文档文本内容
平行四边形及其性质（基础）
【学习目标】
1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理.
2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解
决四边形的问题．
3. 了解平行四边形的不稳定性及其实际应用．
4. 掌握两个推论：“夹在两条平行线间的平行线段相等”。“夹在两条平行线间的垂线段
相等” ．
【要点梳理】
知识点一、平行四边形的定义
平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD 记作“
ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.
要点诠释：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的
边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条.
知识点二、平行四边形的性质定理
平行四边形的对角相等；
平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角线互相平分；
要点诠释：（1）平行四边形的性质定理中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性
质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.
（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.
（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三
边的不等关系来解决.
知识点三、平行线的性质定理
1.两条平行线间的距离：
（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间
的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.
2．平行线性质定理及其推论
夹在两条平行线间的平行线段相等.
平行线性质定理的推论：
夹在两条平行线间的垂线段相等.
【典型例题】
类型一、平行四边形的性质
【高清课堂 平行四边形 例11】
1、如图所示，已知四边形ABCD 是平行四边形，若AF、BE 分别为∠DAB、∠CBA 的平分线．
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求证：DF＝EC．
【答案与解析】
证明：∵ 在
ABCD 中，CD∥AB，
∠DFA＝∠FAB．
又∵ AF 是∠DAB 的平分线，
∴ ∠DAF＝∠FAB，
∴ ∠DAF＝∠DFA，
∴ AD＝DF．
同理可得EC＝BC．
∵ 在
ABCD 中，AD＝BC，
∴ DF＝EC．
【总结升华】利用平行四边形的性质可以得到对角相等，对边平行且相等，为证明线段相等提
供了条件．
举一反三：
【变式】如图，E、F 是平行四边形ABCD 的对角线AC 上的点，CE＝AF，请你猜想：线段BE 与线段
DF 有怎样的关系？并对你的猜想加以证明.
【答案】
证明：猜想：BE ∥DF 且BE＝DF.
∵四边形ABCD 是平行四边形
∴CB=AD，CB∥AD
∴∠BCE＝∠DAF
在△BCE 和△DAF 中
CB
AD
BCE
DAF
CE
AF
∴△BCE≌△DAF
∴BE＝DF，∠BEC＝∠DFA
∴BE∥DF
即 BE ∥DF 且BE＝DF.
2. 在平行四边形ABCD 中，对角线BD⊥BC，G 为BD 延长线上一点且△ABG 为等边三角形，
∠BAD、∠CBD 的平分线相交于点E，连接AE 交BD 于F，连接GE．若平行四边形ABCD 的面积为
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，求AG 的长．
【思路点拨】根据等边三角形得出AB=AG=BG，∠ABG=∠GAB=∠AGB=60°，求出AD⊥BC，根据等
腰三角形性质求出∠DAB=30°，求出BD=
AB，AD=
AB，根据平行四边形面积公式求出
AB，即可求出答案．
【答案与解析】
解：∵△BGA 是等边三角形，
∴AB=AG=BG，∠ABG=∠GAB=∠AGB=60°，
在平行四边形ABCD 中，AD∥BC，
∵BD⊥BC，
∴∠ADB=∠DBC=90°，
∴∠DAB=
∠GAB=30°，
∴在Rt△ADB 中，BD=
AB，AD=
AB，
∵S 平行四边形ABCD=AD×BD=
AB2=9
，
