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【巩固练习】
一、选择题
1. 下列四组图形中，一定相似的是（ ）
A．正方形与矩形
B．正方形与菱形
C．菱形与菱形
D．正五边形与正五边形
2．如图，若AB∥CD∥EF，则下列结论中，与
相等的是( )
A
B
C
D
3．如图，在直角梯形ABCD 中，DC∥AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC 的平分线分别交AD、AC 于点E，F，
则
的值是（ ）
A
-1 B 2+
C
+1 D
4．如图，在平行四边形ABCD 中，AC=4，BD=6，P 是BD 上的任一点，过点P 作EF∥AC，与平行四边形的两条边分
别交于点E、F，设BP=x，EF=y，则能反映y 与x 之间关系的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．在△ABC，点D、E 分别在边AB、AC 上，如果AD=1，BD=2，那么由下列条件能够判定DE∥BC 的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．如图，直线AB∥CD∥EF，若AC=3，CE=4，则
的值是（ ）
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A．
B．
C．
D．
二、填空题
7．我们已经学习了相似三角形，也知道：如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同，我们就把它们叫做
相似图形．比如两个正方形，它们的边长、对角线等所有元素都对应成比例，就可以称它们为相似图形．
现给出下列4 对几何图形：①两个圆；②两个菱形；③两个长方形；④两个正六边形，请指出其中哪几对是
相似图形
．
8．在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原图中的2cm 变成了6cm，这次复印的放缩比例是
．
9．如图，在△ABC 中，DE∥BC，AD=2，AB=6，AE=3，则AC 的长为 ．
10．如图，在△ABC 中，若DE∥BC，
= ，DE=4cm，则BC 的长为 ．
11．如图，直线AD∥BE∥CF，BC= AC，DE=4，那么EF 的值是 ．
12．如图，在△ABC 中，∠BAC=30°，AB=AC，AD 是BC 边上的中线，∠ACE= ∠BAC，CE 交AB 于点E，交AD 于点
F．若BC=2，则EF 的长为
．
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三、解答题
13. 如图，直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3，已知EF：DF=5：8，
AC=24．
（1）求AB 的长；
（2）当AD=4，BE=1 时，求CF 的长．
14．请将图中的相似图形的序号写出来
．
15．己知：如图，在菱形ABCD 中，点E、F 分别在边BC、CD，∠BAF=∠DAE，AE 与BD 交于点G．
（1）求证：BE=DF；
（2）当
=
时，求证：四边形BEFG 是平行四边形．
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【答案与解析】
一、选择题
1．【答案】D；
【解析】解：A、正方形与矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意；
B、正方形与菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；
C、菱形与菱形，对应边比值相等，但是对应角不一定相等，故不符合题意；
D、正五边形与正五边形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故符合题意．
故选：D．
2.【答案】D.
【解析】解：根据AB∥CD∥EF 得到：
．
3.【答案】C；
【解析】解：作FG⊥AB 于点G，
∵∠DAB=90°，
∴AE∥FG，
∴
=
，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
又∵BE 是∠ABC 的平分线，
∴FG=FC，
在Rt△BGF 和Rt△BCF 中，
∴Rt△BGF≌Rt△BCF（HL），
∴CB=GB，
∵AC=BC，
∴∠CBA=45°，
∴AB=
BC，
∴
=
=
=
=
+1．
故选：C．
4.【答案】C；
【解析】解：设AC 交BD 于O，
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∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OD=OB= BD=3，
当P 在OB 上时，
∵EF∥AC，
∴
=
=
，
∴= ，
∴y= x，
当P 在OD 上时，
同法可得：
=
=
，
∴
= ，
∴y=﹣x+8，
∵两种情况都是一次函数，图象是直线．
故选C．
5.【答案】D；
【解析】解：∵AD=1，BD=2，
∴
= ，
只有当
= 时，DE∥BC，
理由是：∵
=
= ，∠A=∠A，
∴△ADE≌△ABC，
∴∠ADE=∠B，
∴DE∥BC，
而其它选项都不能推出∠ADE=∠B 或∠AED=∠C，即不能推出DE∥BC，
即选项A、B、C 都错误，只有选项D 正确；
故选D.
