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《有理数》全章复习与巩固（基础）
责编：杜少波
【学习目标】
1．理解有理数及其运算的意义，发展运算能力；了解无理数的概念，会判断无理数.
2．能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小；借助数轴理解相反数和绝对值的意
义，会求有理数的相反数与绝对值．
3．体会转化、归纳等思想；掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算并能解决简单的实
际问题．
4．会用科学记数法表示较大的数，能对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断，发展
数感．
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、有理数与无理数
1．有理数的分类：
（1）按定义分类： （2）按性质分类：
要点诠释：（1）用正数、负数表示相反意义的量；
（2）有理数“0”的作用：
作用
举例
表示数的性质
0 是自然数、是有理数
表示没有
3 个苹果用+3 表示，没有苹果用0 表示
表示某种状态
0
0 C 表示冰点
表示正数与负数的界点
0 非正非负，是一个中性数
2．无理数：无限不循环小数叫做无理数．
要点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限．无理数的小数部分不循环，不能表示
成分数的形式．
（2）目前常见的无理数有两种形式：①含π类．②看似循环而实质不循环的数，
如：1．313113111……（相邻两个3 之间1 的个数逐渐增加）．
3.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线．
要点诠释：
（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如．
（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．
4．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0 的相反数是0．
要点诠释：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是
关于原点对称的．
（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可．
（3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有
奇数个时，化简结果为负．
5．绝对值：
（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是0． 数
a 的绝对值记作a ．
（2)几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．
要点二、有理数的运算
1 ．法则：
（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相
加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0 相加，仍
得这个数．
（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ．
（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0 相乘，都得0．
（4）除法法则：除以一个不等于0 的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a· 1
b (b≠0) ．
（5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都
是正数，0 的任何非零次幂都是0．
(6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；
③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用：
（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，
－[+（－3）]=3．
（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符
号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．
（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，
则幂为正，例如：
2
( 3)
9
，
3
( 3)
27
．
2．运算律：
（1）交换律: ①加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba；
（2）结合律: ①加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc)
（3）分配律：a(b+c)=ab+ac
要点三、有理数的大小比较
比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0 大于负数，正数大
于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法．
要点四、科学记数法
把一个大于10 的数表示成
10n
a
的形式（其中1
10
a
，n 是正整数），此种记法叫做科
学记数法．例如：200 000=
5
2 10
．
【典型例题】
类型一、有理数与无理数的相关概念
1．若一个有理数的：(1)相反数；（2）倒数；(3)绝对值；(4)平方；(5)立方，等于它本身．则这
个数分别为(1)________；(2)________；(3)________；(4)________；（5）________．
【答案】（1）0； (2)1 和-1；(3)正数和0；(4)1 和0；(5)-1、0 和1
【解析】根据定义，把符合条件的有理数写全．
【总结升华】要全面正确地理解倒数，绝对值，相反数等概念．
举一反三：
【高清课堂：有理数专题复习 357133 概念的理解与应用】
【变式】(1)
3
2
1
的倒数是 ；
3
2
1
的相反数是 ；
3
2
1
的绝对值是 ；
-（-8）的相反数是 ；
2
1
的相反数的倒数是_____.