∴AB=6，
即AG=6．
【总结升华】本题考查了平行四边形性质，勾股定理，含30 度角的直角三角形，等腰三角形性
质等知识点，注意：等边三角形的三边相等，且每个角都等于60°，30 度所对的直角边等于
斜边的一半．
3. （2013•台州）如图，在▱ABCD 中，点E，F 分别在边DC，AB 上，DE=BF，把平行四边形沿
直线EF 折叠，使得点B，C 分别落在B′，C′处，线段EC′与线段AF 交于点G，连接DG，
B′G．
求证：（1）∠1=∠2；
（2）DG=B′G．
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【思路点拨】（1）根据平行四边形得出DC∥AB，推出∠2=∠FEC，由折叠得出∠1=∠FEC=∠2，
即可得出答案；
（2）求出EG=B′G，推出∠DEG=∠EGF，由折叠求出∠B′FG=∠EGF，求出DE=B′F，证
△DEG≌△B′FG 即可．
【答案与解析】
证明：（1）∵在平行四边形ABCD 中，DC∥AB，
∴∠2=∠FEC，
由折叠得：∠1=∠FEC，
∴∠1=∠2；
（2）∵∠1=∠2，
∴EG=GF，
∵AB∥DC，
∴∠DEG=∠EGF，
由折叠得：EC′∥B′F，
∴∠B′FG=∠EGF，
∵DE=BF=B′F，
∴DE=B′F，
∴△DEG≌△B′FG（SAS），
∴DG=B′G．
【总结升华】本题考查了平行四边形性质，折叠性质，平行线性质，全等三角形的性质和判定
的应用，主要考查学生的推理能力．
4. （2013•泸州）如图，已知▱ABCD 中，F 是BC 边的中点，连接DF 并延长，交AB 的延长线
于点E．求证：AB=BE．
【思路点拨】根据平行四边形性质得出AB=DC，AB∥CD，推出∠C=∠FBE，∠CDF=∠E，证
△CDF≌△BEF，推出BE=DC 即可．
【答案与解析】
证明：∵F 是BC 边的中点，
∴BF=CF，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB=DC，AB∥CD，
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∴∠C=∠FBE，∠CDF=∠E，
∵在△CDF 和△BEF 中
∴△CDF≌△BEF（AAS），
∴BE=DC，
∵AB=DC，
∴AB=BE．
【总结升华】本题考查了平行四边形性质，全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，
关键是推出△CDF≌△BEF．
举一反三：
【变式】（2012•澄海区模拟）如图，已知在▱ABCD 中，延长AB，使AB=BF，连接DF，交BC 于点E．
求证：E 是BC 的中点．
【答案】
证明：在□ABCD 中，AB∥CD，且AB=CD，
∴∠CDF=∠F，∠CBF=∠C，
∵AB=FB，
∴DC=FB，
∴△DEC≌△FEB，
∴EC=EB，
即E 为BC 的中点．
类型二、平行线的性质定理及其推论
5。（1）如图1，已知△ABC，过点A 画一条平分三角形面积的直线；
（2）如图2，已知l1∥l2，点E，F 在l1上，点G，H 在l2上，试说明△EGO 与△FHO 面积相等；
（3）如图3，点M 在△ABC 的边上，过点M 画一条平分三角形面积的直线．
【思路点拨】（1）根据三角形的面积公式，只需过点A 和BC 的中点画直线即可；
（2）结合平行线间的距离相等和三角形的面积公式即可证明；
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（3）结合（1）和（2）的结论进行求作．
【答案与解析】
解：（1）取BC 的中点D，过A、D 画直线，则直线AD 为所求；
（2）证明：∵l1∥l2，
∴点E，F 到l2之间的距离都相等，设为h．
∴S△EGH=
GH×h，S△FGH=
GH×h，
∴S△EGH=S△FGH，
∴S△EGH-S△GOH=S△FGH-S△GOH，
∴△EGO 的面积等于△FHO 的面积；
（3）解：取BC 的中点D，连接MD，过点A 作AN∥MD 交BC 于点N，过M、N 画直线，则直
线MN 为所求．
【总结升华】此题主要是根据三角形的面积公式，知：三角形的中线把三角形的面积等分成了
相等的两部分；同底等高的两个三角形的面积相等．
举一反三：
【变式】已知如图，各图形被一条直线将其面积平分．
观察图1，用所得的结论或启示，对图2 所示的每个图形做一条直线，将其阴影部分面积平分．
（不写画法，不用证明，保留作图痕迹）
【答案】解：如图所示：
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