平行$
简单地说#就是%
!!基本事实!!同位角相等!两直线平行$
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欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛
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１．（１）6 ä k å ‹，°
犃犃１⊥犃犅，犃１犅１⊥
犅１犅，犃犅⊥犅犆．
（２）6 ä k å ‹，°
犃犅∥犃１犅１，犃犅∥犆犇，
犃犇∥犅犆．
$%E．
（３）犃犅P犅１犆１+k²
,，ík'-，Ú)«¬
kKŽ‹'˜â．
２．E．
T S
Ａ!
１．（１）∵†#?.:Ã3
/.“，∴∠１＝∠２＝
∠３＝４５°，
∴犪∥犫，犮∥犱．
!!
!
数学!七年级下册
例!如图! " "!"#$%%&!"'$%%&!直线"与#平行吗" 为什么"
图! " "
解#"##!
理由是#
因为!"#$%%&!"'$%%&!$已知%
所以!"#$"' $等量代换%!
所以!"## $同位角相等!两直线平行%!
!!在对命题进行说理的过程中!经常会使用&因为' &所以'两个词!为
简单起见!今后我们用符号&('表示&因为'!用&)'表示&所以'!
!!#!如图所示是一个正方体!
$#%写出三对互相垂直的棱!并用符号表示!
$'%写出三对互相平行的棱!用符号表示并指出它们之间的距离!
$"%观察棱$%和%#&#!它们所在的直线相交吗" 它们所在的直线平
行吗" 请你说明理由!
$第#题%
!!!!!
$第'题%
!!'!如图!过点$画直线'( 平行于%&!
* 组
#!图中每个小方格都是正方形!
!#"在图!#"中#哪些直线是平行的$ 说出你的理由!
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
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第七章!!"#$%&#
!"
!
!第!题"
!
!第"题"
!""借助于网格#在图!""中画出分别与!"##$
平行的两条直线%
"%如图#"!#$%&#""#$%&#!"与#$ 平行吗$
说明理由%
' 组
!第!题"
!%如图#过点&画直线&'平行于(!#&'与("
相交于点'%画直线&)平行于("#&)与(!
相交于点)%
"%填空%如图&
!!"(!"'(!"#$%&#"'("$#$%&#!已知"
!第"题"
)!!!!#!!! !!!!!!"%
!""(!"!#"" !已知"#
)!!!!#!!! !!!!!!"%
*%填空%如图&
!!"(!"*$##"*!+ !已知"#
)!!!!#!!! !!!!!!"%
!第*题"
!""(!"*!+#"#"+ !已知"#
)!!!!#!!! !!!!!!"%
!*"( ! "*$## "*!+#"*!+ # "#"+#
!已知"
)!!! !!!#!!! !! !等量代换"%
（２）$0kå‹，àE．
２．犃犅∥犆犇．ì1°€：
∵∠１＝６４°，∠２＝６４°，
（ÎÏ）∴∠１＝∠２（„
Y Ô Õ）．∴犃犅∥犆犇
（Ž $ ’ ² „，2 æ
ç'-）．Ｂ!
１．°à：
２．（１）犃犅；犆犇；Ž$’²
„，2æç'-．
（２）犃犅；犆犇；Ž$’²
„，2æç'-．
３．（１）犇犆；犃犅；Ž$’²
„，2æç'-．
（２）犇犃；犆犅；Ž$’²
„，2æç'-．
（３）∠犖犇犆；∠犆犅犕．
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛
　　
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数学!七年级下册
!!我们已经确认了!同位角相等"两直线平行#"这是判定平行线的基
本事实!根据这条基本事实"可以说明平行线的判定定理!
我们已经知道!同位角相等"两条直线平行!即在图! " #中"如果
"$%"&"那么"##$%!
小亮和小红经过认真观察有了新的发现!
!小亮的发现!!!!!!!!!!! 小红的发现!!
因为"#%"& !对顶角相等"#
如果"#%"$#那么就能推出
"$%"&#于是就有"##$%!
因为"&'""%#()* !平角定义"#
如果"$'""%#()*#那么就能推出
"$%"&#于是就有"##$%!
##$你认为小亮和小红的想法正确吗%
#$$阅读下面这两个命题的说理过程"在括号内填写依据!
图! " #
命题#!已知!如图! " #"直线"#"$%被直线
&'所截""#%"$!
对"##$%说明理由!
理由!+!"#%"$ #!!!!!!$"
"#%"& #!!!!!!$"
,!"$%"& #!!!!!!$!
,!"##$% #!!!!!!$!
命题$!已知!如图! " #"直线"#"$%被直线&'所截""$'""%
#()*!
对"##$%说明理由!
理由!+!"$'""%#()* #!!!!!!$"
"&'""%#()* #!!!!!!$"
,!"$%#()*-""""&%#()*-""!#!!!!!!$
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
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１．+ãã,6:，<¸šl?KW，Z3£¤‹2“z0{½>，l£…gÄ”€ZP，
ì›Øl-£…gÄ，g3ԕ4Žm,-.pÆz0{½>，\뀎m,-.V¼ì4
2{›Øl-£…gÄ．ø%”õ˜B؀Ü,EF，y9gą›ØØ%,·¸Õ'C
G³，=€Vô]C¥,›ØGr,¶'．
２．uÊ“/0©Wñ”，ìø%”3Ð/0©\¸“q…Â{”,•¡，ú¯^|“z0{
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第七章!!"#$%&#
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!!""#"$ !!!!!!!"!
!!"##$% !!!!!!!"!
!!由此得到定理#两条直线被第三条直线所截$如果内错角相等!或者同
旁内角互补"$那么这两条直线平行!
简单地说$就是#
内错角相等!两直线平行!
同旁内角互补!两直线平行!
图% & "
例!如图% & "$已知直线"#$$%被直线&'所
截$"'#()*$""#'")*!
对"##$%说明理由!
理由#+!"',""#()*,'")*#'-)* !已知"$
""#"& !对顶角相等"$
!!"',"&#'-)* !等量代换"!
!!"##$% !同旁内角互补$两直线平行"!
!第'题"
'!如图$直线($)被直线*所截$如果同位角
"'#".$请你写出图中其他相等的同位角%所有相等
的内错角%所有互补的同旁内角!
"!对于上面例题中的命题$请你试着写出用&内
错角相等$两直线平行'或&同位角相等$两直线平
行'进行说理的过程!
!第'题"
/ 组
'!如图!请你找出图中互相平行的直线!并说明
理由!
Î T
１．²„&Ž$’X：∠３Ý
∠７，∠２Ý∠６，∠４Ý
∠８．²„&âj’X：
∠３Ý∠６，∠４Ý∠５．±
Á&Žãâ’X：∠３Ý
∠５，∠４Ý∠６．
２．∵∠２＝１２０°（ÎÏ），
∴∠３＝１８０°－∠２＝６０°
（ÙÁ’n(）．
∵∠１＝６０°（ÎÏ），
∴∠１＝∠３（„YÔÕ），
∴犃犅∥犆犇（âj’²
„，2æç'-）．
g2“Ž$’²„，2æ
ç'-”3ì，E．
T S
Ａ!
１．犪∥犫．
∵犪，犫è犮Ûé，‹hâ
j’Ã3７０°，∴犪∥犫．
犮∥犱．3ìE．
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛
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４．Åágą,›ØØ%°ƒ，dUeS(ÎT，ø%”YZ[ÏV(‹2．‡‹2,
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２．（１）Ž$’²„，2æç
'-．
（２）∠２，∠３．
（３）∠４，∠２．
Ｂ!
１．14&$0X2#，"
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ì1：Žã⒱Á，2
æç'-．
ì1：âj’²„，2æ
ç'-．
２．.6‹：ÎÏ；'’&n
(；Ž’&Á’²„；Ž
$’²„，2æç'-．
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(；Ž’&Á’²„；h
ᒲ„；„YÔÕ；â
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.6：ÎÏ；hᒲ
„；„YÔÕ；Žãâ’
±Á，2æç'-．
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数学!七年级下册
!第!题"
!!将下面的说理过程补充完整!如图!直线"#!$%
被直线&'所截!
""##!""$"! "已知#!
%!"##$% "!!!!!!!!!!!#!
"!##!!!!!$!!!! "已知#!
%!"##$% "内错角相等!两直线平行#!
"&##!!!!!'!!!!$"()* "已知#!
%!"##$% "同旁内角互补!两直线平行#!
+ 组
"!如图""#!在三角形&'"中!"&$&(*!'"边绕点"按逆时针方向旋转
一周回到原来的位置!在旋转的过程中"图"!##!是否有一位置使"'(#
&'$ 如果有这样的位置!请你画出示意图!并写出判断它们平行的理由!
!第"题"
!!如图!直线)!*被直线+所截!若""'",$"()*!则)#*!在下面说
理过程中的括号里填写说理依据!
!第!题"
方法一%#!""'",$"()* "!!!!!!#!
而!""'"&$"()* "!!!!!!#!
%!",$"& "!!!!!!#!
%!)#* "!!!!!!#!
方法二%#!""'",$"()* "!!!!!!#!
""'"&$"()* "!!!!!!#!
