文档文本内容
探索相似三角形相似的条件(基础)
【学习目标】
1. 相似三角形的概念.
2.相似三角形的三个判定定理.
3.黄金分割.
4. 进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力.
【要点梳理】
要点一、相似三角形的概念
相似三角形：三个角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.
要点诠释：
(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即
∽
，则说明点A 的对应点是
A′，点B 的对应点是B′，点C 的对应点是C′；
(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角
形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1 时，两个三角形全等.
要点二、相似三角形的三个判定定理
定理：两角分别相等的两个三角形相似.
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
三边成比例的两个三角形相似.
要点诠释：
（1）要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而
言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.
（2）此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边
的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.
要点三、相似三角形的常见图形及其变换：
要点四、黄金分割
1.定义：一般地，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC 两段,如果
,那么线段AB 被点C 黄金分
割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.
要点诠释：
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≈0.618AB(0.618 是黄金分割的近似值，
5
1
2
是黄金分割的准确值).
2.作一条线段的黄金分割点：
如图，已知线段AB，按照如下方法作图：
（1）经过点B 作BD⊥AB，使BD=
AB.
（2）连接AD，在DA 上截取DE=DB.
（3）在AB 上截取AC=AE.则点C 为线段AB 的黄金分割点.
要点诠释：
一条线段的黄金分割点有两个.
【典型例题】
类型一、相似三角形的概念
1. 下列能够相似的一组三角形为( ).
A.所有的直角三角形 B.所有的等腰三角形
C.所有的等腰直角三角形 D.所有的一边和这边上的高相等的三角形
【答案】C
【解析】A 中只有一组直角相等，其他的角是否对应相等不可知；
B 中什么条件都不满足；D 中只有一条对应边的比相等；
C 中所有三角形都是由90°、45°、45°角组成的三角形，且对应边的比也相等.
答案选C.
【总结升华】根据相似三角形的概念，判定三角形是否相似，一定要满足三个角对应相等，三条对应边的比
相等.
举一反三：
【变式】下列图形中，必是相似形的是（ ）．
A．都有一个角是40°的两个等腰三角形 B．都有一个角为50°的两个等腰梯形
C．都有一个角是30°的两个菱形 D．邻边之比为2：3 的两个平行四边形
【答案】C.
类型二、相似三角形的三个判定定理
2、如图，点D 在等边△ABC 的BC 边上，△ADE 为等边三角形，DE 与AC 交于点F．
（1）证明：△ABD∽△DCF；
（2）除了△ABD∽△DCF 外，请写出图中其他所有的相似三角形．
第2页 共7页
【思路点拨】（1）利用等边三角形的性质以及相似三角形的判定方法两角对应相等的两三角形相似得
出即可；
（2）利用对顶角的性质以及相似三角形的性质进而判断得出即可．
【答案与解析】
（1）证明：∵△ABC，△ADE 为等边三角形，
∴∠B=∠C=∠3=60°，
∴∠1+∠2=∠DFC+∠2，
∴∠1=∠DFC，
∴△ABD∽△DCF；
（2）解：∵∠C=∠E，∠AFE=∠DFC，
∴△AEF∽△DCF，
∴△ABD∽△AEF，
故除了△ABD∽△DCF 外，图中相似三角形还有：△AEF∽△DCF，△ABD∽△AEF．
【总结升华】此题主要考查了相似三角形的两个对应角相等的判定方法以及等边三角形的性质等知识，
得出对应角关系是解题关键．
举一反三
【变式】如图，在△ABC 中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB 于E．求证：△ABD∽△CBE．
【答案】
证明：在△ABC 中，AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
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∵CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CEB=90°，
又∵∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBE．
3、已知：如图，在△ABC 中，∠C=90°，点D、E 分别AB、CB 延长线上的点，CE=9，AD=15，连接DE．
