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《平行线的证明》全章复习与巩固（提高）知识讲解
【学习目标】
1．了解定义及命题的概念与构成，并能通过证明或举反例判定命题的真假；
2. 区别平行线的判定与性质，并能灵活运用；
3. 理解并能灵活运用三角形的内角和定理及其推论.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、定义、命题及证明
1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义.
2.命题：判断一件事情的句子，叫做命题.
要点诠释：
（1）命题一般由条件和结论组成.
（2）正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题.
（3）公认的真命题叫做公理.
(4) 经过证明的真命题称为定理.
3.证明: 除了公理外，其它的真命题的正确性都要通过推理的方法进行证实，这种演绎推理
的过程叫做证明.
要点诠释：实验、观察、操作所得出的结论不一定都正确，必须推理论证后才能得出正确的结
论．
要点二、平行线的判定与性质
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1．平行线的判定
判定方法1：同位角相等，两直线平行．
判定方法2：内错角相等，两直线平行．
判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．
要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：
（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行.
（2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）.
（3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.
（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
2．平行线的性质
性质1：两直线平行，同位角相等；
性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3：两直线平行，同旁内角互补.
要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：
（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．
（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．
要点三、三角形的内角和定理及推论
三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°．
推论：（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
（2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
要点诠释：
（1）由一个公理或定理直接推出的真命题，叫做这个公理或定理的推论.
（2）推论可以当做定理使用.
【典型例题】
类型一、定义、命题及证明
1. 我们知道任何一个命题都由条件和结论两部分组成,Ê如果我们把一个命题的条件
变结论,结论变条件,那么所得的是不是一个命题?试举例说明.
【答案与解析】
解：是一个命题,Ê例如“对顶角相等”条件结论互换就变为“相等的角是对顶角”.
【总结升华】如果将一个命题的条件与结论互换，则得到这个命题的逆命题，但原命题正确，
逆命题不一定正确.
举一反三：
【变式】下列命题中,真命题有( ) .
①
若x＝a，则x2－(a+b)x+ab＝0
②
直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离
③
如果
＝0,那么x＝±2
④
如果a＝b,那么a3＝b3
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
【答案】C
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2.如图所示，O 是直线AB 上一点，射线OC、OD 在AB 的两侧，且∠AOC＝∠BOD，试
证明∠AOC 与∠BOD 是对顶角．
【答案】
证明：因为∠AOC+∠COB＝180°(平角定义)，
又因为∠AOC＝∠BOD(已知)，
所以∠BOD+∠COB＝180°，即∠COD＝180°．
所以C、O、D 三点在一条直线上(平角定义)，
即直线AB、CD 相交于点O，
所以∠AOC 与∠BOD 是对顶角(对顶角定义)．
【总结升华】证三点共线的方法，通常采用证这三点组成的角为平角，即∠COD＝180°．
类型二、平行线的性质与判定
3.对于同一平面内的三条直线a、b、c 给出下列四个结论：①a∥b；②b∥c；③a⊥b；④
a⊥c，请你以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题：如果
，那么
．（只填序号即可）
【思路点拨】根据平行线的性质与判定，找出符合要求的正确的命题即可．
【答案】③④，②．
【解析】本题答案不唯一，现给出一种答案：
解：同一平面内的三条直线a、b、c 如果③a⊥b，④a⊥c，那么②b∥c，
故答案为： ③④，②．
【总结升华】此题考查了命题与定理，用到的知识点是平行线的性质与判定，关键是熟练掌握
有关性质．
举一反三：
【变式】如图所示，已知直线AB∥CD，当点E 在直线AB 与CD 之间时，有∠BED＝
∠ABE+∠CDE 成立；而当点E 在直线AB 与CD 之外时，下列关系式成立的是( ).
A．∠BED＝∠ABE+∠CDE 或∠BED＝∠ABE-∠CDE
B．∠BED＝∠ABE-∠CDE
C．∠BED＝∠CDE-∠ABE 或∠BED＝∠ABE-∠CDE
D．∠BED＝∠CDE-∠ABE
【答案】C （提示：过点E 作EF∥AB）
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4.如图所示，AB∥CD，∠1＝∠B，∠2＝∠D，试说明BE⊥DE．
【思路点拨】这是初学几何时较为复杂的题目，通常是过“拐点”(拐角处的顶点)作平行线为
辅助线，把一个大角分成两个角，分别与两个已知角建立起了联系．
【答案与解析】
解：过E 点作EF∥AB，
因为AB∥CD(已知)，
所以EF∥CD．
所以∠4＝∠D(两直线平行，内错角相等)．
又因为∠D＝∠2(已知)，
所以∠4＝∠2(等量代换)．
同理，由EF∥AB，∠1＝∠B，可得∠3＝∠1．
因为∠1+∠2+∠3+∠4＝180°(平角定义)，
所以∠1+∠2＝∠3+∠4＝90°，
即∠BED＝90°．故BE⊥DE．
【总结升华】解此题的关键是如何构造平行关系，即过哪一点作哪条直线的平行线，只有通过
适当的练习才能逐步达到熟练解题的目的．
举一反三：
【变式1】已知: 如图, ∠1＝∠B, ∠2＝∠3, EF⊥AB 于F ， 求证: CD⊥AB .