%!",$"& "!!!!!!#!
又!",$"- "!!!!!!#!
%!"&$"- "!!!!!!#!
%!)#* "!!!!!!#!
方法三%#!""'",$"()* "!!!!!!#!
而!""$".!",$"-!"!!!!!!#
%!".'"-$"()* "!!!!!!#!
%!)#* "!!!!!!#!
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
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第七章!!"#$%&#
!"
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!!受两条直线平行判定方法研究过程的启发!下面!我们用一条直线去
截两条平行线来探索在这种情况下同位角"内错角"同旁内角有什么样
的特殊关系!
图! " #
!!如图! " #!已知直线""#!且被直线$所截!
"##猜想同位角##与#"的大小有什么关系!用量
角器量一量!验证你的猜想!
"$#图中其他的同位角是否也相等呢$ 和同学交流!
"%#请你画一条直线%!使它和"!#都相交!度量其
中任意一对同位角!看其大小有什么关系!
平行线性质定理%#&'两条平行线被第三条直线所截!同位角相等!简
称为'
两直线平行!同位角相等!
如图! " #!已知直线""#!且它们被直线$所截!由平行线性质定
理!可得##&#"!
"##由##&#"能推出##与#!相等吗$ #$与#'也相等吗$ 为什么$
"$#由##&#"能推出两对同旁内角互补吗$ 为什么$
图! " $
!!事实上!如图! " $!直线&'"()!&'!()
被直线*+所截!##和#$是内错角!
%#& 此定理将在以后说明理由(
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欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
　　４．uÊeS，‹˜F%”ÄfÅ¢，ƒF$2(%”ZÁ‡3Å]．
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第七章!!"#$%&#
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!!!!如图!已知"#"$%!#!"!!#$!求#%!#&!#'的度数!
"第!题#
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"第%题#
%!下面写出了命题$如图!如果##"#$!那么#"(#!"!)#$%的
说理过程!请你填空&
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!!如图!"#"%$!"%"#$!且#!"-#$!求#%!#&!#'的度数!
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"第%题#
%!如图!已知一工件"#$%!它的下半部已经残缺!只知道"%"#$!并
且量得#""!!.$!#%"//$!你能算出残缺的下半部##和#$两个角
的度数吗" 写出理由!
Î T
１．∵犃犅∥犆犇，
∠１＝１１０°，（ÎÏ）
∴∠２＝∠１＝１１０°（2æ
ç'-，Ž$’²„）．
∴∠３＝１８０°－∠２＝７０°
（'’n(）．
∴∠４＝∠３＝７０°（há
’²„）．
２．ÎÏ；犃犅；犆犇；âj’
²„，2æç'-；2æ
ç'-，Žã⒱Á．
T S
Ａ!
１．∵犃犇∥犅犆，∠１＝６０°，
（ÎÏ）
∴∠２＝∠１＝６０°（2æ
ç'-，Ž$’²„）．
∵犃犅∥犇犆（ÎÏ），
∴∠４＝∠２＝６０°（2æ
ç'-，âj’²„）．
∴∠３＝１８０°－∠１＝
１２０°（2æç'-，Žã
⒱Á）．
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
２．ù7!：∠犅＝６５°，∠犆＝８１°．
∵犃犇∥犅犆，∠犃＝１１５°，∠犇＝９９°，（ÎÏ）
∴∠犅＝１８０°－∠犃＝６５°，∠犆＝１８０°－∠犇＝８１°．（2æç'-，Žã⒱Á）
·
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Ｂ!
１．∵犃犇∥犅犆，∠１＝１２０°，
（ÎÏ）
∴∠犃犅犆＝∠１＝１２０°（2
æç'-，Ž$’²„）．
∵犃犅∥犇犆（ÎÏ），
∴∠犃犅犆＋∠２＝１８０°
（2æç'-，Žãâ’
±Á）．
∴∠２＝１８０°－∠犃犅犆＝
６０°（„ÂÒÓ）．
２．∠犅；2æç'-，Ž$
’²„；∠犃；2æç'
-，â j ’ ² „；„ Y
ÔÕ．
ZÁ·¸
１．‹˜ø%”Öa´
Æƽ‹£…，ú/0¯
“ŲX，óƒcÆiS，
nƒ&'%F．
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
'(,-
+ãã3gą›ØØ%(ÀØ%,‹2．
１．GÊe２，‹GMl‰GŠ：Z3‹2gą,›ØØ%(ÀØ%，g3YZ[wû
”•p%,[/©.c®6．z×，n‹GM+S­®,“ÐÑ”，€3DM€ªRS,ZÇ
™Ó,WñUH．$%¯，ì˜ø%”ØF³“ÐÑ”，óƒYÄD¤，wûÓ,12，Vì4
‡WñFS°ƒ，£¤ø%”·š&'ï´,Xr，óƒõö&©$Pâ,“ÐÑ”u×．
２．uÊ“ZÁ·¸”，3a·¸©¶'Ø%“gÄÊzZ-£…,l-£…gÄ”．‡€
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G¤———Ü·¸^|，óƒJr¶'ï´,²X．¶'¯，˜x2gą,ÀØ%，Ãx2
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第七章!!"#$%&#
!"
!
!!观察画出的图形!直线"!与""有怎样的位置关系" 提出猜想!并对
猜想的正确与否说明理由!
!!事实上!如图# $ %!如果#"$!#"%!那么$"%!
!
分析!由#"$"可
得#&'#!!由#"%可
得#&'#"!由等量代换
可得#!'#"!由同位角
相等"两直线平行"可得
$"%!
!图# $ %
理由#(!#"$ $!!!!!!%!
)!#&'#! $!!!!!!%!
!
还有其他的说理方
法吗#
(!#"% $!!!!!!%!
)!#&'#" $!!!!!!%!
)!#!'#" $!!!!!!%!
)!$"% $!!!!!!%!
平行于同一条直线的两条直线平行!
为下面的说理过程填空#
已知#如图!直线#!$被直线%所截!#"$!#$%!
对$$%说明理由!
理由#(!#"$ $!!!!!!%!
)!#&'!!!! $!!!!!!%!
(!#&'*+, $!!!!!!%!
)!#!'!!!! $!!!!!!%!
)!$$% $!!!!!!%!
２．%F：
Àž；l£…gÄ，z
0{½>；Àž；l£…g
Ä，z 0 { ½ >；> æ =
Î；z 0 { ½ >，l £ …
gÄ．
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-，Ž$’²„；ðæ&n
(；９０°；„YÔÕ；ðæ&
n(．
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛
　　$%¯，‹C€ZUH3Ð_s，ø%”‡·¸¯Cï´,WñUH(%F_]Æ{，
óƒÍZá“ÐÑ”w|,:+G6â{，ÃÅ¢;<©M'%F,[/，4ÁáÞÉ,^
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３．uÊÎT，V‹Öש“ZÁ·¸”½Û,G6{PÚ$%．
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∠犇犖犈；2æç'-，
âj ’ ² „；∠犃犕犉；
∠２；„YÔÕ；âj’
²„，2æç'-．
Ｂ!
１．∵犃犅∥犆犇（ÎÏ），
∴∠犅＋∠犆＝１８０°（2æ
ç'-，Žã⒱Á）．
∵∠犅＝∠犇（ÎÏ），
∴∠犆＋∠犇＝１８０°（„
YÔÕ），
∴犃犇∥犅犆（Žãâ’
±Á，2æç'-）．
２．∵犃犅⊥犕犖（ÎÏ），
∴∠犃犅犖＝９０°（ð æ
&n(）．
∵犆犇⊥犕犖（ÎÏ），
∴∠犆犇犖＝９０°（ðæ&
n(）．
∴∠犃犅犖＝∠犆犇犖（„
YÔÕ）．
∵犅犘)∠犃犅犖&'
Zç（ÎÏ），
∴∠犘犅犖＝１２∠犃犅犖
（’'Zç&n(）．
!"
!
数学!七年级下册
! 组
填空!
已知!如图"如果!""#$"!""#$ 与直线
%&分别相交于点' 和("') 平分#!'&"
(*平分#%($+
对')"(*说明理由+
理由!"!!""#$ #已知$"
#!#!'&$!!!! #!!!!!$+
"!')平分#!'& #已知$"
!
!同理"是指
和前边的推导过程
与依据道理相同+
#! #%$ %
& ! ! ! ! #角平分线的
定义$+
同理!#&$%
&#%($"
#!#%$!!!! #!!!!!$+
#!')"(* #!!!!!$+
!第%题"
' 组
%+已知!如图"!""#$"#"$#$+
对!$""#说明理由+
&+如图"如果!"$'(于点""#$$'(于点$"
")为#!"(的平分线"$*为##$(的平分线"
那么")"$*+请你写出说理过程+
!!!!!!!!!
!第&题"
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
　∵犇犙)∠犆犇犖&'Zç（ÎÏ），
∴∠犙犇犖＝１２∠犆犇犖（’'Zçn(）．
∴∠犘犅犖＝∠犙犇犖（„YÔÕ）．
∴犅犘∥犇犙（Ž$’²„，2æç'-）．
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第七章!!"#$%&#
!!
!