(2)某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落，规定上涨记为正，则-5．8 元的意义是
_
；
如果这种油的原价是76 元，那么现在的卖价是 ．
(3) 上海浦东磁悬浮铁路全长30km，单程运行时间约为8min,那么磁悬浮列车的平均速度用科学
记数法表示约为 m／min．
(4) 若a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，则
)
(
3
2
3
b
a
cd
____ ．
（5）下列各数：2
，0， 0.23，22
7 ，0.3000333…，中无理数个数为 个．
【答案】（1）
3
5
；
2
13 ；
2
13 ；-8；2 （2）降价5．8 元，70．2 元；（3）
3
3.75 10
；（4）3；（5）2．
2．（2015 春•射洪县月考）如果|x+3|+|y﹣4|=0，求x+2y 的值．
【思路点拨】根据非负数的性质，可求出x、y 的值，然后将x、y 的值代入代数式化简计算即可．
【答案与解析】
解：∵|x+3|+|y﹣4|=0，
∴x+3=0，y﹣y=0，
解得，x=﹣3，y=4，
x+2y=﹣3+4×2=5．
【总结升华】本题考查了绝对值的性质和非负数的性质，掌握有限个非负数的和为零，那么每一个
加数也必为零是解题的关键．
3．在下列两数之间填上适当的不等号：
2005
2006 ________ 2006
2007 ．
【思路点拨】根据“a-b＞0，a-b＝0，a-b＜0 分别得到a＞b，a＝b，a＜b”来比较两数的大小．
【答案】 ＜
【解析】法一：作差法
由于2005
2006
2005 2007
2006 2006
1
0
2006
2007
2006 2007
2006 2007
，所以2005
2006
2006
2007
法二：倒数比较法：因为
2006
1
1
2007
1
1
2005
2005
2006
2006
所以
2005
2006
2006
2007
【总结升华】比较大小常用的有五种方法，要根据数的特征选择使用．
举一反三：
【变式】比较大小：(1)
1
99
________0．001； (2)
2
3
________-0．68
【答案】（1）＜ （2）＞
类型二、有理数的运算
4．（2016•厦门）计算：
．
【思路点拨】原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果．
【答案与解析】
解：原式=10+8×
﹣2×5
=10+2﹣10
=2．
【总结升华】有理数的混合运算首先弄清运算顺序，先乘方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号
里边的，同级运算从左到右依次进行计算，然后利用各种运算法则计算，有时可以利用运算律来简
化运算．
举一反三：
【变式】计算：（1）
1
1
( 2)
( 2)
2
2
（2）
2006
4
2
6 10
3
1
【答案】（1）
1
1
1
( 2)
( 2)
( 1)
( 2)
( 1) 2 ( 2)
4
2
2
2
（2）
2006
4
2
6 10
3
1
=-16+4-3×1
=-15
类型三、数学思想在本章中的应用
5．（1）数形结合思想：有理数a 在数轴上对应的点如图所示，则a，-a，1 的大小关系．
A．-a＜a＜1 B．1＜-a＜a C．1＜-a＜a D．a＜1＜-a
（2）分类讨论思想：已知|x|＝5，|y|＝3．求x-y 的值．
（3）转化思想：计算：
3
1
35
(
)
14
7
【答案与解析】
（1）将-a 在数轴上标出，如图所示，得到a＜1＜-a，所以大小关系为：a＜1＜-a．
所以正确选项为：D．
（2）因为| x|＝5，所以x 为-5 或5
因为|y|＝3，所以y 为3 或-3．
当x＝5，y＝3 时，x-y＝5-3＝2
当x＝5，y＝-3 时，x-y＝5-(-3)＝8
当x＝-5，y＝3 时，x-y＝-5-3＝-8
当x＝-5，y＝-3 时，x-y＝-5-(-3)＝-2
故（x-y）的值为±2 或±8
（3）原式=
3
3
1
35
( 7)
35 7
7
246
14
14
2
【总结升华】在解题中合理利用数学思想，是解决问题的有效手段．数形结合——“以形助数”
或“以数解形”使问题简单化，具体化；分类讨论中注意分类的两条原则：分类标准要统一，而
且分类要做到不重不漏；转化思想就是把“新知识”转化为“旧知识”，将“未知”转化为
“已知”．
举一反三：
【变式】（2015•宁德）有理数a，b 在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式正确的是（ ）
A．a+b＜0
B．a﹣b＜0
C．a•b＞0
D．
＞0
【答案】B．
类型四、规律探索
6．将1，
1
2
，1
3
，
1
4
，1
5
，
1
6
，…，按一定规律排列如下：
请你写出第20 行从左至右第10 个数是________．
【思路点拨】通过观察题目所给的图形、表格或一段语言叙述，然后归纳总结，寻找规律．
【答案】
1
200
【解析】 认真观察可知，第1 行有1 个数，第2 行有2 个数，第3 行有3 个数，……，所以第20 行有
20 个数，从第1 行到第20 行共有1+2+3+…+20＝210 个数，所以第20 行最后一个数的绝对值应是
1
210 ；又由表中可知，凡是分母是偶数的分数是负数，故第20 行最后一个数是
1
210
，以此类推向
前10 个，则得到第20 行第10 个数是
1
200
．
【总结升华】特例助思，探究规律，这类题主要是通过观察分析，从特殊到一般来总结发现规律，并
将规律表示出来．
