文档文本内容
《整式及其加减》全章复习与巩固（基础）知识讲解
【学习目标】
1、进一步理解用字母表示数的意义，能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示.
2、理解代数式的含义，能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，体会数学与世界的联
系.
3、会求代数式的值，能解释值的实际意义，能根据代数式的值推断代数式反映的规律.
4．理解并掌握单项式与多项式的相关概念；
5．理解整式加减的基础是去括号和合并同类项，并会用整式的加减运算法则，熟练进行整式
的加减运算、求值；
6．深刻体会本章体现的主要的数学思想----整体思想．
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、代数式
诸如：16n ，2a+3b ，34 ，，
等式子，它们都是用运算符号(＋、－、×、÷、乘方、
开方)把数和表示数的字母连接而成的，像这样的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字
母也是代数式．
要点诠释：代数式的书写规范：
（1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“· ”或省略不写；
（2）除法运算一般以分数的形式表示；
（3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；
（4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形
式；
（5）如果字母前面的数字是1，通常省略不写．
要点二、整式的相关概念
1．单项式：由数字或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单
项式．
要点诠释：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数．
（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和．
2．多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项．
要点诠释：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项．
（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．
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（3）多项式的次数是n 次，有m 个单项式，我们就把这个多项式称为n 次m 项式．
3. 多项式的降幂与升幂排列：
把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这
个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做
把这个多项式按这个字母升幂排列．
要点诠释：（1）利用加法交换律重新排列时，各项应带着它的符号一起移动位置；
（2）含有多个字母时，只按给定的字母进行降幂或升幂排列．
4．整式：单项式和多项式统称为整式．
要点三、整式的加减
1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是
同类项．
要点诠释：辨别同类项要把准“两相同，两无关”：
（1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同；
（2）“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关．
2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．
要点诠释：合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变．
3．去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都
不改变；括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改
变．
4．添括号法则：添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括号
前面是“-”，括号内各项的符号都要改变．
5．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连
接，然后去括号，合并同类项．
要点四、探索与表达规律
寻找规律并用字母表示这一规律体现了从特殊到一般和归纳、猜想的数学思想的运用.
解题中应注意先从特殊的结果寻找规律，再用字母表示，最后加以验证.
【典型例题】
类型一、代数式
1．电话费与通话时间的关系如下表
通话时间a（分）
电话费b（元）
1
0.2＋0.8
2
0.4＋0.8
3
0.6＋0.8
4
0.8＋0.8
…
…
（1）试用含a 的代数式表示b；
（2）计算当a=100 时，b 的值.
【思路点拨】
（1）无论通话多长时间，都需出0.8 元，通话1 分需再出0.2 元，那么a 分需再出
0.2a 元；（2）把a=100 代入（1）得到的式子求值即可．
【答案与解析】
解：（1）通话1 分钟需在0.8 的基础上增加0.2 元，那么通话a 分，应在0.8 的基础上增加
0.2a 元，∴b=0.8+0.2a；
（2）当a=100 时，b=0.8+0.2×100=20.8．
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【总结升华】解决本题的关键是得到通话费用的等量关系：0.8+相应时间的通话费用．
举一反三：
【变式】
的意义是（ ）
A.a 与b 差的2 倍除以a 与b 的和
B.a 的2 倍与b 的差除以a 与b 和的商
C.a 的2 倍与b 的差除a 与b 的和
D.a 与b 的2 倍的差除以a 与b 和的商
【答案】B
类型二、整式的相关概念
2．指出下列各式中的整式、单项式和多项式，是单项式的请指出系数和次数，是多项式
的请说出是几次几项式．
(1)
(2)5 (3)
(4)
(5)3xy (6)
(7)
(8)1+a% (9)
【答案与解析】
解：整式：(1)、(2)、(4)、(5)、(6)、(7)、(8)、(9)
单项式：(2)、(5)、(6)，其中：
5 的系数是5，次数是0；3xy 的系数是3，次数是2；
的系数是
，次数是1.
多项式：(1)、(4)、(7)、(8)、(9)，其中：
是一次二项式；
是一次二项式；
是一次二项式；1+a%是一次二项式；
是二次二项式.