!!在学习了平行线之后!我们容易联想到小学已学过的"图形的平
移#!下面!我们来探究二者之间的内在联系!
!!!!观察图" # !中物体的运动情况!思考下面的问题"
在平直的铁轨上行驶的列车
!!
正被吊起的重物
自动扶梯上的购物车
图" # !
#!$图中正在运动的物体!由一个位置移动到另一个位置后!它们的形
状%大小是否发生了变化&
#$$在上述物体的移动过程中!同一个物体的不同部位#如沿一段直轨
行驶的列车的车头和车尾$移动的方向是否相同& 移动的距离是否相等&
#%$请你再说出一个类似于上面物体移动的实例!
$!如果把在一个笔直的河道上平稳漂流的竹筏看做四边形"#$%!那
么!竹筏在水面上由一个位置漂流到另一个位置!就像图" # $所示的四
边形"#$%平行移动到四边形"&#&$&%&的位置!
!!
!!!!!!!!!!!图" # $
#!$你认为四边形"#$%平行移动到四边形"&#&$&%&后!形状和大小
是否发生了变化&
'()*
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欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛
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２．‡ÏU¦âÚÛUH¡¢ughEF,:;â，ÃdU%”,y1©/0，·¸Æ•·
９５
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数学!七年级下册
!!"当!"移动到!#"##$%移动到$#%#时#你认为它们移动的方向
和距离分别有什么关系$ 把你的想法与同学进行交流&
像图" # !那样#在平面内#一个图形由一个位置沿某个方向移动到
另一个位置#这样的图形运动叫做平移!$%&'()&$*+'"&
显然#图形的平移不改变它的形状和大小&
!
请你指出其他
的对应点!对应线
段和对应角&
在图" # !中#四边形!$%"经平移后得到
四边形!#$#%#"#&我们把点!和点!#叫做对应点#
线段!$与线段!#$#叫做对应线段#"!和"!#叫
做对应角&
如图" # ,!-"所示#将三角尺的一边紧靠着固定的直尺推动#其结论
是将三角形!$%沿$%方向平移到三角形!#$#%#所在位置#如图" # ,!!"&
图" # ,
!-"在图" # ,!!"中#指出对应线段#并说明对应线段之间有什么关
系%指出对应角#并说明对应角之间有什么关系&
!!"在图" # ,!!"中#对应点的连线!!##$$##%%#之间具有什么
位置关系和数量关系$
!!在平面内!一个图形平移后得到的图形与原图形的对应线段相等!
对应角相等!各对应点所连接的线段平行"或在同一条直线上#且相等&
例!如图" # .#网格图中小方格都是边长为-个单位长度的小正方形&
!-"请你画出将三角形!$%向右平移/个单位长度后的图形&连接各
对对应点#并指出相等的线段和相等的角&
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
¡gh,À．$Pâ,“ZÁ·¸”，ú34l9D,JK,．$%¯，‹56%”ï`Í
Î，Ü»gh ƒ,u‹…k(u‹{，ØÆ·¸Óügh ƒ,0`G¤(5æG¤，F
/0¡¢²X，ÃÏ¿æYĵ¶，&‡½Éõö,:;âÅÆZí,o'．
３．56%”‡˜®•¯ÆÆNO•¡ghƒ,•¡（€PQ3•¡ghÀ,‹2），
&ú¯C?gh1•,a@：Z3gh,G³；g3gh,‚．$%¯，‹Á$2,”](
%”,ï`y1Ým/oôÁ{．
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第七章!!"#$%&#
!"
!
!!"请指出图中!包括新画出的"所有分别互相平行的线段!
图" # $
!!
图" # %
解#!&"如图" # %$三角形"#$#%#即为所求!
相等的线段分为两类#
对应线段相等$即"$'"#$#$$%'$#%#$"%'"#%#!
对应点所连接的线段都相等$即""#'$$#'%%#!
对应角相等$即""$%' ""#$#%#$""%$' ""#%#$#$
"$"%'"$#"#%#!
!!"平行的线段也分为两类#
对应线段平行$即"$#"#$#$$%#$#%#$"%#"#%#!
各对应点所连接的线段平行$即""##$$##%%#!
!!&!如图$在图案!!"%!("%!$"中$哪个是由图案!&"向右平移得到的&
!第&题"
!第!题"
!!!!如图$直角三角形&'(是由直角三角
形"$% 经过平移得到的$请写出它们的对应
点%对应线段和对应角!
Î T
１．àä（３）．
２．h8y：犃Ý犇，犅Ý
犈，犆Ý犉．
h8çö：犃犅Ý犇犈，
犃犆Ý犇犉，犅犆Ý犈犉．
h 8 ’：∠犃Ý∠犇，
∠犅Ý∠犈，∠犆Ý∠犉．
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛
　　
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T S
Ａ!
１．9‹#".ఀ：
² „ & ç ö：犃犅＝
犃′犅′，犃犃′＝犅犅′．'-
& ç ö：犃犅∥犃′犅′，
犃犃′∥犅犅′．² „ & ’：
∠犃＝∠犅′，∠犅＝∠犃′．
9Œ#".ఀ：
² „ & ç ö：犆犇＝
犆′犇′，犆犆′＝犇犇′．'-
& ç ö：犆犇∥犆′犇′，
犆犆′∥犇犇′．
²„&’：∠犆＝∠犆′＝
∠犇＝∠犇′．
２．E．
３．E．
!"
!
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! 组
"!如图!请画出把线段"#!$%分别按箭头所指的方向平移#$%后的图
形!连接各对对应点!并指出相等的线段"平行的线段和相等的角!
!第"题"
&!在网格图中!把四边形"#$%按箭头指示的方向平移!并使点"移到箭
头标示的格点处!请你画出平移后的图形!
!第&题"
#!如图!网格图中的每一格的边长为"个单位长度!把图形"向左平移
&个单位长度!把图形#向左平移'个单位长度!请画出平移后的图形!
!第#题"
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
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第七章!!"#$%&#
!"
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! 组
"!如图!把网格图中的五角星先向右平移#格!再把向右平移后的图形向
下平移$格!请画出每次平移后的图形!
! !第"题"
%!如图!如果把网格图中的三个涂了色的小正方形看做一个图形!把它在
网格中进行多次平移!能不能将所有方格填满" 如果填不满!怎样平移
可使剩余的方格最少" 最少剩余几个方格"
!第%题"
Ｂ!
１．E．
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欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛
　　
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!!一!知识结构
!!在本章中!我们学习了有关命题与说理的知识!如下表"
"!在本章中!我们还学习了相交线#平行线的有关知识!其内容及关
系如下图所示"
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
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×，oô+#Ø%,^|©¶'，áo&%,Gr，YZ[^_%”,p%•–．
１．ÏViS，%D&%,Èa，>?&%,Gr，3+#$%,?abc°Z．‡de
©fW¯，ìÜ»+#,ÉØ%，úØ%,^|UH，áØ%,¶'UH,de¯，YZ[
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２．GÊgŠâl-£…,0`G¤，‹ú“½õ”(“gĔЙß%，˜¡¢«ï,žF
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第七章!!"#$%&#
!"
!
二!总结与反思
!!命题是对一件事情作出判断的语句!命题由条件和结论两部分组成!
常常写成"如果##那么##$的形式!正确的命题叫做真命题!不正确的
命题叫做假命题!经过实践验证的真命题称为基本事实!经过演绎推理得到
的重要的真命题叫做定理!
"!本章同时关注两种推理!既关注"借助已有的知识和经验!借助图
形的直观!通过操作%度量!运用合情推理或图形运动等方法探索%发现图
形可能具有的性质$!也关注从定义和基本事实出发去探索%研究图形性质
的演绎推理!回顾"对顶角相等$的发现与对其正确性的说明!谈谈你对两
种推理的认识!
在同一平面内!经过一点有且只有一条直线和已知直线垂直!
直线外一点与直线上各点的连线中!垂线段最短!
#!在同一平面内!两条直线的位置关系有
和
!请你
借助熟悉的事物和几何图形!对直线的这两种位置关系提出自己的猜想!并
加以说明!
$!用一条直线去截两条直线!构成八个角!其中有四对同位角!两对
内错角!两对同旁内角!我们可借助同位角%内错角的相等以及同旁内角的
互补来判定两直线平行!
%!我们通常借助三角尺上的直角或量角器画已知直线的垂线&以后还
有更严谨的作法'!用移动三角尺的方法画平行线&这实际上是用同位角相
等来保证这两条直线平行'!
&!判定两条直线平行的方法有(
!
'!平行线的性质有(
!
(!图形的平移具有的性质(对应线段平行且相等!对应角相等!对应
点所连成的线段平行&或共线'且相等!
) 组
!!写出下列命题的条件和结论!
"!#能被"整除的数一定是偶数!
""#两直线平行$同旁内角互补!
"##平行于同一条直线的两条直线平行!
*TS
Ａ!
