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让更多的孩子得到更好的教育
《相似》全章复习与巩固--知识讲解（提高）
责编：康红梅
【学习目标】
1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段；
2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、 对
应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方，探索并掌握相似三角形
的判定方法，并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题；
3、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位
似变换后点的坐标的变化；
4、结合相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养推理能力，发展逻辑思维能力
和推理论证的表达能力，以及综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、相似图形及比例线段
1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).
要点诠释：
(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；
(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两
个图形全等；
2.相似多边形
如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．
要点诠释：
（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．
（2）相似多边形对应边的比称为相似比.
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3. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如
a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
要点诠释：
（1）若a:b=c:d ，则ad=bc；（d 也叫第四比例项）
（2）若a:b=b:c ，则
2
b =ac（b 称为a、c 的比例中项）．
要点二、相似三角形
1. 相似三角形的判定:
判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相
似.
判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.
判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两
个三角形相似.
要点诠释：
此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个
角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.
判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两
个三角形相似.
要点诠释：
要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直
角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.
2. 相似三角形的性质：
（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；
（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比；
相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.
(3) 相似三角形周长的比等于相似比；
（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
3.相似多边形的性质：
（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似多边形的周长比等于相似比．
（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．
要点三、位似
1.位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一
点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
2.位似图形的性质:
（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；
（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.
要点诠释：
(1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构
成位似图形.
（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点
为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k.
要点四、黄金分割
1.定义：如图，将一条线段AB 分割成大小两条线段AP、PB，若小段与大段的长度之比等于大
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段的长度与全长之比，即
AB
AP
AP
PB
（此时线段AP 叫作线段PB、AB 的比例中项），则P 点就是
线段AB 的黄金分割点（黄金点），这种分割就叫黄金分割．
2.黄金三角形：顶角为36°的等腰三角形，它的底角为72°，恰好是顶角的2 倍，人们称这
种三角形为黄金三角形．
黄金三角形性质：底角平分线将其腰黄金分割．
要点五、射影定理
在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于D，
∴△ABC∽△ACD∽△CBD（“角角”）
∴
BD
AD
CD
2
；
AB
AD
AC
2
；
AB
BD
BC
2
（射影定理）；
CD
AB
BC
AC
（等积）．
【典型例题】
类型一、相似三角形
【高清课堂:相似专题复习 高清ID 号： 394502
关联的位置名称（播放点名称）：例1-2】
1. 已知：如图，∠ABC=∠CDB=90°，AC=a，BC=b，当BD 与a、b 之间满足怎样的关系时，
这两个三角形相似？
【答案与解析】
∵AC=a，BC=b，
∴AB=
2
2
a
b
，
①当△ABC∽△BDC 时，
BD
BC
AB
AC
,
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即
2
2
b a
b
BD
a
.
②当△ABC∽△CDB 时，
BD
BC
CB
AC
，
即
2
b
BD
a
.
【总结升华】相似三角形中未明确对应点和对应边时，要注意分类讨论.
举一反三
【变式】如图，在矩形ABCD 中，AB=6，BC=8,沿直线MN 对折，使A、C 重合，直线MN 交AC 于O.
（1）求证：△COM∽△CBA； （2）求线段OM 的长度.
【答案】
（1）证明： A 与C 关于直线MN 对称，
∴ACMN，∴∠COM=90°，
在矩形ABCD 中，∠B=90°，
∴∠COM=∠B ，
又∠ACB=∠ACB，
∴△COM∽△CBA ，
（2）在Rt△CBA 中，AB=6，BC=8，
∴AC=10 ，∴OC=5，
△COM∽△CBA，
∴OC
OM
=
BC
AB ，
∴OM=15
4 .
2. 如图，在△ABC 中，∠C＝90°，将△ABC 沿直线MN 翻折后，顶点C 恰好落在AB 边上
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的点D 处，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝2 3 ，则四边形MABN 的面积是（ ）
A．6 3 B．12 3 C．18 3
D．24 3
【答案】C；
【解析】由MC＝6，NC＝2 3 ，∠C＝90°得S△CMN=6 3 ，
再由翻折前后△CMN≌△DMN 得对应高相等；由MN∥AB 得△CMN∽△CAB 且
相似比为1:2，故两者的面积比为1:4，从而得S△CMN：S 四边形MABN=1:3，故选C.
【总结升华】本题综合考查了直角三角形的面积算法、翻折的性质、由平行得相似的三角形
相似的判定方法、相似图形的面积比等于相似比的平方等一些类知识点.知识点丰富；考
查了学生综合运用知识来解决问题的能力.难度较大.
