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《整式的乘除》全章复习与巩固（提高）
【学习目标】
1. 掌握幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、多项
式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；
2. 会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行
乘法运算；
3. 掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式
简化运算；
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、幂的运算
1.同底数幂的乘法：
(
为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
2.幂的乘方：
(
为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘.
3.积的乘方：
(
为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积.
4.同底数幂的除法：
(
≠0,
为正整数，并且
).
同底数幂相除，底数不变，指数相减.
5.零指数幂：
0
1
0 .
a
a
即任何不等于零的数的零次方等于1.
6.负指数幂：
（
≠0，
是正整数）.
要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双
向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.
要点二、整式的乘法和除法
1.单项式乘以单项式
单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有
的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
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2.单项式乘以多项式
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即
mc
mb
ma
c
b
a
m
)
(
(
c
b
a
m
,
,
,
都是单项式).
3.多项式乘以多项式
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的
积相加.即
a
b
m
n
am
an
bm
bn
.
要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质
符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．
根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：
.
4.单项式相除
把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同
它的指数一起作为商的一个因式.
5.多项式除以单项式
先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.
即：(
)
am
bm
cm
m
am
m
bm
m
cm
m
a
b
c
要点三、乘法公式
1.平方差公式：
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
要点诠释：在这里，
既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同
项”的平方减去“相反项”的平方.
2. 完全平方公式：
；
2
2
2
2
)
(
b
ab
a
b
a
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的
平方和加（或减）这两数之积的2 倍.
【典型例题】
类型一、幂的运算
1、已知
，求
的值．
【思路点拨】由于已知
的值，所以逆用幂的乘方把
变为
，再代入计算．
【答案与解析】
解：∵
，
∴
．
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【总结升华】本题培养了学生的整体思想和逆向思维能力．
2、（1）已知
，比较
的大小.
（2）比较
大小。
【答案与解析】
解：（1）
，
所以
；
（2）
，
所以
【总结升华】（1）转化为同指数不同底数的情况进行比较，指数转化为6；
（2）转化成比较同底数不同指数，底数转化为3.
类型二、整式的乘除法运算
3、要使
的结果中不含
的一次项，则
等于( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】D；
【解析】先进行化简，得：
，要使结果不含x 的一次项，则x 的一次项系
数为0，即：
＝0.所以
3
a
.
【总结升华】代数式中不含某项，就是指这一项的系数为0.
举一反三：
【变式】若
的乘积中不含
的一次项，则
等于______．
【答案】
；
类型三、乘法公式
4、计算：(1)
；(2)
．
【思路点拨】（1）中可以将两因式变成
与
的和差.（2）中可将两因式变成
与
的和差.
【答案与解析】
解：(1)原式
．
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(2)原式
.
【总结升华】(1)在乘法计算中，经常同时应用平方差公式和完全平方公式．(2)当两个因式中
的项非常接近时，有时通过拆项用平方差公式会达到意想不到的效果．
举一反三：
【变式】计算：
．
【答案】
解：
．
5、已知
，求代数式
的值.
【思路点拨】将原式配方，变成几个非负数的和为零的形式，这样就能解出
.
【答案与解析】
解：
所以
所以
.
【总结升华】一个方程，三个未知数，从理论上不可能解出方程，尝试将原式配方过后就能得
出正确答案.
举一反三：
【变式】配方
，求
＝________.
【答案】
解：原式＝
所以
，解得
所以
.
6、求证：无论
为何有理数，多项式
的值恒为正数．
【答案与解析】
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解：原式＝
所以多项式的值恒为正数.
【总结升华】通过配方，将原式变成非负数＋正数的形式，这样可以判断多项式的正负.
举一反三：
【变式】证明:不论
为何值 , 多项式
的值一定小于0.
【答案】
证明：
＝
＝
∵
,
∴
,
∴ 原式一定小于0.
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