１．（１）»¼：‹#'ùè２
ÆJ；¾ ¿：1 # ' 3
Ö'．
（２）（K×L：2»æç
è9»æçÛé）»
¼：12»æç'-；¾
¿：Žã⒱Á．
（３）»¼：2»æçÃ'
-À9»æç；¾¿：
12»æç'-．
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛
　　３．uʕ¡,gh，V쪬/2$[,RS56%”áo©ß%．
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２．（１）°∠１＝∠２＝６０°，
½６０°&’k3æ’．
（２）°２＋（－２）＝０，½
２Ý－２Ãk3０．
（３）°∠１＝６０°，∠２＝
３０°，´µ∠１＞∠２，½
∠１k3˒．
３．∵æç犪，犫,Ày犗，
∠１＝４０°（ÎÏ），
∴∠３＝∠１＝４０°（há
’²„）．
∴∠２＝１８０°－∠１＝
１４０°（ÙÁ’n(），
∴∠４＝∠２＝１４０°（h
ᒲ„）．
４．∵犃犅⊥犆犇（ÎÏ），
∴∠犃犅犇＝９０°（ðæ&
n(）．
∵∠１＝３０°（ÎÏ），
∴∠２＝∠犃犅犇－∠１＝
６０°（„YÔÕ）．
５．E．
６．∵犪∥犫，∠１＝７０°，（ÎÏ）
∴∠２＝∠１＝７０°（2æ
ç'-，âj’²„）．
∵犮∥犱（ÎÏ），
∴∠３＝１８０°－∠２＝
１１０°（2æç'-，Ž$
’²„；ÙÁ’n(）．
!"
!
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!!请你举反例说明下列命题是假命题!
""#相等的角是直角!
"!#如果"##$%$那么"$%$#$%!
"&#如果""#"!$那么""是钝角!
&!如图$直线"$#交于点$$""$'%(!求"!$"&$"'的度数!
!第&题"
!!!!!!
!第'题"
'!如图$%&$'($""$&%(!求"!的度数!
)!在各图中$分别过点)画%&的垂线!
!第)题"
*!如图$直线"%#$*%+$""$+%(!求"!和"&的度数!
!第*题"
!!!!!!
!第+题"
+!如图$""$))($"!$))($"&$,)(!求"'的度数!
,!如图$填空!
!第,题"
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
７．∵∠１＝５５°，∠２＝５５°，（ÎÏ）
∴∠１＝∠２（„YÔÕ）．
∴犪∥犫（Ž$’²„，2æç'-）．
∵∠３＝８５°（ÎÏ），
∴∠４＝１８０°－∠３＝９５°（2æç'-，Žã⒱Á）．
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第七章!!"#$%&#
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!!""!"!#"$ !已知"#
%!!!!!#!!!! !!!!!!!""
!&""!"&#"# !已知"#
%!!!!!#!!!! !!!!!!!""
!$""!"!'!!!!#!()* !已知"#
%!!$#%# !!!!!!!""
! !第+!!"题"
+"完成下列说理过程#并在括号内填上相应的依据"
!!"如图#"!"!$##"$#& !已知"#
%!!$#!!!! !!!!!""
又"!"#&''"'#!()* !已知"#
%!#&#!!!! !!!!!""
%!!!!!#!!!! !!!!!""
!&"如图#"!$##!% !已知"#
%!"%#!!!!#"!#!!!!#!!!!!!"
!第+!&"题"
"!!!!#"!!!! !两直线平行#内
错角相等"#
!!"!!!!'"!!!!#!()*#
"!!!!'"!!!!#!()*#
"!!!!'"!!!!#!()* !两直线平
行#同旁内角互补""
!)"填空$
!第!)!!"题"
!!"已知$如图#!%#'$#"!#,)*#"&#--*"
对#(平分"%#&说明理由"
理由$"!!%#'$ !已知"#
%!"!'"!!!!#!()* !!!!!""
%!"!!!!#!()*."!#!()*.,)*#!!)*"
"!"&#--*#!
&"!!!! !!!!!"#
%!#(是"%#&的平分线"
８．（１）犃犇；犅犈；Ž$’²
„，2æç'-．
（２）犇犅；犈犆；âj’²
„，2æç'-．
（３）∠犃犅犈；Ž ã ⠒
±Á，2æç'-．
９．（１）犈犉；âj’²„，2
æç'-；犅犆；Žãâ
’± Á，2 æ ç ' -；
犃犇；犅犆；'-ÀŽ‹æ
ç&2æç'-．
（２）∠犈犇犆；∠犇犈犆；2
æç'-，Ž$’²„；
犅犉犇；犈犇犉；犃犉犇；犉犇犈；
犅；犅犇犈；犃；犃犈犇．
１０．（１）犅犈犉；2æç'-，
Žã⒱Á；犅犈犉；
犅犈犉；„Â&ÒÓ．
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛
　　
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　（２）hᒲ„；„Y
ÔÕ；犅犇；犆犈；Ž$’
² „，2 æ ç ' -；
∠犃犅犇；∠犃犅犇；犇犉；
âj’²„，2æç'
-；2æç'-，âj
’²„．Ｂ!
１．îఀ：
∠犇犆犈＝∠犅．
ì1°€：
∵∠犃犆犇＝∠犃（ÎÏ），
∴犃犅∥犆犇（âj’²
„，2æç'-）．
∴∠犇犆犈＝∠犅（2æ
ç'-，Ž$’²„）．
２．（１）（２）（３）E．
３．∵犃犅∥犆犇（ÎÏ），
∴∠犅犕犖＝∠犆犖犕
（2 æ ç ' -，â j ’
²„）．
∵∠犅犕犚＝∠犆犖犘
（ÎÏ），
!"
!
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!第!"!#"题"
!#"已知#如图$"!$"#$"!$""$点#$$
分别在线段%!$"&上'
对"%$"&说明理由'
理由#%!"!$"# !已知"$
"&$"# !!!!!"$
'!"!$"& !!!!!"'
'!!!!!#!!!! !!!!!!"'
'!"!$!!!! !两直线平行$同位角相等"'
又%!"!$"" !已知"$
'!!!!!$"" !等量代换"'
'!%!#!!!! !!!!!!"'
'!"%$"& !!!!!!"'
( 组
!'任意画一个三角形%#!$再延长#!至点$$以点!为顶点$在"%!$
内画"%!"$"%'说明""!$等于三角形%#!中的哪个角'
! !第#题"
#'如图$点!表示村庄$%!$#!是两条公路$%#
是河流'点%和点#处各有一座小桥'
!!"量出点%到#!的图上距离'
!#"量出点!到%#的图上距离'
!&"如果此图是按!)!""""""的比例画出的$
算出!!"和!#"中的实际距离'
&'如图$已知%##!"$$& 与%#$!" 相交于点($)$"#(*$
"!)+$试说明(*#)+的理由'
!第&题"
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
　∴∠犅犕犖＋∠犅犕犚＝∠犆犖犕＋∠犆犖犘（„YĄY，P²„）．
M∠犚犕犖＝∠犘犖犕．
∴犕犚∥犖犘（âj’²„，2æç'-）．
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第七章!!"#$%&#
!"
!
!!请你阅读并分析下面!""题的说理过程#然后写出!#"题的说理过程!
!第!题"
!""已知$如图#"#"$%#&'"#(!
对#"#($#$)'说明理由!
理由$%!"#"$% !已知"#
&!#"#($#$%( !两直线平行#同位角相等"!
又%!&'"#( !已知"#
&!#$%($#$)' !两直线平行#同位角相等"!
&!#"#($#$)' !等量代换"!
!#"已知$如图#"#"$%##"#($#$)'!
对#("&'说明理由!
' 组
"!阅读!""题的说理过程#写出!#"题的说理过程!
!""已知$如图#"#"($!
对#")($##")(#$()说明理由!
!第"!""题"
理由$作)'""##则有)'"($ !平行于同一条直线的两条直线平行"!
&!#"$##")###$#$()!!两直线平行#内错角相等"
&!#")($#"(##$##")(#$() !等量代换"!
４．ì1°€：
∵犃犅∥犇犖（ÎÏ），
∴∠犃犅犆＝∠犇犖犆
（2 æ ç ' -，Ž $ ’
²„）．
∵∠犃犅犆＝∠犇犈犉
（ÎÏ），
∴∠犇犖犆＝∠犇犈犉
（„YÔÕ）．
∴犅犆∥犕犉（Ž$’²
„，2æç'-）．
Ｃ!
１．ì1°€：
°à，ïy犈N犈犉∥
犃犅，*犈犉∥犆犇
（'-ÀŽ‹æç&2
æç'-）．
∴∠犅犃犈＋∠１＝１８０°，
∠２＋∠犇犆犈＝１８０°．
（2æç'-，Žãâ’
±Á）
∴∠犅犃犈＋∠１＋∠２＋
∠犇犆犈＝３６０°
（„Â&ÒÓ）．
M∠犅犃犈＋∠犃犈犆＋
∠犇犆犈＝３６０°．
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
　
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２．ì1°€：
∵犃犅∥犇犈（ÎÏ），
∴∠犃＝∠犈犕犆（2æ
ç'-，Ž$’²„）．
∵∠犃＝∠犇（ÎÏ），
∴∠犈犕犆＝∠犇（„Y
ÔÕ）．
∴犃犆∥犇犉（Ž$’²
„，2æç'-）．
∴∠犃犆犅＝∠犇犉犈（2
æ ç ' -，Ž $ ’
²„）．
∵犃犆⊥犅犉（ÎÏ），
∴∠犃犆犅＝９０°（ðæ&
n(）．
∴∠犇犉犈＝９０°（„YÔ
Õ）．
∴犇犉⊥犅犉（ðæ&n
(）．
!!
