文档文本内容
《整式及其加减》全章复习与巩固（提高）知识讲解
【学习目标】
1、进一步理解用字母表示数的意义，能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示.
2、理解代数式的含义，能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，体会数学与世界的联
系.
3、会求代数式的值，能解释值的实际意义，能根据代数式的值推断代数式反映的规律.
4．理解并掌握单项式与多项式的相关概念；
5．理解整式加减的基础是去括号和合并同类项，并会用整式的加减运算法则，熟练进行整式
的加减运算、求值；
6．深刻体会本章体现的主要的数学思想----整体思想．
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、代数式
诸如：16n ，2a+3b ，34 ，，
等式子，它们都是用运算符号(＋、－、×、÷、乘方、
开方)把数和表示数的字母连接而成的，像这样的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字
母也是代数式．
要点诠释：代数式的书写规范：
（1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“· ”或省略不写；
（2）除法运算一般以分数的形式表示；
（3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；
（4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形
式；
（5）如果字母前面的数字是1，通常省略不写．
要点二、整式的相关概念
1．单项式：由数字或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单
项式．
要点诠释：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数．
（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和．
2．多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项．
要点诠释：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项．
（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．
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（3）多项式的次数是n 次，有m 个单项式，我们就把这个多项式称为n 次m 项式．
3. 多项式的降幂与升幂排列：
把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这
个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做
把这个多项式按这个字母升幂排列．
要点诠释：（1）利用加法交换律重新排列时，各项应带着它的符号一起移动位置；
（2）含有多个字母时，只按给定的字母进行降幂或升幂排列．
4．整式：单项式和多项式统称为整式．
要点三、整式的加减
1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是
同类项．
要点诠释：辨别同类项要把准“两相同，两无关”：
（1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同；
（2）“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关．
2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．
要点诠释：合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变．
3．去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都
不改变；括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改
变．
4．添括号法则：添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括号
前面是“-”，括号内各项的符号都要改变．
5．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连
接，然后去括号，合并同类项．
要点四、探索与表达规律
寻找规律并用字母表示这一规律体现了从特殊到一般和归纳、猜想的数学思想的运用.
解题中应注意先从特殊的结果寻找规律，再用字母表示，最后加以验证.
【典型例题】
类型一、代数式
1．某商场文具部的某种毛笔每支售价25 元，书法练习本每本售价5 元.该商场为促销
制定了如下两种优惠方式：第一种：买一支毛笔附赠一本书法练习本；第二种：按购买金额打
九折付款.八年级（5）班的小明想为本班书法兴趣小组购买这种毛笔10 支，书法练习本 x
（x≥10）本.
(1)用代数式分别表示两种购买方式应支付的金额.
(2)若小明想为本班书法兴趣小组购买书法练习本30 本,试问小明应该选择哪一种优惠方
式才更省钱.
【思路点拨】小明应该选择哪一种优惠方式才更省钱，是由购买的练习本的数量来确定的，把
两种方式所应付的钱数，表示成练习本数量的代数式，进而比较代数式的值的大小．
【答案与解析】
解:设买练习本x,则得两种购买方法的代数式为:
(1) 代数式分别为:
25×10+5(x-10),
(25×10+5x) ×90%
（2）把x=30 分别代入两个代数式: 25×10+5(x-10) ＝25×10+5(30-10) ＝350（元）
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(25×10+5x) ×90%＝(25×10+5×30) ×90% =360 （元）
所以选择第一种优惠方式．
【总结升华】本题这一类方案的选择问题是中考中经常出现的题目类型．
类型二、整式的相关概念
2．指出下列各式中的整式、单项式和多项式，是单项式的请指出系数和次数，是多项式
的请说出是几次几项式．
(1)
(2)5 (3)
(4)
(5)3xy (6)
(7)
(8)1+a% (9)
【答案与解析】
解：整式：(1)、(2)、(4)、(5)、(6)、(7)、(8)、(9)
单项式：(2)、(5)、(6)，其中：
5 的系数是5，次数是0；3xy 的系数是3，次数是2；
的系数是
，次数是1.
多项式：(1)、(4)、(7)、(8)、(9)，其中：
是一次二项式；
是一次二项式；
是一次二项式；1+a%是一次二项式；
是二次二项式.
【总结升华】①分母中出现字母的式子不是整式，故
不是整式；②π 是常数而不是字母，
故
是整式，也是单项式；③(7)、(9)表示的是加、减关系而不是乘积关系，而单项式中不能
有加减．如
其实质为
，
其实质为
．
举一反三：
【变式1】若单项式
与单项式
的和是单项式，那么
【答案】15
【变式2 】若多项式
是关于
的二次三项式，则
，
，这个二次三项式为 .
【答案】
类型三、整式的加减运算
3．若
是同类项，求出m, n 的值，并把这两个单项式相加.
【答案与解析】
解：因为
是同类项，
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所以
解得
当
且
时，
.