【总结升华】①分母中出现字母的式子不是整式，故
不是整式；②π 是常数而不是字母，
故
是整式，也是单项式；③(7)、(9)表示的是加、减关系而不是乘积关系，而单项式中不能
有加减．如
其实质为
，
其实质为
．
举一反三：
【变式1】(1)
的次数与系数的和是________；
(2)已知单项式
的系数是等于单项式
的次数，则m＝________；
(3)若
是关于a、b 的一个五次单项式，且系数为9，则-m+n＝________．
【答案】 (1)3 (2)1 (3)-5
【变式2】多项式
是________次________项式，常数项是________，三
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次项是________．
【答案】四，五， 1 ，
【变式3】把多项式
按x 的降幂排列是________．
【答案】
类型三、整式的加减运算
3．合并同类项：
(1)
；
(2)
．
【答案与解析】
解： (1)原式
．
(2)原式＝
．
【总结升华】同类项的定义中强调，除所含字母相同外，相同字母的指数也要相同.其中，常数
项也是同类项.合并同类项时，若不是同类项，则不需合并.
举一反三：
【变式】若
与
是同类项，则a＝________，b＝________．
【答案】 5 ， 4
4． 计算
【答案与解析】
解法1：
解法2：
【总结升华】根据多重括号的去括号法则，可由里向外，也可由外向里逐层推进，在计算过程
中要注意符号的变化．若括号前是“-”号，在去括号时，括号里各项都应变号，若括号前有
数字因数，应把数字因数乘到括号里，再去括号．
举一反三：
【变式1】下列式子中去括号错误的是( )．
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A．5x－(x－2y＋5z)＝5x－x＋2y－5z
B．2a2＋(－3a－b)－(3c－2d)＝2a2－3a－b－3c＋2d
C．3x2－3(x＋6)＝3x2－3x－6
D．－(x－2y)－(－x2＋y2)＝－x＋2y＋x2－y2
【答案】C
【变式2】(江西)化简：-2a+(2a-1)的结果是( )．
A．-4a-1 B．4a-1 C．1 D．-1
【答案】D
类型四、化简求值
5. （1）直接化简代入
已知
，
，求
的值．
（2）条件求值
(烟台)若
与
的和是单项式，则
________．
（3）整体代入
已知x2-2y＝1，那么2x2-4y+3＝________．
【答案与解析】
解：（1）5(2x2y-3x)-2(4x-3x2y)
＝10x2y-15x-8x+6x2y
＝16x2y-23x
当
，y＝-1 时，
原式＝
．
（2） 由题意知：
和
是同类项，所以m+5＝3，n＝2，解得，m＝-2，n＝2，所以
．
（3）因为
， 而
所以
．
【总结升华】整体代入的一般做法是对代数式先进行化简，然后找到化简结果与已知条件之
间的联系．
举一反三：
【变式1】(江苏常州)若实数
满足
，则
________．
【答案】3
【变式2】已知
，求
的值.
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【答案】
所以，原式=
．
类型五、探索与表达规律
6.将一张长方形的纸对折，如下图所示可得到一条折痕（图中虚线）．继续对折，对折时
每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7 条折痕，那么对折四次可以
得到 条折痕．如果对折n 次，可以得到 条折痕．
【思路点拨】对前三次对折分析不难发现每对折1 次把纸分成的部分是上一次的2 倍，折痕比
所分成的部分数少1，求出第4 次的折痕即可；
再根据对折规律求出对折n 次得到的部分数，然后减1 即可得到折痕条数．
【答案】15，2n－1
【解析】
解：由图可知，第1 次对折，把纸分成2 部分，1 条折痕，
第2 次对折，把纸分成4 部分，3 条折痕，
第3 次对折，把纸分成8 部分，7 条折痕，
所以，第4 次对折，把纸分成16 部分，15 条折痕，
…，
依此类推，第n 次对折，把纸分成2n部分，2n-1 条折痕．
故答案为：15；2n-1．
【总结升华】本题是对图形变化规律的考查，观察得到对折得到的部分数与折痕的关系是解
题的关键．
类型六、综合应用
7. 已知多项式
是否存在m ，使此多项式与x 无
关？若不存在，说明理由；若存在，求出m 的值.
【答案与解析】
解：
要使原式与
无关，则需该项的系数为0，即有
，所以
答：存在
使此多项式与x 无关，此时
的值为3.
【总结升华】一个多项式不含某项或说与某项无关，都是暗含此多项式中该项的系数为0.
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