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【巩固练习】
一.选择题
1. 如图所示，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1＋∠2
的度数为（ ）
A．120° B．180° C．240° D．300°
2.如图，平行四边形ABCD 的对角线AC、BD 相交于点O，下列结论正确的是（ ）
A．
B．AC＝BD
C．AC⊥BD D．口ABCD 是轴对称图形
3.如图，已知四边形ABCD 中，R，P 分别是BC，CD 上的点，E，F 分别是AP，RP 的中点，当点P 在
CD 上从C 向D 移动而点R 不动时，那么下列结论成立的是（ ）
A．线段EF 的长逐渐增大
B．线段EF 的长逐渐减少
C．线段EF 的长不变
D．线段EF 的长与点P 的位置有关
4.如图，在Rt△ABC 中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D 在BC 上，以AC 为对角线的所有口
ADCE 中，DE 最小的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5.平行四边形的一边长是10cm，那么这个平行四边形的两条对角线的长可以是（ ）
A.4cm 和6cm B.6cm 和8cm C.8cm 和10cm D.10cm 和12cm
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6.如图，在平行四边形ABCD 中，AB＝4，∠BAD 的平分线与BC 的延长线交于点E，与DC 交于点
F，且点F 为边DC 的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG＝1，则AE 的边长为（ ）
A.
B.
C.4 D.8
7.如图，在平行四边形ABCD 中，过对角线BD 上一点P 作EF∥AB，GH∥AD，与各边交点分别为
E、F、G、H，则图中面积相等的平行四边形的对数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8.如图，平行四边形ABCD 中，AB：BC＝3：2，∠DAB＝60°，E 在AB 上，且AE：EB＝1：2，F 是BC
的中点，过D 分别作DP⊥AF 于P，DQ⊥CE 于Q，则DP：DQ 等于（ ）
A．3：4 B.
C.
D.
二.填空题
9.如图，在四边形ABCD 中，∠A＝45°．直线l 与边AB，AD 分别相交于点M，N，则∠1＋∠2＝
___________.
10.已知任意直线l 把口ABCD 分成两部分，要使这两部分的面积相等，直线l 所在位置需满
足的条件是________.
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11.如图，在直线m 上摆放着三个正三角形：△ABC、△HFG、△DCE，已知BC＝
CE，F、G 分别是
BC、CE 的中点，FM∥AC，GN∥DC．设图中三个平行四边形的面积依次是S1，S，S3，若S1＋S3＝
10，则S＝_______.
12. 如图所示，在口ABCD 中，E、F 分别是边AD、BC 的中点，AC 分别交BE、DF 于点M、N．给出下
列结论：①△ABM≌△CDN；②AM＝
1
3 AC；③DN＝2NF；④
1
2
AMB
ABC
S
S
△
△
．其中正确的
结论是________．(只填序号)
13.如图，口ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，点E，F 分别是线段AO，BO 的中点，若AC＋BD＝
24 厘米，△OAB 的周长是18 厘米，则EF＝________厘米．
14.如图，平行四边形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°，得到平行四边形AB′C′D′（点B′与
点B 是对应点，点C′与点C 是对应点，点D′与点D 是对应点），点B′恰好落在BC 边上，
则∠C＝_____度．
15. 如图所示，平行四边形ABCD 中，点E 在边AD 上，以BE 为折痕，将△ABE 向上翻折，点A
正好落在CD 上的F 处，若△FDE 的周长为8，△FCB 的周长为22，则FC 的长为________．
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16.如图，口ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E，∠AEB＝45°，BD＝2，将△ABC 沿AC 所在直
线翻折180°到其原来所在的同一平面内，若点B 的落点记为B′，则DB′的长为
________.
三.解答题
17.如图，已知四边形ABDE 是平行四边形，C 为边BD 延长线上一点，连结AC、CE，使AB＝AC．
（1）求证：△BAD≌△AEC；
（2）若∠B＝30°，∠ADC＝45°，BD＝10，求平行四边形ABDE 的面积．
18.如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC，BN⊥AN 于点N，延长BN 交AC 于点D，已知
AB＝10，BC＝15，MN＝3 （1）求证：BN＝DN； （2）求△ABC 的周长．
19.如图，点G、E、F 分别在平行四边形ABCD 的边AD、DC 和BC 上，DG＝DC，CE＝CF，点P 是射
线GC 上一点，连接FP，EP．
求证：FP＝EP．
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20.（1）如图①，口ABCD 的对角线AC，BD 交于点O，直线EF 过点O，分别交AD，BC 于点E，F．求
证：AE＝CF．
（2）如图②，将口ABCD（纸片）沿过对角线交点O 的直线EF 折叠，点A 落在点A1处，点B 落在
点B1处，设FB1交CD 于点G，A1B1分别交CD，DE 于点H，I．
求证：EI＝FG．
【答案与解析】
一.选择题
1.【答案】C；
【解析】根据三角形的内角和定理得：四边形除去∠1，∠2 后的两角的度数为180°－60°
＝120°，则根据四边形的内角和定理得：∠1＋∠2＝360°－120°＝240°．
2.【答案】A；
3.【答案】C；
【解析】因为AR 的长度不变，根据中位线定理可知，线段EF 的长不变．
4.【答案】B；
【解析】由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当OD⊥BC 时，DE 线段取最小值．