【总结升华】同类项的定义中强调，除所含字母相同外，相同字母的指数也要相同.其中，常数
项也是同类项.合并同类项时，若不是同类项，则不需合并.
举一反三：
【变式】合并同类项．
(1)
；
(2)
．
【答案】
(1)原式＝
(2)原式
．
4. 从一个多项式中减去
，由于误认为加上这个式子，得到
，试求正确答案.
【答案与解析】
解：设该多项式为A，依题意，
答：正确答案是
．
【总结升华】当整式是一个多项式，不是一个单项式时，应用括号把一个整式作为一个整体来
加减．
举一反三：
【变式1】已知A＝x2＋2y2－z2，B＝－4x2＋3y2＋2z2，且A＋B＋C＝0，则多项式C 为( )．
A．5x2－y2－z2 B．3x2－5y2－z2
C．3x2－y2－3z2 D．3x2－5y2＋z2
【答案】B
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【变式2】先化简代数式
，然后选取一个使原式有意
义的a 的值代入求值．
【答案】
．
当
时，原式＝0-0-4＝-4．
【变式3】(1) (x＋y)2－10x－10y＋25＝(x＋y)2－10(______)＋25;
(2) (a－b＋c－d)(a＋b－c－d)＝[(a－d)＋(______)][(a－d)－(______)]．
【答案】（1）x＋y； （2）－b＋c，－b＋c
类型四、化简求值
5. （1）直接化简代入
当
时，求代数式15a2－{－4a2＋[5a－8a2－(2a2－a)＋9a2]－3a｝的值．
（2）条件求值
已知(2a＋b＋3)2＋｜b－1｜＝0，求3a－3[2b－8＋(3a－2b－1)－a]＋1 的值．
（3）整体代入
(鄂州)已知
，求
的值．
【思路点拨】对于化简求值问题，要先看清属于哪个类型，然后再选择恰当的方法进行求
解.
【答案与解析】
解：（1）原式=15a2－[－4a2＋(5a－8a2－2a2+a＋9a2)－3a]
=15a2－[－4a2＋(6a－a2)－3a]
=15a2－(－4a2＋6a－a2－3a)
=15a2－(－5a2＋3a)
=15a2+5a2—3a=20a2—3a
当
时，原式=
=
=
（2）由(2a＋b＋3)2＋｜b－1｜＝0 可知：2a＋b＋3=0，b－1=0，解得a= -2，b=1.
3a－3[2b－8＋(3a－2b－1)－a]＋1
=3a－3(2b－8＋3a－2b－1－a)＋1
=3a－3(2a－9)＋1
=3a－6a+27＋1
=28—3a
由a= -2
则 原式=28—3a=28+6=34
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（3）∵
，∴
．
∵
．
所以
的值为2010．
【总结升华】整体代入的一般做法是对代数式先进行化简，然后找到化简结果与已知条件之
间的联系．
举一反三：
【变式】已知
，求代数式
的值．
【答案】
设
，则
，原式
．
又因为
＝6，所以原式
．
类型五、探索与表达规律
6. 如图，在2005 年3 月的日历上：
(1)任意圈出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个数为x，则其余两个数分别为
；
(2)用一个矩形框出四个数
，请用一个等式表示a、b、c、d 之间的关系: ；
(3)用一个十字框任意框出5 个数，设中间一个数为a，则框出的5 个数的和为 ．
【思路点拨】日历上一竖列相邻的两个数相隔7，一横行相邻的两个数相差1，据此很容易求
出本题答案．
【答案】（1）x－7，x＋7；（2） a＝b－1＝c－7＝d－8； （3）5a．
【解析】（1）（3）较简单；
（2）b 比a 大1，所以b＝a＋1；c 比a 大7，所以c＝a＋7；d 比c 大1，所以d＝c＋1．
由b＝a＋1 得a＝b－1 ①，由c＝a＋7 得a＝c－7 ②，由d＝c＋1 得c＝d－1 ③，将③代
入②得a＝c－7＝（d－1）－7＝d－8 ④．
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由①②④得：a＝b－1＝c－7＝d－8．
【总结升华】解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．
举一反三：
【变式】如图，是由边长为1 的正方形按照某种规律排列而成的：
(1)观察图形，填写下表：
(2)推测第n 个图形中，正方形的个数为_______，周长为________． (用含n 的代数式表示)
【答案】（1）
（2）5n+3， 10n+8．
类型六、综合应用
7. 对于任意有理数x，比较多项式
与
的值的大小．
【答案与解析】
解：
∵
∴无论x 为何值，
＞
．
【总结升华】本题考查整式的加减，解决此类题目的关键是熟记去括号法则，熟练运用合并同
类项的法则，这是各地中考的常考点．
举一反三：
【变式】如果关于x，y 的多项式
与
的差不含二次项，求
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的值．
【答案】
解：原式＝
＝
由题意知，则
，
∴
．
∴
．
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