【答案】
证明：∵∠1＝∠B，∴MD∥BC（同位角相等，两直线平行）.
∴ ∠2＝∠BCD（两直线平行，内错角相等）,
又∵∠2 ＝∠3（已知）,
∴∠3＝∠BCD.
∴EF∥CD（同位角相等，两直线平行）.
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又∵EF⊥AB（已知）,
∴CD⊥AB.
【变式2】已知：如图，∠ABC＝∠ADC，BF、DE 分别平分∠ABC 与∠ADC，且∠1＝∠3.
求证：AB∥DC.
【答案】
证明：∵∠ABC＝∠ADC,
∴
（等式性质）.
又∵BF、DE 分别平分∠ABC 与∠ADC,
∴∠1＝
，∠2＝
（角平分线的定义）.
∴∠1＝∠2 （等量代换）.
又∵∠1＝∠3（已知）,
∴∠2＝∠3（等量代换）.
∴AB∥DC(内错角相等，两直线平行).
类型三、三角形的内角和定理及推论
5.如图，P 是△ABC 内一点，请用量角器量出∠ABP.∠ACP.∠A 和∠BPC 的大小，再计算
一下，∠ABP＋∠ACP＋∠A 是多少度？这三个角的和与∠BPC 有什么关系？你能用学到的知
识来解释其中的道理吗？你能判断∠BPC 和∠A 的大小吗？
【答案与解析】
解：∠ABP＋∠ACP＋∠A＝∠BPC，∠BPC＞∠A。
证明：如下图，延长BP 到D，
则∠PDC＝∠A＋∠∠ABP，∠PDC>∠A.
同理，∠BPC＝∠PDC＋∠ACP，∠BPC>∠PDC.
所以∠BPC＝∠ABP＋∠ACP＋∠A ，∠BPC＞∠A .
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举一反三：
【变式1】如图,△ABC 的两外角平分线交于点P,易证∠P＝90°-
∠A；△ABCÊ两内角的平分
线交于点Q,易证∠BQC＝90°+
∠A；那么△ABC 的内角平分线BM 与外角平分CMÊ的夹角
∠M＝_____∠A.
M
Q
P
C
B
A
【答案】
【变式2】如图,E 是BC 延长线上的点,∠1＝∠2.求证:∠BAC＞∠B.
【答案】
证明：∵∠2＝∠B+∠D
∴∠B＝∠2-∠D
又∵∠BAC＝∠1+∠D ∠1＝∠2
∴∠BAC>∠B
类型四、实际应用
6.手工制作课上，老师先将一张长方形纸片折叠成如图所示的那样，若折痕与一条边
BC 的夹角∠EFB＝30°，你能说出∠EGF 的度数吗？
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A
B
C
P
D
2
1
E
D
C
B
A
【思路点拨】长方形的对边是平行的，所以AD∥BC，可得∠DEF＝∠EFG＝30°，又因为折后
重合部分相等，所以∠GEF＝∠DEF＝30°，所以∠DEG＝2∠DEF＝60°，又因为两直线平行，
同旁内角互补，所以∠EGC＝180°－∠DEG，问题可解.
【答案与解析】
解：因为AD∥BC（已知），
所以∠DEF＝∠EFG＝30°（两直线平行，内错角相等）.
因为∠GEF＝∠DEF＝30°（对折后重合部分相等），
所以∠DEG＝2∠DEF＝60°.
所以∠EGC＝180°－∠DEG＝180°－60°＝120°（两直线平行，同旁内角互补）.
【总结升华】本题利用了：
（1）折叠的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应
边和对应角相等；（2）平行线的性质．
举一反三：
【变式】（山东滨州）如图，把—个长方形纸片对折两次，然后剪下—个角．为了得到一个正方
形，剪刀与折痕所成的角的度数应为（ ）.
A．60° B．30° C．45° D．90°
【答案】C
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