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平行四边形及其性质（提高）
【学习目标】
1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理和判定定理.
2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解
决四边形的问题．
3. 了解平行四边形的不稳定性及其实际应用．
4. 掌握两个推论：“夹在两条平行线间的平行线段相等”。“夹在两条平行线间的垂线段
相等” ．
【要点梳理】
知识点一、平行四边形的定义
平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD 记作“
ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.
要点诠释：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的
边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条.
知识点二、平行四边形的性质定理
平行四边形的对角相等；
平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角线互相平分；
要点诠释：（1）平行四边形的性质定理中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性
质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.
（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.
（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三
边的不等关系来解决.
知识点三、平行线的性质定理
1.两条平行线间的距离：
（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间
的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.
2．平行线性质定理及其推论
夹在两条平行线间的平行线段相等.
平行线性质定理的推论：
夹在两条平行线间的垂线段相等.
【典型例题】
类型一、平行四边形的性质
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1、如图，平行四边形ABCD 的周长为60
，对角线交于O，△AOB 的周长比△BOC¯的周
长大8
，求AB，BC 的长．
【答案与解析】
解： ∵四边形ABCD 是平行四边形．
∴ AB＝CD，AD＝BC，AO＝CO，
∵ □ABCD 的周长是60．
∴2AB＋2BC＝60，即AB＋BC＝30，①
又∵△ AOB 的周长比△BOC 的周长大8．
即（AO＋OB＋AB）－（BO＋OC＋BC）＝AB－BC＝8， ②
由①②有
解得
∴AB，BC 的长分别是19
和11
．
【总结升华】根据平行四边形对角线互相平分，利用方程的思想解题.
举一反三：
【变式】如图：在平行四边形ABCD 中，CE 是∠DCB 的平分线，F 是AB 的中点，AB＝6，BC＝4.求
AE：EF：FB 的值.
【答案】
解：∵ ABCD 是平行四边形，所以AB∥CD，∠ECD＝∠CEB
∵CE 为∠DCB 的角平分线，
∴∠ECD＝∠ECB，
∴∠ECB＝∠CEB，
∴BC＝BE
∵BC＝4，所以BE＝4
∵AB＝6，F 为AB 的中点，所以BF＝3
∴EF＝BE－BF＝1，AE＝AB－BE＝2
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∴AE：EF：FB＝2：1：3.
2、平行四边形ABCD 的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O 作OM⊥AC，交AD 于点M，如
果△CDM 的周长是40cm，求平行四边形ABCD 的周长．
【思路点拨】由四边形ABCD 是平行四边形，即可得AB=CD，AD=BC，OA=OC，又由OM⊥AC，根据垂
直平分线的性质，即可得AM=CM，又由△CDM 的周长是40cm，即可求得平行四边形ABCD 的周
长．
【答案与解析】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，OA=OC，
∵OM⊥AC，
∴AM=CM，
∵△CDM 的周长是40，
即：DM+CM+CD=DM+AM+CD=AD+CD=40，
∴平行四边形ABCD 的周长为：2（AD+CD）=2×40=80（cm）．
∴平行四边形ABCD 的周长为80cm．
【总结升华】此题考查了平行四边形的性质与线段垂直平分线的性质．解题的关键是注意数
形结合思想的应用．
举一反三
【变式】将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图①中的两张三角形胶片△ABC 和
△DEF，将这两张三角形胶片的顶点B 与顶点E 重合，把△DEF 绕点B 顺时针方向旋转，这时
AC 与DF 相交于点O．
（1）当△DEF 旋转至如图②位置，点B（E），C，D 在同一直线上时，AF 与CD 的数量关系是
________；
（2）当△DEF 继续旋转至如图③位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
【答案】
解：（1）AF=CD，
理由是：∵在△ABC 和△DEF 中
∴△ABC≌△DEF（SAS），
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∴BF=EC，
∵AB=DE，
∴AF=CD，
故答案为：AF=CD．
（2）成立，
理由是：∵△ABC≌△DEF，
∴AB=DE，BC=EF，∠ABC=∠DEF，
∴∠ABC-∠FBC=∠DEF-∠FBC，