若BC=6，AC=8，求证：△ABC∽△DBE．
【思路点拨】首先利用勾股定理可求出AB 的长，再由已知条件可求出DB，进而可得到DB：AB 的值，再
计算出EB：BC 的值，继而可判定△ABC∽△DBE．
【答案与解析】
证明：∵在RT△ABC 中，∠C=90°，BC=6，AC=8，
∴AB=
=10，
∴DB=AD-AB=15-10=5
∴DB：AD=1：2，
又∵EB=CE-BC=9-6=3，
∴EB：BC=1：2，
∴EB：BC=DB：AD，
又∵∠DBE=∠ABC，
∴△ABC∽△DBE．
【总结升华】本题考查了相似三角形的判定，常见的判定方法有：（1）三边法：三组对应边的比相等的两
个三角形相似；（2）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（3）两
角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
举一反三
【变式】
【答案】
4、网格图中每个方格都是边长为1 的正方
形．若A ，B ，C ，D ，E ，F 都是格点，试说明
△ABC∽△DEF．
【思路点拨】利用图形与勾股定理可以推知图中
两个三角形的三条对应边成比例，由此可以证得
△ABC∽△DEF．
【答案与解析】
证明：∵AC=
，BC=
，AB=4，DF=
，EF=
，ED=8，
∴
，
第4页 共7页
∴△ABC∽△DEF．
【总结升华】本题考查了相似三角形的判定、勾股定理．相似三角形相似的判定方法有：
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应
用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形；
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
本题是在网格状中的两个三角形，优先考虑三边对应成比例的方法去考虑.
举一反三
【变式】如图所示，在4×4 的正方形方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1 的小正方形的顶点上．
（1）填空：∠ABC=________，BC=_________；
（2）判断△ABC 与△DEF 是否相似？并证明你的结论．
【答案】
（1）解：∠ABC=90°+45°=135°，
BC=
；
故答案为：135°；2
．
（2）△ABC∽△DEF．
证明：∵在4×4 的正方形方格中，
∠ABC=135°，∠DEF=90°+45°=135°，
∴∠ABC=∠DEF．
∵AB=2，BC=2
，FE=2，DE=
∴
．
∴△ABC∽△DEF．
类型三、
5. 如图所示，矩形ABCD 是黄金矩形（即BC
AB
＝
2
1
5
≈0.618），如果在其内作正方形CDEF，得到一个
小矩形ABFE，试问矩形ABFE 是否也是黄金矩形？
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【思路点拨】（1）矩形的宽与长之比值为
2
1
5
，则这种矩形叫做黄金矩形．
（2）要说明ABFE 是不是黄金矩形只要证明AB
AE
＝
2
1
5
即可．
【答案与解析】矩形ABFE 是黄金矩形．
理由如下：因为AB
AE
＝
AB
ED
AB
AD
AB
ED
AD
＝
2
1
5
1
2
1
5
1
)1
5
)(
1
5
(
)1
5
(
2
1
1
5
2
所以矩形ABFE 也是黄金矩形．
【总结升华】判断四边形是否是黄金矩形，要根据实际条件灵活选择判断方法.
举一反三：
【变式】以长为2 的线段AB 为边作正方形ABCD，取AB 的中点P，连接PD，在BA 的延长线上取点F，使PF＝PD，
以AF 为边作正方形AMEF，点M 在AD 上，如图所示，
（1）求AM，DM 的长，
（2）试说明AM2=AD·DM
（3）根据（2）的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？
【答案】（1）∵正方形ABCD 的边长是2，P 是AB 中点，
∴AD＝AB＝2，AP＝1，∠BAD＝90°，
∴PD＝
5
2
2
AD
AP
。
∵PF＝PD，
∴AF＝
1
5
，在正方形ABCD 中，AM＝AF＝
1
5 ，MD＝AD－AM＝3－5
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（2）由（1）得AD×DM＝2（3－5 ）＝6－2 5 ，
5
2
6
)1
5
(
2
2
AM
∴AM2=AD·DM．
（3）如图中的M 点是线段AD 的黄金分割点．
6.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618 时，越给人一种美感.某女士身高
165cm，下半身长x 与身高l 的比值是0.60，为了尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（
）.
A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm
【答案】C.
【解析】利用x
l =0.618，列方程求解。
设她应穿的高跟鞋的高度为y,则
+165
0.60 =0.618,
+165
y
y
解得y≈8.
【总结升华】黄金分割知识的理解和运用要结合生活实践.
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