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让更多的孩子得到更好的教育
《有理数》全章复习与巩固（提高）知识讲解
责编:杜少波
【学习目标】
1．理解正负数的意义，掌握有理数的概念.
2．理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的混合运算.
3．学会借助数轴来理解绝对值、有理数比较大小等相关知识.
4. 理解科学记数法及近似数的相关概念并能灵活应用；
5. 体会数学知识中体现的一些数学思想.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、有理数的相关概念
1．有理数的分类：
（1）按定义分类： （2）按性质分类：
要点诠释：（1）用正数、负数表示相反意义的量；
（2）有理数“0”的作用：
作用
举例
表示数的性质
0 是自然数、是有理数
表示没有
3 个苹果用+3 表示，没有苹果用0 表示
表示某种状态
0
0 C 表示冰点
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表示正数与负数的界点
0 非正非负，是一个中性数
2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线．
要点诠释：
（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，
如．
（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．
3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0 的相反数是0．
要点诠释：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两
点是关于原点对称的．
（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可．
（3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，
若有奇数个时，化简结果为负．
4．绝对值：
（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是
0． 数a 的绝对值记作a ．
（2)几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．
要点二、有理数的运算
1 ．法则：
（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号
两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数
同0 相加，仍得这个数．
（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ．
（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0 相乘，都
得0．
（4）除法法则：除以一个不等于0 的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a· 1
b (b≠0) ．
（5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次
幂都是正数，0 的任何非零次幂都是0．
(6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；
③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用：
（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，
－[+（－3）]=3．
（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中
积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．
（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为
偶数，则幂为正，例如：
2
( 3)
9
，
3
( 3)
27
．
2．运算律：
（1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba；
（2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc)
（3）分配律：a(b+c)=ab+ac
要点三、有理数的大小比较
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比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0 大于负
数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；
（5)倒数比较法．
要点四、科学记数法、近似数及精确度
1.科学记数法：把一个大于10 的数表示成
10n
a
的形式（其中1
10
a
，n 是正整数），此
种记法叫做科学记数法．例如：200 000=
5
2 10
．
2.近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的
长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数.
要点诠释：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入.
3.精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫
做这个近似数的精确度.
要点诠释：
（1）精确度是指近似数与准确数的接近程度.
（2）精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字．这两种的形式的意义不一样，
一般来说精确到哪一位可以表示误差绝对值的大小，例如精确到0.1米，说明结果与实际数
相差不超过0.05米，而有效数字往往用来比较几个近似数哪个更精确些.
【典型例题】
类型一、有理数相关概念
1．已知x 与y 互为相反数，m 与n 互为倒数，|x+y |+（a-1）2＝0，求a2-(x+y+mn)a+
(x+y)2009+(-mn)2010的值．
【思路点拨】(1)若有理数x 与y 互为相反数，则x+y＝0，反过来也成立．
(2)若有理数m 与n 互为倒数，则mn＝1，反过来也成立．
【答案与解析】
解：因为x 与y 互为相反数，m 与n 互为倒数，（a-1）2≥0，
所以x+y＝0，mn＝1，a＝1，
所以a2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010
＝a2-(0+1)a+02009+(-1)2010
＝a2-a+1．
∵a＝1，∴原式＝12-1+1＝1
【总结升华】要全面正确地理解倒数，绝对值，相反数等概念.
举一反三：
【高清课堂：有理数的复习与提高 357129 复习例题2】
【变式1】选择题
（1）已知四种说法：
①|a|=a 时，a>0；|a|=-a 时， a<0. ②|a|就是a 与-a 中较大的数.
③|a|就是数轴上a 到原点的距离. ④对于任意有理数，-|a|≤a≤|a|.