6.【答案】C；
【解析】解：∵AB∥CD∥EF
∴
∵AC=3，CE=4
∴
= ．
故选C．
二、填空题
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7．【答案】①④；
【解析】解：①两个圆，所有元素都对应成比例，符合相似形的定义；
②两个菱形，边的比一定相等，而对应角不一定对应相等，故不是相似图形；
③两个长方形，对应角的度数一定相等，但对应边的比值不一定相等，故不是相似图形；
④两个正六边形，所有元素都对应成比例，符合相似形的定义．
∴①④是相似图形
8．【答案】1：3；
【解析】解：由题意可知，相似多边形的边长之比=相似比=2：6=1：3，
故答案为：1：3；
9．【答案】9；
【解析】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
=
，
∴=
，
∴AC=9，
故答案为：9．
10．【答案】12cm.
【解析】解：∵DE∥BC，
∴
=
，
又∵
= ，
∴
，
∴
= ，
∴BC=12cm．
故答案为12cm．
11．【答案】2.
【解析】解：∵BC= AC，
∴
= ，
∵AD∥BE∥CF，
∴
=
，
∵DE=4，
∴
=2，
∴EF=2．
故答案为：2．
12．【答案】
﹣1.
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【解析】解：过F 点作FG∥BC．
∵在△ABC 中，AB=AC，AD 是BC 边上的中线，
∴BD=CD= BC=1，∠BAD=∠CAD= ∠BAC=15°，AD⊥BC，
∵∠ACE= ∠BAC，
∴∠CAD=∠ACE=15°，
∴AF=CF，
∵∠ACD=（180°﹣30°）÷2=75°，
∴∠DCE=75°﹣15°=60°，
∵∠ACE= ∠BAC，
∴AF=CF.
在Rt△CDF 中， CF=2，DF=
=
，
∵FG∥BC，
∴GF：BD=AF：AD，即GF：1=2：（2+
），
解得GF=4﹣2
，
∴EF：EC=GF：BC，即EF：（EF+2）=（4﹣2
）：2，
解得EF=
﹣1．
故答案为：
﹣1．
三、解答题
13.【解析】（1）解：∵l1∥l2∥l3，EF：DF=5：8，AC=24，
∴
=
= ，
∴
= ，
∴BC=15，
∴AB=AC﹣BC=24﹣15=9．
（2）解：∵l1∥l2∥l3
∴
=
= ，
∴
= ，
∴OB=3，
∴OC=BC﹣OB=15﹣3=12，
∴
=
=
，
∴
= ，
∴CF=4．
14.【解析】
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解：通过观察可以发现：（1）和（3）的形状相同，是相似图形；（2）和（5）的形状相同，是相似图形；（4）和（7）
的形状相同，是相似图形；（8）和（9）的形状相同，是相似图形；（6）和（10）的形状相同，是相似图形．
故答案是：（1）和（3）．（2）和（5）．（4）和（7）．（8）和（9）．（6）和（10）．
15.【解析】
证明：（1）∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB=AD，∠ABC=∠ADF，
∵∠BAF=∠DAE，
∴∠BAF﹣∠EAF=∠DAE﹣∠EAF，
即：∠BAE=∠DAF，
∴△BAE≌△DAF
∴BE=DF；
（2）∵四边形ABCD 是菱形，
∴AD∥BC，
∴△ADG∽△EBG
∴
=
又∵BE=DF，
=
∴
=
=
∴GF∥BC （平行线分线段成比例）
∴∠DGF=∠DBC
∵BC=CD
∴∠BDC=∠DBC=∠DGF
∴GF=DF=BE
∵GF∥BC，GF=BE
∴四边形BEFG 是平行四边形
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