∴∠ABF=∠DEC，
∵在△ABF 和△DEC 中
∴△ABF≌△DEC（SAS），
∴AF=CD．
3、如图，在平行四边形ABCD 中，∠ABC、∠BCD 的平分线相交于点O，BO 延长线交CD 延
长线于点E，
求证：OB=OE．
【思路点拨】在平行四边形ABCD 中，∵AB∥DC，∴∠ABE=∠CEB，又∵BE 平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，用等量代换可得∠CBE=∠CEB，所以△BCE 是等腰三角形，又因为CO
平分∠BCE，因为等腰三角形三线合一，所以OB=OE．
【答案与解析】证明：∵AB∥DC，
∴∠ABE=∠CEB，
又∵BE 平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠CBE=∠CEB，
∴CB=CE，
∴△BCE 是等腰三角形，
又∵CO 平分∠BCE，
∴∠BCO=∠ECO，
∴OB=OE．
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【总结升华】本题考查平行四边形的性质以及等腰三角形的性质，关键是知道平行四边形对
边平行以及等腰三角形的三线合一．
4、如图1，P 为Rt△ABC 所在平面内任一点（不在直线AC 上），∠ACB=90°，M 为AB 的中
点．
操作：以PA、PC 为邻边作平行四边形PADC，连接PM 并延长到点E，使ME=PM，连接DE．
（1）请你猜想与线段DE 有关的三个结论，并证明你的猜想；
（2）若将“Rt△ABC”改为“任意△ABC”，其他条件不变，利用图2 操作，并写出与线段DE
有关的结论（直接写答案）．
【思路点拨】（1）连接BE，证△PMA≌△EMB，推出PA=BE，∠MPA=∠MEB，推出PA∥BE．根据平
行四边形的性质得出PA∥DC，PA=DC，推出BE∥DC，BE=DC，得出平行四边形CDEB 即可；
（2）连接BE，证△PMA≌△EMB，推出PA=BE，∠MPA=∠MEB，推出PA∥BE．根据平行四边形的性
质得出PA∥DC，PA=DC，推出BE∥DC，BE=DC，得出平行四边形CDEB 即可．
【答案与解析】
（1）
DE∥BC，DE=BC，DE⊥AC，
证明：连接BE，
∵M 为AB 中点，
∴AM=MB，
在△PMA 和△EMB 中
∵
，
∴△PMA≌△EMB
（SAS），
∴PA=BE，
∠MPA=∠MEB，
∴PA∥BE．
∵四边形PADC 是平行
四边形，
∴PA ∥DC，PA=DC，
∴BE∥DC，BE=DC，
∴四边形DEBC 是平行四边形，
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∴DE∥BC，DE=BC．
∵∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，
∴DE⊥AC．
（2）解：DE∥BC，DE=BC．
【总结升华】本题考查了平行四边形性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质和
判定的综合运用．
举一反三：
【变式】已知：如图，在平行四边形ABCD 中，DE⊥AB 于点E，DF⊥BC 于点F，∠DAB 的平分线交
DE 于点M，交DF 于点N，交DC 于点P．
（1）求证：∠ADE=∠CDF；
（2）如果∠B=120°，求证：△DMN 是等边三角形．
【答案】
证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴∠DAB=∠C，DC∥AB，
∵DE⊥AB 于点E，DF⊥BC 于点F，
∴∠ADE=90°-∠DAB，∠CDF=90°-∠C，
∴∠ADE=∠CDF．
（2）证明：∵∠DAB 的平分线交DE 于点M，交DF 于点N，交DC 于点P，
∴∠DAP=∠BAP，
∵DC∥AB，
∴∠DPA=∠BAP，
∴∠DAP=∠DPA，
∴DA=DP，
∵∠ADE=∠CDF，∠DAP=∠DPA，DA=DP，
∴△DAM≌△DPN，
∴DM=DN，
∵∠B=120°，
∴∠MDN=360°-∠DEB-∠EFB-∠B=360°-90°-90°-120°=60°，
∴△DMN 是等边三角形．
类型二、平行线性质定理及其推论
5、如图1，已知直线m∥n，点A、B 在直线n 上，点C、P 在直线m 上；
（1）写出图1 中面积相等的各对三角形：__________________；
（2）如图①，A、B、C 为三个顶点，点P 在直线m 上移动到任一位置时，总有__________与
△ABC 的面积相等；
（3）如图②，一个五边形ABCDE，你能否过点E 作一条直线交BC（或延长线）于点M，使四边形
ABME 的面积等于五边形ABCDE 的面积．
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【思路点拨】（1）找出图①中同底等高的三角形，这些三角形的面积相等；
（2）因为两平行线间的距离是相等的，所以点C、P 到直线n 间的距离相等，也就是说△ABC 与
△PAB 的公共边AB 上的高相等，所以总有△PAB 与△ABC 的面积相等；
（3）只要作一个三角形CEM 与三角形CED 的面积相等即可．
【答案与解析】
解：（1）∵m∥n，
∴点C、P 到直线n 间的距离与点A、B 到直线m 间的距离相等；
又∵同底等高的三角形的面积相等，
∴图①中符合条件的三角形有：△CAB 与△PAB、△BCP 与△APC，△ACO 与△BOP；
（2）∵m∥n，
∴点C、P 到直线n 间的距离是相等的，
∴△ABC 与△PAB 的公共边AB 上的高相等，
∴总有△PAB 与△ABC 的面积相等；
（3）连接EC，过点D 作直线DM∥EC 交BC 延长线于点M，连接EM，线段EM 所在的直线即为
所求的直线．
【总结升华】本题主要考查了三角形的面积及平行线的性质，利用平行线间的距离相等得到
同底等高的三角形是解题的关键．
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