其中说法正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（2）有四个说法：
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①有最小的有理数 ②有绝对值最小的有理数
③有最小的正有理数 ④没有最大的负有理数
上述说法正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．②④ D．①②
（3）已知(-ab)3>0，则（ ）
A．ab<0 B．ab>0 C．a>0 且b<0 D．a<0 且b<0
（4）若|x-1|+|y+3|+|z-5|=0，则(x+1)(y-3)(z+5)的值是（ ）
A．120 B．-15 C．0 D．-120
（5）下列各对算式中，结果相等的是（ ）
A．-a6与(-a)6 B．-a3与|-a|3 C．[(-a)2]3与(-a3)2 D．(ab)3与ab3
【答案】（1）C；（2）C；（3）A；（4）D；(5)C
【变式2】（2015•呼伦贝尔）中国的陆地面积约为9 600 000km2，把9 600 000 用科学记数法
表示为
．
【答案】9.6×106．
2.（2016•江西校级模拟）如果m，n 互为相反数，那么|m+n﹣2016|=________．
【思路点拨】先用相反数的意义确定出m+n=0，从而求出|m+n﹣2016|.
【答案】2016.
【解析】解：∵m，n 互为相反数，
∴m+n=0，
∴|m+n﹣2016|=|﹣2016|=2016；
故答案为2016．
【总结升华】此题是绝对值题，主要考查了绝对值的意义，相反数的性质，熟知相反数的意义
是解本题的关键．
类型二、有理数的运算
【高清课堂：有理数专题复习 357133 有理数的混合运算】
3．(1)
2
1
1
1
4
3
6
2
3
3
2
4
(2)
5
15
3
(
)
( 1.5)
(
)
12
4
4
2
3
5
4
1
(3)
2
4
12
15
2
2
(4)
1
3
7
7
7
5
1
1
1
2.5
3
4
8
12
8
6
3
(5)
100
3
2
2
1
5
1
12
2
1
1 3
2
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【答案与解析】
解：（1）原式
2
1
1
1
11
4
3
6
2
2
3
3
2
4
12
（2）原式
5
4
3
4
2
12
15
2
3
9
（3）原式
3
1
32
( 4)
12 ( 15 16)
10
4
（4）原式
1
2
5
6
1
[1
( 2) 1
]
(
)
2
3
3
2
5
3
（5）
1
125 1 12
(
)
4
1
1 9 2
原式
3.9
【总结升华】有理数的混合运算有很多技巧，如：正、负数分别相加；分数中，同分母或分母
有倍数关系的分数结合相加；除法转化为乘法、正向应用乘法分配律：a(b+c)＝ab+ac；逆
向应用分配律：ab+ac＝a(b+c)等.
举一反三：
【变式】
（1）
2
2
5
11
7
8
3
2
[(
)
1
0.25] 199
[(
)
2]
7
14
8
9
2
3
（2）
2
3
1
5
5
1
1
5
( 1 )
(
)
(
) ( 2 )
(
)
2
9
9
2
2
9
【答案】
解：（1）
2
2
5
11
7
8
3
2
[(
)
1
0.25] 199
[(
)
2]
7
14
8
9
2
3
25
14
7
1
8
3
4
(
) 199
(
2)
49
25
8
4
9
2
9
1
1
8
3
4
3
(
) 199
(
2)
4
4
9
2
9
2
2
0
(
3)
3
2
0
3
3
1
2 3
（2）
2
3
1
5
5
1
1
5
( 1 )
(
)
(
) ( 2 )
(
)
2
9
9
2
2
9
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让更多的孩子得到更好的教育
9
5
5
5
1
5
(
)
(
)
(
)
(
)
4
9
9
2
8
9
5
9
5
1
(
) (
)
9
4
2
8
17
2 24
4. 先观察下列各式：1
1
1
1
1 4
3
4
；
1
1 1
1
4 7
3 4
7
；
1
1 1
1
7 10
3 7
10
；…；
1
1 1
1
(
3)
3
3
n n
n
n
，根据以上观察，计算：
1
1
1
1 4
4 7
7 10
…
1
2005 2008
的值．
【答案与解析】
解：原式
1
1
1 1
1
1 1
1
1
1
1
1
3
4
3 4
7
3 7
10
3 2005
2008
…
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
4
4
7
7
10
2005
2008
1
1
1
3
2008
1
2007
3
2008
669
2008
【总结升华】根据题中提供的拆项方法把每一项拆成1 1
1
3
3
n
n
的形式，然后再进行计算．
举一反三：
【高清课堂：有理数的复习与提高 例2】
【变式】用简单方法计算：
120
1
80
1
48
1
24
1
8
1
【答案】
解：原式=
1
1
1
1
1
1 1
1
1
1
1
1
5
(
...