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!!"已知#如图$!""#$%
对#"!&"#!&#"#$#&#$%&'说明理由%
!第(!!"题"
!%已知#如图$点"$&$#$'在一条直线上$!""$&$#!##$$
!#$"'$!#与$&相交于点(%
对$'$"'说明理由%
!第!题"
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
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（２）ØÆCžF¡¢UH¯,“”WX．«6år78rº,·¸3ª¬5,78Ù
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ZkDMRS,:+Gr．
（３）ØÆCår«6,“FÇáZ„”,UH．år«6PQâ3l‰Ç«6½å=
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ì43Z‰«6（PQâyìÊ«6）．
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6år,rº，•y72ÓüYĽGK8，—˜%”,78•–．
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３．wûæ,78À、«6,år(5,78,G¤，YZ[^_HIKF．
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犪２＋２犪犫＋犫２4†（犪＋犫）
（犪－犫）©犪２－犫２,G¤，
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EF．
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（犪＋犫）２＝犪２＋２犪犫＋犫２，
（犪＋犫）（犪－犫）＝犪２－犫２
_]Cl‰«6½å,
Gr．
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛
　　
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３７
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１．Ïùzê5æår
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１．（１）２７；（２）２２０；
（３）１２（）
６；（４）犪５．
２．zê5æ½å，Ë
,ê5yÒ，Õ5½þ．
３．犪犿＋狀．
!"
!
数学!七年级下册
!!在生活或数学学习中!经常会遇到同底数幂相乘的问题!这一节我
们就来研究同底数幂相乘的运算性质!
计算机存储容量的基本单位是字节!用!表
示"一般用#!"千字节#$$!"兆字节#或%!"吉
字节#作为储存容量的计量单位!它们之间的关
系为
&#!'(&)!!&$!'(&)#!!&%!'(&) $!"
那么!&$!等于多少字节呢%
这个问题就是计算(&)*(&)"用幂的形式表
示!计算结果是什么呢%
回顾乘方的意义&(+'(*(*(!(,'(*(*(*(!
&!用幂表示下列各式的结果&
"&#(,*(+'!!!!!!'
"(#(&)*(&)'!!!!!'
"+# &
" #
(
,
* &
" #
(
(
'!!!!'
",#"(("+'!!!!!!!
(!通过上面的计算!关于两个同底数幂相乘的结果!你发现了什么规律%
+!若#!$是正整数!根据你发现的规律!用幂的形式表示"#("$!
一般地!对于正整数#!$!有
!!!!! !!!"#("$
' ""("()(
"
#
$
"
#个"
#""("()(
"
#
$
"
$个"
#
'"("()(
"
#
$
"
"#-$#个"
'"#-$!
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
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第八章!!"#$%
!"
!
!
利用这个性质
可以直接进行同底
数幂的乘法运算!
!!
!"!!#!!""# ""##是正整数$$
同底数幂相乘#底数不变#指数相加!
例#!把下列各式表示成幂的形式!
"!#"#$"%$!!!!""#""%"&$
"%##$%#$'!$
"&#"%""%"%!
!
三个或三个以
上的同底数幂相
乘!幂的运算性质
仍然适用!
解!"!#"#$"%("#'%(")!
""#""%"&(""'&("#!
"%##$%#$'!(#$'"$'!#(#"$'!!
"&#"%""%"%("!'"'%("#!
例$!太阳系的形状像一个以太阳为中心的大圆盘&光通过这个圆盘半径的
时间约为"$!*&+&光的速度约为%$!*,-.'+!求太阳系的直径!
解!!"$%$!*,$"$!*&
(!"$!*)"-.#!
答!太阳系的直径约为!"$!*)-.!
!!下列各式的计算是否正确( 如果不正确&请改正过来!
"!#""%"%(",!!!!!
""#%%%("%!
"%#"%"%("%!
"&#"%%"&("!"!
"!计算!
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""# !
" #
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"
$ !
" #
&
&
$
"%#"
#
/" "%"
#
/" ,$
"&#%"%%&%%,!
%!用幂的形式表示下列问题的结果!
"!#"个棱长为"0.的正方体的体积的和是
0.%1
""#)个棱长为%0.的正方体的体积的和是
0.%1
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１．（１）/O．
（２）k/O，8)：
犫·犫＝犫１＋１＝犫２．
（３）k/O，8)：
犪·犪３＝犪１＋３＝犪４．
（４）k/O，8)：
犪３·犪４＝犪３＋４＝犪７．
２．（１）１０９；　（２）１４（）
６；
（３）（－２）７；　（４）犫１１．
３．（１）２４．　（２）３５．
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛
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ø%”3Ð/õö，ÿ!2yz,G6;]µ¶，ì43ä—9:,，ì43HI,，Vì4
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RS３325%;<6;]^|,µ¶，CÕ5ÚÛ9—ë．“犪犿·犪狀＝犪犿＋狀”,ÅÆU
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１．（１）１０１１；　（２）２１１；
（３）２３（）
５；　（４）１５（）
９；
（５）－３
（）７；　（６）－７
（）６．
２．（１）狓１２；　（２）－犱４；
（３）犪犿＋狀＋１；　（４）犪９．
３．（１）犪２狀＋３；　（２）狓３犿＋３．
４．１９．７３４×１０２９ｋｇ
Å１．９７３４×１０３０ｋｇ．
Ｂ!
１．（１）（犪＋犫）５．
（２）－（狓－狔）７．
２．（１）２狓６；　（２）０．
３．（１）２狀；　（２）－５狀．
!"
!
数学!七年级下册
! 组
"!计算下列各题!结果用幂的形式表示!
""#"#$%"#&$!!!!!!!!"'#'(%')$
"*# '
! "
*
'
% '
! "
*
*
$
"$# "
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$
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"
+* *%!
"
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"
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"
+& $!
'!计算%
""#"$&",$
"'#+#&#*$
"*#$%&$&-"$
"$#$&$*&$)!
*!计算%
""#$'&$&&$&-"$!!!
"'#"%&"%-"&"%-'!
$!地球的质量约为)./,%"#'$ 01!太阳质量是地球质量的*.*%"#)倍!
求太阳的质量!
2 组
"!""#将"$-'#
'&"$-'#
*表示成以$-'为底的幂!
"'#将""+(#
$&"(+"#
*表示成以"+(为底的幂!
'!计算%
""#"&"'&"*-"'&"$$
"'#"'&")+"&"'&"$!
*!设&是正整数!计算%
""#'&-"+'&$
"'#$%)&+)&-"!
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
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第八章!!"#$%
!"
!
!!如果几个同底数幂的指数都相同!那么同底数幂相乘的结果可以用
幂的乘方表示!本节我们探究幂的乘方与积的乘方的运算性质!
根据计算机存储容量单位之间的关系!我们知道"
!"#$%!&'%!&'%!&#(
!!依据同底数幂乘法的性质!%!&'%!&'%!&$
!
根据乘方的意义!%!&'%!&'%!&可以表示为
!
由此!能得到什么结论#
%! !&
$
%
% )表示)个!&%相乘! !&
$
%
% )$!&
$!!%!
"
$ %
) *表示*个")相乘! "
$ %
) *$"
$!!%!
)!观察上面各式中幂指数之间的关系!猜想"若#!$是正整数!则
"
$ %
# $$
!
事实上!根据乘方的意义及同底数幂乘法的性质!对于正整数#!$!有
!!!!! !!! $"#%
$
$"#&"#&'&"
"
#
$
#
$个"#
$"#+#+'+
"
#
$
#
$个#
$"#$!
!
运用这个性质
可以直接进行幂的
乘方运算!
!!""
#!!"# !"##是正整数"$
幂的乘方#底数不变#指数相乘!
例"!计算"
$!%$!&)%
*(! $%%$
%%%
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#!
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78．１．２３０，２１０
（）３，
２１０
（）３＝２３０．
２．６，１２．
３．犪犿狀．
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛
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１．（１）k/O，8)：
犪２
（）３＝犪２×３＝犪６；
（２）k/O，8)：
犪２·犪３＝犪２＋３＝犪５；
（３）k/O，8)：
犪３＋犪３＝２犪３；
（４）/ O，2 ” à „
À犪犿狀．
２．（１）７６；　（２）犫１２；
（３）犪８；　（４）狓４犿＋３；
（５）犿３狀＋１；　（６）狓７犿．
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Ａ!
１．（１）９；　（２）１２；
（３）８；　（４）１５．
２．（１）５８狀；　（２）７５犿；
（３）９８狀；　（４）２犿狀；
（５）犿３狀；　（６）狔３犿＋２狀．
３．（１）３犪１０；　（２）２狓７．
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数学!七年级下册
解!"!#"!"##
$%!"#&$%!"!'!
"'#"
"'#
#%"'&#%"(!
"##"#$#
$%#$&$%#$$!
例"!计算!
!