5.【答案】D；
6.【答案】B；
7.【答案】A；
【解析】平行四边形PFCH 的面积和平行四边形AGPE 的面积相等，平行四边形AGHD 面积和
平行四边形EFCD 面积相等，平行四边形ABFE 和平行四边形BCHG 面积相等．
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8.【答案】D；
【解析】连接DE、DF，过F 作FN⊥AB 于N，过C 作CM⊥AB 于M，
根据三角形的面积和平行四边形的面积得出
，
求出AF×DP＝CE×DQ，
设AB＝3
，BC＝2
，
则BF＝
，BE＝2
，BN＝
，BM＝
，FN＝
，CM＝
，
求出AF＝
，CE＝2
，代入求出即可．
二.填空题
9.【答案】225°
【解析】∵∠A＝45°，∴∠B＋∠C＋∠D＝360°－∠A＝360°－45°＝315°，∴∠1＋∠2
＋∠B＋∠C＋∠D＝（5－2）•180°，解得∠1＋∠2＝225°．
10.【答案】经过对角线的交点；
【解析】由于平行四边形是中心对称图形，对称中心为对角线的交点，因而过对角线的交
点的直线就能把平行四边形分成全等的两部分，这两部分的面积也就相等了．
11.【答案】4；
【解析】根据正三角形的性质，△PFC、△QCG 和△NGE 是正三角形，
∵F、G 分别是BC、CE 的中点
∴BF＝MF＝
AC＝
BC，CP＝PF＝
AB＝
BC
∴CP＝MF，CQ＝BC，QG＝GC＝CQ＝AB，
∴S1＝
S，S3＝2S，
∵S1＋S3＝10
∴
S＋2S＝10
∴S＝4．
12.【答案】①②③；
【解析】易证四边形BEDF 是平行四边形，△ABM≌△CDN．∴ ①正确．
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由口BEDF 可得∠BED＝∠BFD，∴∠AEM＝∠NFC．又∵AD∥BC．∴∠EAM＝∠NCF，
又AE＝CF∴ △AME≌△CNF，∴AM＝CN．由FN∥BM，FC＝BF，得CN＝MN，∴CN＝MN
＝AM，AM＝
1
3 AC．∴ ②正确．
∵ AM＝
1
3 AC，∴
1
3
AMB
ABC
S
S
△
△
，∴④不正确．
FN 为△BMC 的中位线，BM＝2NF，△ABM≌△CDN，则BM＝DN，∴DN＝2NF，
∴③正确．
13.【答案】3；
【解析】根据AC＋BD＝24 厘米，可得出出OA＋OB＝12cm，继而求出AB，判断EF 是△OAB 的
中位线即可得出EF 的长度．
14.【答案】105；
【解析】∵平行四边形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°，∴AB＝AB′，∠BAB′＝30°，∴∠B
＝∠AB′B＝（180°－30°）÷2＝75°，∴∠C＝180°－75°＝105°．
15.【答案】7；
【解析】∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AD＝BC，AB＝CD． 又∵ 以BE 为折痕，将
△ABE 向上翻折到△FBE 的位置，∴ AE＝EF，AB＝BF．已知DE＋DF＋EF＝8，即
AD＋DF＝8，AD＋DC－FC＝8．∴ BC＋AB－FC＝8．① 又∵ BF＋BC＋FC＝22，即
AB＋BC＋FC＝22．②，两式联立可得FC＝7．
16.【答案】
；
【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，BD＝2，∴BE＝
BD＝1．如图2，连接BB′．
根据折叠的性质知，∠AEB＝∠AEB′＝45°，BE＝B′E．∴∠BEB′＝90°，∴△BB′E 是等腰
直角三角形，则BB′＝
BE＝
．又∵BE＝DE，B′E⊥BD，∴DB′＝BB′＝
．
三.解答题
17.【解析】
（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB．
又∵四边形ABDE 是平行四边形
∴AE∥BD，AE＝BD，
∴∠ACB＝∠CAE＝∠B，
在△DBA 和△AEC 中
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，
∴△DBA≌△AEC（SAS）；
（2）解：过A 作AG⊥BC，垂足为G．设AG＝x，
在Rt△AGD 中，∵∠ADC＝45°，
∴AG＝DG＝x，
在Rt△AGB 中，∵∠B＝30°，
∴BG＝
x，
又∵BD＝10．
∴BG－DG＝BD，即
x−x＝10，
解得AG＝x＝
＝5
＋5，
∴
＝BD•AG＝10×（5
＋5）＝50
＋50．
18.【解析】
（1）证明：在△ABN 和△ADN 中，
∵
∴△ABN≌△ADN， ∴BN＝DN．
（2）解：∵△ABN≌△ADN，
∴AD＝AB＝10，DN＝NB，
又∵点M 是BC 中点，
∴MN 是△BDC 的中位线，
∴CD＝2MN＝6，
故△ABC 的周长＝AB＋BC＋CD＋AD＝10＋15＋6＋10＝41．
19.【解析】
证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DGC＝∠GCB（两直线平行，内错角相等），
∵DG＝DC，
∴∠DGC＝∠DCG，
∴∠DCG＝∠GCB，
∵∠DCG＋∠DCP＝180°，∠GCB＋∠FCP＝180°，
∴∠DCP＝∠FCP，
∵在△PCF 和△PCE 中
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，
∴△PCF≌△PCE（SAS），
∴PF＝PE．
20.【解析】
证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，OA＝OC，
∴∠1＝∠2，
∵在△AOE 和△COF 中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE＝CF；
（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，
由（1）得AE＝CF，
由折叠的性质可得：AE＝A1E，∠A1＝∠A，∠B1＝∠B，
∴A1E＝CF，∠A1＝∠A＝∠C，∠B1＝∠B＝∠D，
又∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4，
∵∠5＝∠3，∠4＝∠6，
∴∠5＝∠6，
∵在△A1IE 与△CGF 中，
，
∴△A1IE≌△CGF（AAS），
∴EI＝FG．
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