)
2 4
4 6
6 8
8 10
10 12
2 2
4
4
6
10
12
24
类型三、数学思想在本章中的应用
5．（2014•香洲区校级二模）（1）阅读下面材料：
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点A，B 在数轴上分别表示实数a，b，A，B 两点之间的距离表示为|AB|．
当A，B 两点中有一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图（1），|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|；
当A，B 两点都不在原点时，
①如图（2），点A，B 都在原点的右边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|；
②如图（3），点A，B 都在原点的左边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣（﹣a）=|a﹣b|；
③如图（4），点A，B 在原点的两边，|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+（﹣b）=|a﹣b|；
综上，数轴上A，B 两点之间的距离|AB|=|a﹣b|．
（2）回答下列问题：
①数轴上表示2 和5 的两点之间的距离是
，数轴上表示﹣2 和﹣5 的两点之间的距离
是
，数轴上表示1 和﹣3 的两点之间的距离是
；
②数轴上表示x 和﹣1 的两点A 和B 之间的距离是 ，如果|AB|=2，那么x 为
；
③当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x 的取值范围是
．
④解方程|x+1|+|x﹣2|=5．
【答案与解析】
解：①数轴上表示2 和5 的两点之间的距离是|2﹣5|=3；
数轴上表示﹣2 和﹣5 的两点之间的距离是|﹣2﹣（﹣5）|=3；
数轴上表示1 和﹣3 的两点之间的距离是|1﹣（﹣3）|=4．
②数轴上表示x 和﹣1 的两点A 和B 之间的距离是|x﹣（﹣1）|=|x+1|，如果|AB|=2，那么x
为1 或﹣3．
③当代数式|x+1|十|x﹣2|取最小值时，
∴x+1≥0，x﹣2≤0，
∴﹣1≤x≤2．
④当x≤﹣1 时，﹣x﹣1﹣x+2=5，解得x=﹣2；
当﹣1＜x≤2 时，3≠5，不成立；
当x＞2 时，x+1+x﹣2=5，解得x=3．
故答案为：3，3，4，|x+1|，1 或﹣3，﹣1≤x≤2．
【总结升华】此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，体现
了数形结合的优点．
类型四、规律探索
6.下面两个多位数1248624…，6248624…都是按照如下方法得到的：将第1 位数字
乘以2，若积为一位数，将其写在第2 位；若积为两位数，则将其个位数字写在第2 位．对第
2 位数字再进行如上操作得到第3 位数字……，后面的每一位数字都是由前一位数字进行
如上操作得到的．当第1 位数字是3 时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前
100 位的所有数字之和是( )．
A．495 B．497 C．501 D．503
【思路点拨】多位数1248624…是怎么来的？当第1 个数字是1 时，将第1 位数字乘以2 得2，
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将2 写在第2 位上，再将第2 位数字2 乘以2 得4，将其写在第3 位上，将第3 位数字4 乘以2
的8，将8 写在第4 位上，将第4 位数字8 乘以2 得16，将16 的个位数字6 写在第5 位上，将
第5 位数字6 乘以2 得12，将12 的个位数字2 写在第6 位上，再将第6 位数字2 乘以2 得4，
将其写在第7 位上，以此类推．根据此方法可得到第一位是3 的多位数后再求和．
【答案】A
【解析】按照法则可以看出此数为362 486 248…，后面6248 循环，所以前100 位的所有数字
之和是3+(6+2+4+8)×24+6+2+4＝495，所以选A．
【总结升华】特例助思，探究规律，这类题主要是通过观察分析，从特殊到一般来总结发现规
律，并表示出来．
举一反三：
【变式】世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示，则排在第10 行从左边数第3 个位置上的数
是（ ）．
A．1
132 B．1
360 C．1
495 D．1
660
【答案】B 提示：观察发现：分子总是1，第n 行的第一个数的分母就是n，第二个数的分母是第
一个数的（n-1）倍，第三个数的分母是第二个数的分母的(
1)
2
n
倍．根据图表的规律，则第
10 行从左边数第3 个位置上的数是
1
1
10 9 4
360
．
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