类型二、相似三角形的综合应用
3.（2015•上海）已知，如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O，点E 在边BC 的延
长线上，且OE=OB，连接DE．
（1）求证：DE BE
⊥
；
（2）如果OE CD
⊥
，求证：BD•CE=CD•DE．
【答案与解析】
证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，
BO=
∴
BD，
OE=OB
∵
，
OE=
∴
BD，
BED=90°
∴∠
，
DE BE
∴
⊥
；
（2）∵OE CD
⊥
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N
M
D
A
C
B
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CEO+ DCE= CDE+ DCE=90°
∴∠
∠
∠
∠
，
CEO= CDE
∴∠
∠
，
OB=OE
∵
，
DBE= CDE
∴∠
∠
，
BED= BED
∵∠
∠
，
BDE
DCE
∴△
△
∽
，
∴
，
BD•CE=CD•DE
∴
．
【总结升华】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，平行四边形的
性质，熟记定理是解题的关键．
4. （2016•杭州）如图，在△ABC 中，点D，E 分别在边AB，AC 上，∠AED=∠B，射线
AG 分别交线段DE，BC 于点F，G，且
．
（1）求证：△ADF∽△ACG；
（2）若
，求
的值．
【思路点拨】（1）欲证明△ADF∽△ACG，由
可知，只要证明∠ADF=∠C 即可．
（2）利用相似三角形的性质得到
=
，由此即可证明．
【答案与解析】
（1）证明：∵∠AED=∠B，∠DAE=∠DAE，
∴∠ADF=∠C，
∵
=
，
∴△ADF∽△ACG．
（2）解：∵△ADF∽△ACG，
∴
=
，
又∵
=
，
∴
=
，
∴
=1．
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【总结升华】本题考查相似三角形的性质和判定、三角形内角和定理等知识，记住相似三角形
的判定方法是解决问题的关键，属于基础题中考常考题型．
举一反三：
【变式】（2015•湘潭）如图，在Rt
ABC
△
中，∠C=90°，△ACD 沿AD 折叠，使得点C 落在斜边
AB 上的点E 处．
（1）求证：△BDE
BAC
∽△
；
（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD 的长度．
【答案与解析】
证明：（1）∵∠C=90°，△ACD 沿AD 折叠，
C= AED=90°
∴∠
∠
，
DEB= C=90°
∴∠
∠
，
B= B
∵∠
∠，
BDE
BAC
∴△
△
∽
；
（2）由勾股定理得，AB=10．
由折叠的性质知，AE=AC=6，DE=CD，∠AED= C=90°
∠
．
BE=AB
AE=10
6=4
∴
﹣
﹣
，
在Rt
BDE
△
中，由勾股定理得，
DE2+BE2=BD2，
即CD2+42=（8
CD
﹣
）2，
解得：CD=3，
在Rt
ACD
△
中，由勾股定理得AC2+CD2=AD2，
即32+62=AD2，
解得：AD=
．
【高清课堂: 相似专题复习 高清ID 号： 394502
关联的位置名称（播放点名称）：例7】
5. 如图，已知在梯形ABCD 中，AD//BC，AD=2，BC=4，点M 是AD 的中点，△MBC 是等边
三角形．
（1）求证：梯形ABCD 是等腰梯形．
（2）动点P、Q 分别在线段BC 和MC 上运动，且∠MPQ=60°保持不变．
设PC=x，MQ=y，求y 与x 的函数关系式．
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【答案与解析】
（1）∵
MBC
△
是等边三角形
∴
60
MB
MC
MBC
MCB
，∠
∠
∵M 是AD 中点，
∴AM
MD
，
∵AD
BC
∥
，
∴
60
AMB
MBC
∠
∠
，
60
DMC
MCB
∠
∠
，
∴
AMB
DMC
△
≌△
，
∴AB
DC
，
∴梯形ABCD 是等腰梯形．
（2）在等边
MBC
△
中，
4
MB
MC
BC
，
60
MBC
MCB
∠
∠
，
又∵
60
MPQ
∠
，
∴
120
BMP
BPM
BPM
QPC
∠
∠
∠
∠
，
∴
BMP
QPC
∠
∠
，
∴
BMP
CQP
△
∽△
，
∴
PC
CQ
BM
BP
，
∵PC
x
MQ
y
，
∴
4
4
BP
x
QC
y
，
，
∴
4
4
4
x
y
x
，
∴
2
1
4
4
y
x
x
.
【总结升华】利用相似三角形得到的比例式，构建线段关系求得函数关系，关键是能够灵活
运用所学知识来解题.
举一反三
【变式】如图所示，在Rt△ABC 中，∠A=90°，AB=8，AC=6．若动点D 从点B 出发，沿线段BA
运动到点A 为止，运动速度为每秒2 个单位长度．过点D 作DE∥BC 交AC 于点E，设动点D
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运动的时间为x 秒，AE 的长为y．
(1)求出y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
(2)当x 为何值时，△BDE 的面积S 有最大值，最大值为多少?
【答案】
(1)因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，
所以
.
又因为AB=8，AC=6，
，
，
所以
，即
，
自变量x 的取值范围为
.
(2)
.
所以当
时，S 有最大值，且最大值为6.
类型三、黄金分割
6.如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片ABCD，先折出BC 的中点E，再折出
线段AE，然后通过折叠使EB 落到线段EA 上，折出点B 的新位置B′，因而EB′=EB．类似
地，在AB 上折出点B″使AB″=AB′．这是B″就是AB 的黄金分割点．请你证明这个结论．
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【答案与解析】
设正方形ABCD 的边长为2，
E 为BC 的中点，
∴BE=1
∴AE=
2
2
5
AB
BE
，
又B′E=BE=1，
∴AB′=AE-B′E= 5 -1，
∵AB″=AB′= 5 -1
∴AB″：AB=( 5 -1):2
∴点B″是线段AB 的黄金分割点．
【总结升华】本题考查了黄金分割的应用，知道黄金比并能求出黄金比是解题的关键．
举一反三
【变式】如图，已知△ABC 中，D 是AC 边上一点，∠A=36°，∠C=72°，∠ADB=108°．
求证：（1）AD=BD=BC； （2）点D 是线段AC 的黄金分割点．
【答案】
（1）∵∠A=36°，∠C=72°，
∴∠ABC=72°，∠ADB=108°，
∴∠ABD=36°，
∴△ADB、△BDC 是等腰三角形，
∴AD=BD=BC．
（2）∵∠DBC=∠A=36°，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，
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∴BC：AC=CD：BC，
∴BC2=AC•DC，
∵BC=AD，
∴AD2=AC•DC，
∴点D 是线段AC 的黄金分割点．
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