先算乘方!再
算乘法!
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" #
' #%!!"'##$#'$##) #
" #
' #!
解!"!#%$ %
" #
' #%%$%'&#%%$%(%%*!
"'##$#'$##) #
" #
' #%#()#(%"!
!!!!下列各式的计算是否正确& 如果不正确'请改正过来!
"!# #
" #
' #%#+%
"'##'$##%#(%
"####,##%#(%
"$# #
" #
$ &% #
" #
& $ "$'&都是正整数#!
'!计算!
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#%
"'#"
'$#
#%
"##"###
'$#'%
"$#"%$#
$$%#%
"+#"$'#
&$$&,!%
"(#%$$"%'$#
#!
- 组
!!填空!
"!# #
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# #%#
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"'# '
" #
# $%'
"!!#$
"##.$%#
"!!#$
"$# "
#
)#
(
)
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"!!#!
'!设$%&是正整数%计算!
"!#"+/#
&$
"'#"*$#
+$
"##"./#
&$
"$# '
" #
$ &$
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&&$&$
"(#"(
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##
$!
#!计算!
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$&#','"###
'&"#'#
'$
"'##"%'#
'&%#)%&"%'#
#!
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
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第八章!!"#$%
!"
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! 组
"!!""将!"##"
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$ &'$(#求&!
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计算%)*+,$-)!
小明认为%)*+,$-)'#
$
%*+,$- )%马上得出结果为"!你认为他这样
计算有道理吗&
一般地%如果'是正整数%# $
"# ''"'#'成立吗&
"!观察下面的运算过程%指出每步运算的依据!
!#&*.$
$
'#&*.$'#&*.$!#!!!!!$
'#&*&$'#.*.$!#!!!!!$
'&$*.$!
#!!!!!$
$!按照上面的方法%完成下面的填空!
# $
"# $'
(
# $
"# &'
!
&!试着归纳)如果'是正整数%# $
"# ''
!
一般地%若'是正整数%则有
!!!!! !!!#"#$
'
'#"#$'#"#$'*'#"#
"
#
$$
'个"#
'#"'"'*'
"
#
$
"
'个"
$'#
#'#'*'
"
#
$
#
'个#
$
'"'#'!
!
运用这个性质
可以直接进行积的
乘方运算!
!!""
#!!#"#!#是正整数"$
积的乘方#等于各因式乘方的积!
Ｂ!
１．（１）（犪＋犫）８．
（２）（２狓＋狔）６．
２．（１）犿＝４．　（２）８１９２．
ZÁ·¸
１．åG,ØL，år
õζ(oô¶，åG,
ØL．２．（犪犫）·（犪犫）＝（犪·
犪）·（犫·犫）＝犪２犫２．
（犪犫）·（犪犫）·（犪犫）＝
（犪·犪·犪）·（犫·犫·犫）＝
犪３犫３．３．犪狀犫狀．
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛
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１．RS35%Wñ,'ƒ．st˜³%”—R“犪犫
（）狀>Êêë？”，óƒúvw²!Æ
^，YÄ·¸，ú=^|µ¶，Åá²X，ÃYĵ¶．ø%”Ïù\¸RS,SUH，wû\
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２．™Czê5æ½å(æ,åG€l‰RS,·¸Ïµ，€É,“ZÁ·¸”ÍÎ，ìF
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３．“§¾¿¿”,ÍÎì˜ø%”—ƲX，Ã2åroô¶Yĵ¶．
４．e３¯,（３）（４）（５）3Zô72zê5æ½å、æ,åG(Ë,åG,SD，%”.
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］狀＝
（犪犫）狀犮狀＝犪狀犫狀犮狀．
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１．（１）k/O，8)：
（２犪）２＝２２·犪２＝４犪２；
（２）k/O，8)：
犪犫２
（）３＝犪３·犫２（）３＝
犪３犫６；
（３）k/O，8)：
－３犪２
（
）３＝（－３）３·
犪２
（）３＝－２７犪６；
（４）k/O，8)：
２犪犫２
（）２＝２２·犪２·
犫２（）２＝４犪２犫４．
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数学!七年级下册
!!对三个或三个以上因式积的乘方!积的乘方的性质是否也成立"
例#!计算#
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"&!!!!!!! $"%$#"#%
#&
$#%$$"#"%
#&
$%%$$!$
#%
"&
$&%$"""%
#'$$#"#%
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"'""%
解#$!%$"!%
"(""'!"(%!"%
!
$!$
# 的系数
是$!%
$"% #
$
%
"# #(##"###(")"###%
$#% $"#
$
%
" #($
%
$" # #
$ %
" #($*#+%
$%%$$!$
#%
"( $$!%
"'!"'$
$
#%
"(!"$
+%
$&%!$"""%
#'$$#"#%
"'$""%
"'""
("#'$""%
#'$$#%
"'$"#%
"'$""%
"'""
(*"+',"+'"%'""
(*"+',"+'"+
(!*"+%
例"!球体表面积的计算公式是&(%!'"%地球可以近似地看成一个球体!
它的半径'约为+-#).!/+0%地球的表面积大约是多少平方米" $!
取#-!%%
解#&(%!'"
(%.#-!%.$+-#).!/+%
"
(%.#-!%.+-#)".!/!"
"&-!/.!/!%$0"%%
答#地球的表面积大约是&-!/.!/!%0"%
!!!%下列各式的计算是否正确" 如果不正确!请改正过来%
$!%$""%
"("""&!!!!!!$"%$"#"%
#("##"&
$#%$$#""%
#($,"%&
$%%$""#"%
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欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
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第八章!!"#$%
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（３）－狓６狔９；　（４）－２４３狓８．
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２．（１）－犿３狀６；　（２）狓１２；
（３）４犪４犫８；　（４）－３狓４．
３．（１）８狓６；　（２）２犪３犫６．
Ｂ!
１．（１）５；　（２）－１；
（３）１０６．
２．狓＝４．
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２．犪犿－狀．
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数学!七年级下册
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（３）k/O，8)：１５．
（４）k/O，8)：
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（－３）４＝１８１．
２．（１）１０５；　（２）１９；
（３）１１００．
３．（１）犪２；　（２）１．
４．（１）０；　（２）５４．
Ｂ!
１．（１）狓５；　（２）１．
２．（１）（狓－２狔）犿－５；
（２）犪犫．
３．（１）２５；　（２）犪８．
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数学!七年级下册
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第八章!!"#$%
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!!整式包括单项式和多项式!因此!整式乘法可分为单项式与单项式
相乘"单项式与多项式相乘和多项式与多项式相乘!
根据乘法的运算律和同底数幂相乘的运算性质计算!
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!!一般地%我们有!
!!单项式与单项式相乘!把它们的系数"相同字母的幂分别相乘!其
余字母连同它们的指数作为积的一个因式!
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６犪２．（２）（２×３）·（犪·犪）·
犫，６犪２犫．
（３）（４×５）·（狓·狓２）·
（狔·狔），２０狓３狔２．
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
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（２）k/O，４犪７．
（３）k/O，１０狓３．
（４）k/O，１２犪６．
２．（１）－２狓３狔；
（２）－１２犪３犫２犮；
（３）－１８狓５狔４；
（４）－１２犪５犫２犮２．
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１．（１）犪３犫；　（２）６犪３犫犮２；
（３）５２狓２狔３；
（４）－２狓４狔３狕．
２．（１）－犪６；　（２）－２狓４狔４；
（３）３犿２狀３；　（４）２犪６犫４．
３．（１）犪３犫；　（２）犪３犫４；
（３）８狓３狔５；　（４）－１３狓４狔５．
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数学!七年级下册
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（２）72€‰78¶ƒ，ÁH{,OŒ6刌69Cêë78？
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１．（１）１６犪２犫２－８犪犫３－８犫４；
（２）２犪２犫２－４犪犫３．
２．２狓２－２狓－狔２＋２狔，２４．
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１．（１）１２狓３狔－６狓２狔２；
（２）６犪３－３犪２＋６犪；
（３）１２犪３犫２＋８犪２犫３－４犪２犫２；
（４）－３狓２狔＋２狓狔＋４狓狔２．
２．（１）犪２＋２犪犫＋１２犫２；
（２）３犪２－３犪－３；
（３）２狓３狔２－狓４狔２＋狓２狔２．
３．－犪２犫２－２犪２犫＋４犪犫２－
２犪犫，－２０．
４．狓＝－５．
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第八章!!"#$%
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#!计算下列物体的体积和表面积!
!第#题"
!图& ' (
张伯伯准备把长为$ )#宽为")的长方
形鱼塘进行扩建#使得长再增加%)#宽再增加
#) !图& ' ("!
"!试用不同的方法表示扩建后鱼塘的面积!
#!对于扩建后鱼塘的面积得到了下面四种结果$
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请你结合图& ' (对这些结果给出合理的解释!
(!!$$%"!"$#"是两个多项式相乘#用分配律说明下面的等式成立$
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多项式与多项式相乘是怎样化为单项式与单项式相乘的&
!!多项式与多项式相乘!先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的
每一项!再把所得的积相加!
多项式与多项式相乘的过程可以示例为$
Ｂ!
１．犪３犫．
２．FàPQ：３π狉３＋３π狉２；
FàR˜Q：８π狉２＋６π狉．
AàPQ：８犪３－２犪２；
AàR˜Q：２８犪２－６犪．
ZÁ·¸
１．z２¯ûÇop．
２．|．
３．（犿＋狀）（犪＋犫）
＝（犿＋狀）犪＋（犿＋狀）犫
＝犿犪＋狀犪＋犿犫＋狀犫．
†（犿＋狀）（犪＋犫）
＝犿（犪＋犫）＋狀（犪＋犫）
＝犿犪＋犿犫＋狀犪＋狀犫．
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欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛
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6刌6,rº，¼CˆŒ6刌6¢COŒ6刌6．1l，ì56%”Wñ：
（犿＋狀）（犪＋犫）3éܐ¢（犿＋狀）犪＋（犿＋狀）犫†犿（犪＋犫）＋狀（犪＋犫）,？‡Ïù3Ð,
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１．（１）２狓２－８；
（２）３犪狓＋４犫狓＋６犪狔＋
８犫狔．
２．－８狓＋３，－１０１．
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１．（１）狓２－３狓＋２；
（２）狓２－狓－１２；
（３）６狓２＋５狓－４；
（４）２犪狓＋２犪狔－犫狓－犫狔．
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数学!七年级下册
例#!计算!
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犿犪＋犿犫＋狀犪＋狀犫，ÃWñ“§¾¿¿”¯,RS．ÏÄfWñ、ô1õöƒËcrº．
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２．（１）２狓２－狓狔－３狔２；
（２）１６狓２－８狓狔－３狔２；
（３）狓２＋２狓狔＋狔２；
（４）犪２－犿２．
３．（１）２犪＋２；
（２）７狓＋４．
４．（１）狓＝６５；
（２）狓＝１．
５．（１０犪＋１０犫＋１００）ｍ２．
６．狓狔－２犪狓－２犫狔＋４犪犫．
Ｂ!
１．（１）犪３＋犫３；
（２）犪３－犫３．
２．（１）犪３＋３犪２犫＋３犪犫２＋犫３；
（２）犪３－３犪２犫＋３犪犫２－犫３．
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
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１．（１）狓２－１．
（２）犪２－４．
（３）４狓２－１．
（４）犪２－犫２．
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（２）•（１）¯12qÐ
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•（２）¯12qÐ,ŠË
9（犪＋犫）（犪－犫），lqÐ
ŠË½>，Ü（犪＋犫）（犪－
犫）＝犪２－犫２．
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!!在进行多项式与多项式相乘时!往往会遇到一些特殊形式的多项式
相乘!其结果也很特殊!我们把它们作为乘法公式直接使用!
由多项式的乘法!得
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$!%#""$!"%!#$!#%!
两个二项式相乘!一般应有四项!那么两个二项式具备什么特征!合并
同类项后的结果是一个二项式呢$
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%!上面四个式子中!两个乘式之间有什么特点$
&!乘积合并同类项后是几项式$ 这个多项式有什么特点$
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两个数的和与这两个数的差的积#等于这两个数的平方差#
这个公式叫做平方差公式!
!!如图( ) #"##!在一个边长为"的正方形中!剪去一个边长为#的小
正方形!再将余下的部分剪拼成一个长方形"图( ) #"%##!
"##两个图形"着色部分#的面积之间有什么关系$
"%#请你结合图形!对平方差公式"!
"
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# ""%$#%进行解释!
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櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
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第八章!!"#$%
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图# $ !
!!按要求填写下面的表格#
算!式
与平方差公式
中!对应的项
与平方差公式
中"对应的项
写成$!"%
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犿２犿２－２２犿２－４
２犿３（２犿）２－３２４犿２－９
２狔狓（２狔）２－狓２４狔２－狓２
１３狔１２－（３狔）２１－９狔２
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１．（１）狓２－４；
（２）狓２－４狔２；
（３）９犿２－４狀２；
（４）９犫２－１６犪２．
２．（１）９９９９９６；
（２）１５９９７５．
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１．（１）k/O，４狀２－犿２．
（２）k/O，犪２－犫２．
２．（１）９狓２－１６；
（２）１６犫２－９犪２；
（３）９１６犪２－１９犫２；
（４）犪４－１４犫４．
３．（１）９９９９．
（２）１５９９．９６．
４．（１）狓＝－８；
（２）狓＝１．Ｂ!
１．（１）２０２－１，３０２－１，
４０２－１，５０２－１．
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&#用平方差公式计算#
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(#下列各式的计算是否正确! 如果不正确"请改正过来#
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!#用平方差公式计算%
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)#解下列方程%
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（２）（１０狀－１）（１０狀＋１）
＝１０狀
（）２－１
（狀＝１，２，３，…，９）
２．¢Â＝２８－１＝２５５．
３．"12#²Ù&S')
２狀－１P２狀＋１，*
（２狀＋１）２－（２狀－１）２＝
８狀．
ÛÜ２狀－１Ý２狀＋１&
'.Ñ3８&ß'．
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（１）H6＝犪２－２犪犫＋
犫２，犪＋（－犫）
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］２＝犪２－
２犪犫＋犫２．op½z．
（２）“3giqŒ6，
€öZŒ“3gi6，õ
<Œ,¤5É9½f5．
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１．（犪＋犫）２，
犪２＋２犪犫＋犫２．
２．…P9犪＋犫,ú
G¡,ŠË，>ʅPÐ
™9犪(犫,l‰ªúG
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P9犪，09犫,PG¡
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１．uÊ“ZÁ·¸”．
RS（１）‹F%”ÄfÅ¢，ú¯wûl‰ÅSgG«6°±,£¤．
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8uÛ,@）？78op™éÜ,@？$%¯‹GM€‰UH，¦l，þì/Y%”W
@^_，>ì/Y%”9:;<•–,—˜．
２．uÊ“/0©Wñ”，V‹F%”/0•¡，;]ŠË，D¤«6，€Üì4újVŸ 
¯Þ9¡Û/EFl5(,gG«6．
３．“ÝZÝ”3u«6¯犪，犫,KL,YZ[%D：Óüì43vw,5，Vì43Z‰
—ë，nì43Z‰=56，w|Cår«6“FÇáZ„”,WX．
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２狓３４狓２＋１２狓＋９
犿２狀犿２＋４犿狀＋４狀２
２犫犮４犫２－４犫犮＋犮２
３犿２９犿２－１２犿＋４
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１．（１）犪２＋２犪＋１；
（２）４犪２－４犪＋１；
（３）９犪２＋６犪犫＋犫２；
（４）４狀２－狀＋１１６；
（５）４狀２－８３犿狀＋４９犿２；
（６）４狓２＋４３狓狔＋１９狔２．
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数学!七年级下册
!!填写下面的表格!
算式
与公式中!
对应的项
与公式中"
对应的项
利用公式
得出计算结果
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方法吗!
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櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
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第八章!!"#$%
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!!用完全平方公式计算!
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"!下列各式的计算是否正确! 如果不正确"请改正过来!
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*!用完全平方公式计算%
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+!一个正方形"如果边长增加*-"它的面积就增加
*#-!!求这个正方形的边长!
,!三个圆的位置如图所示"$"%分别是两个较小的圆
的直径"$'%是最大的圆的直径!求图中阴影部分
的面积!
. 组
"!计算%
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*!在计算",/","!,/!,"'"#,/#,时"小明是这样做的%
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!,/!,(!/*/"%%'!,(0!,"
*,/*,(*/+/"%%'!,("!!,"
!!!!!!(
请你运用整式乘法的有关知识说明小明做法的正确性!
２．（１）¢Â＝（１００－２）２
＝１００２－２×１００×２＋２２
＝９６０４．
（２）１０２０１．
T S
Ａ!
１．（１）k/O，
犪２＋２犪犫＋犫２．
（２）k/O，
犪２－２犪犫＋犫２．
（３）k/O，
犪２－２犪犫＋犫２．
（４）k/O，
犪２＋２犪犫＋犫２．
２．（１）１１６犿２－犿狀＋４狀２．
（２）４狓２＋２０狓＋２５．
（３）９狔２－２４狔＋１６．
３．（１）¢Â＝（２００＋１）２
＝２００２＋２×２００×１＋１２
＝４０４０１．
（２）８０６４０４．
４．"1#/.“&”•)
狓ｍ，*（狓＋３）２－狓２＝
３９，M（狓＋３＋狓）（狓＋３－
狓）＝３９，３（２狓＋３）＝３９，
２狓＋３＝１３，狓＝５（ｍ）．
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
　6：1#/.“&”•)５ｍ．
５．１２π犿狀．
Ｂ!
１．（１）２０狓；　（２）犪２＋２犪犫＋犫２－犮２；　（３）犪２－犫２＋２犫犮－犮２．
２．（１）犪２＋犫２＋犮２＋２犪犫＋２犫犮＋２犪犮；　（２）犪４－２犪２犫２＋犫４．
３．（１０狀＋５）２＝１００狀２＋１００狀＋２５＝１００狀（狀＋１）＋２５．
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第八章!!"#$%
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!
!!我们经常会遇到一些较大的数或较小的数!这些数读写都很不方便!
这就需要一种新的记数方法"""科学记数法!下面!我们将学习用科学
记数法表示数!
观察下面问题中出现的数!
!""据我国第六次人口普查的统计数据#到#$"$年"$月底#我国人口
约为"%&$$$$$$$人#其中城镇人口约为'''$$$$$$人!
!#"人体红细胞的平均直径为$($$$$$&&)!
!%""!*!微秒"+$($$$$$"*!
!,"纳米是长度单位#"-)!纳米"+$($$$$$"))!
像"%&$$$$$$$这样的大数和$($$$$$"这样的小数#怎样表示更简单
些呢$
我们可以借助于"$的幂的形式来表示这些数!如%
"%&$$$$$$$+"(%&."$/#
'''$$$$$$+'(''."$0#
$($$$$$&&+&(&."$1'#
$($$$$$"+"."$1'!
为了记数方便和表示形式的规范#我们作如下规定%
把一个较大的数或较小的数写成"."$#!"""#"$##为整数"的形式#这
种记数方法叫做科学记数法!*234-53632-758537-"!
例#!用科学记数法表示下列各数%
!""%9"9$$$&!!!!!#""$%$$$$$&
!%"$($$$$$9&
!,"$($$$$$$$"#!
解%!""%9"9$$$+%(9"9."$$$$$$+%(9"9."$'!
!#""$%$$$$$+"($%."$$$$$$$+"($%."$&!
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欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛
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2-%–5r;]Z‰5×，G83cÆ１０,Õ5，¢Ýr¡e１\ܼì4C．=Ï
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１．３．５×１０５，　２．４×１０６，
５．０６×１０５，　１×１０８．
２．９×１０－９，　５．７×１０－４，
１．０９×１０－６．
３．１×１０－９．
４．１．５６×１０－６．
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数学!七年级下册
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例#!光年是一个长度单位#是指光行走一年的距离#一般被用于计算恒星间
的距离*
!'"已知光的速度约为!&'"$./$0#如果按'年为!)$天#每天为
-#)+&'"+0计算#'光年约等于多少千米%
!,"太阳系以外离地球最近的恒星是比邻星#它与地球的距离大约为
!#11&'"'!./*比邻星与地球的距离约合多少光年%
!
结果用科学记
数法表示*
解&!'"!!&'"$&-#)+&'"+&!)$
%1+)"#-&'"1
"1#+)&'"',!./"#
!,"!!#11&'"'!
1#+)&'"',
""#+,,&'"
%+#,,!光年"*
答&'光年约等于1#+)&'"',./#比邻星与地球的距离约合+#,,光年*
!!'*用科学记数法表示下列各数&
!$""""#,+"""""#$")"""#'""""""""*
,*用科学记数法表示下列各数&
"#""""""""1#"#"""$2#"#"""""'"1*
!*纳米技术是能够操作细小到"#'3/!'""3/物件的一类高新技术*
纳米是长度单位#'3/ 等于"#""""""""' /*请用科学记数法表示
"#""""""""'*
+*在人体内#某种细胞的直径是"#"""""'$)/*请用科学记数法表
示"#"""""'$)*
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
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第八章!!"#$%
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"!用科学记数法表示下列各数!
""##$%%%%%$!!!!!!"##""%%%%%%%!
#!用科学记数法表示下列各数!
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"##%&%%%%%%"#'$
"(#%&%%%%%%%)"($
"$#%&%%%%%%%%%((!
(!请你用科学记数法表示下列横线上的数!
""#地球得到太阳释放出的能量%相当于全世界所有电站总发电量的
"%%%%%倍!
"##人的大脑皮层约有"$%%%%%%%%%个神经细胞"神经元#!一个人如
果活"%%岁%经常使用的脑神经细胞只不过有"%%%%%%%%%多个!
"(#在标准状况下%空气的密度是%&%%"#*(+&,-(!
. 组
"/某圆形湖面的半径为01"%(-%请计算湖面的面积/"!取(&"$#
#/太阳可以近似地看成球体/已知太阳的半径约为2&*21"%) -%太阳的
体积大约是多少' "!取(&"$%"3$
(!#(%其中%"%#分别为球的体积
与半径/#
(/光的速度约为(1"%04-&5%太阳光照射到地球上大约需要01"%#5/地
球与太阳的距离大约是多少'
T S
Ａ!
１．（１）２．４×１０６；
（２）１．１×１０８．
２．（１）１．１２×１０－９；
（２）１．２７×１０－７；
（３）８．１３×１０－８；
（４）３．３×１０－１０．
３．（１）１×１０５．
（２）１．４×１０１０，１×１０９．
（３）１．２９３×１０－３．
Ｂ!
１．７．８５×１０７ｍ２．
２．１．４１×１０２７ｍ３．
３．１．５×１０８ｋｍ．
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛
　　
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de©fW,àÉTá，
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数学!七年级下册
!!一!知识结构
二!总结与反思
!!幂的运算性质是从特殊到一般归纳得到的!
"!整式相乘的结果仍然是整式!整式相乘的过程!实质是利用分配律!
逐步向单项式乘单项式转化的过程!如
"#
"
#
# $#
"
#
% $" $#
"
#
% ##$#
"
#
% $"$#"%##$##%!
%!利用乘法公式进行整式的乘法运算时!因为公式中的字母可以是数或字
母!也可以是一个整式!所以!在使用公式时!要注意符合公式的结构特征!
&!同底数幂相乘的性质是
$
同底数幂相除的性质是
$
幂的乘方的性质是
$
积的乘方的性质是
!
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛櫛欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
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１．56%”u+#žF,-‡£¤YÄáo．
+#-.`a™æ,78À(«6årlqÐ，æ,78À>ìÐ9zê5½å、
zê5½O、Ë,åG(æ,åG，«6årìÐ9OŒ6åOŒ6、OŒ6刌6(ˆ
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２．56%”u+#žF<?,WXGrYė^Ëc．
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第八章!!"#$%
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!
三!注意事项
!!运用乘法公式进行计算时!有时需要对相乘的多项式进行变形!使
其符合公式的条件!
"!在幂的运算性质中!在规定"#$!!"%#$!
"#时!要求""#!
& 组
!!计算!
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"(#"%$(#
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"!#'"('"''#%'""(''"#$
! "第*题#
""#"''"#
"%'"'%"#$
"(#)"'%"#
"%""''(#""'%(#$
")#"!'("#"!%("#'"!'("#
"!
*!计算图中阴影部分的面积!
+!某种电子计算机每秒可进行)0!#-次运算!
它工作*0!#"1%可进行多少次运算&
*TS
Ａ!
１．（１）犪犿＋狀＋２；　（２）犪６；
（３）犿６；　（４）－８犪６犫３；
（５）犪７；　（６）狓３．
２．（１）－１８狓３；
（２）６犪３犫２；
（３）－３狓３狔２；
（４）犪犫＋犪犮－２犪；
（５）－２狓２－狓．
３．（１）狓２－狓－６；
（２）４犪２－４犪犫－１５犫２；
（３）１２狓２＋７狓－１０；
（４）２犪犮＋４犪犱＋犫犮
＋２犫犱；
（５）２５狓２－狔２；
（６）－１９狓２＋１３狓狔－
１４狔２；
（７）４犪２＋２犪犫＋１４犫２；
（８）４９犮２－２３犮犱＋１４犱２．
４．（１）－狓２；　（２）６狓＋４；
（３）－１６狓＋２５；
（４）６犪＋２．
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
５．６犪２＋６犫２＋１１犪犫－犪＋２犫＋１．
６．２×１０１２?．
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３０１
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７．１８３５T．
８．（１）犪－犱，
π４（２犪－犱）犱．
（２）１６．４８５ｃｍ２．
９．（１）１×１０８；
（２）１．５２４×１０８；
（３）９．０７５×１０－６；
（４）６．３×１０－１１．
Ｂ!
１．犪２＋犫２＋犮２－２犪犫
－２犫犮＋２犪犮．
２．犪犫＝２．
３．狓２＋狔２＝５２．
４．狆＝－犪－犫．
５．1ÎÏ­/犪２＋犫２＋
２犪犫＝１，犪２＋犫２－２犪犫＝
２５，01#UÀ犪２＋犫２
P犪犫&.V!­/犪２
＋犫２＝１３，犪犫＝－６，À
3犪２＋犫２＋犪犫＝７．
６．"WK&/.“&”•
)狓ｃｍ，*
狓２－２０－４狓
４
（
）
２＝５．
0/狓＝３．2öXY&
•Z[)１２ｃｍP８ｃｍ．
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁
Ｃ!
１．９９９×９９９＋１９９９＝（１０００－１）２＋１９９９＝１００００００－２０００＋１＋１９９９＝１００００００．
２．（１）（狓＋１）（狓＋２）（狓＋３）＝狓３＋６狓２＋１１狓＋６．
（２）狓２&Z'＝１＋２＋３，狓&Z'＝１×２＋１×３＋２×３．
３．８１４－２７５－９７＝（３４）４－（３３）５－（３２）７＝３１６－３１５－３１４＝５×３１４，ÛÜ1#'ùè５ÆJ．
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