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让更多的孩子得到更好的教育
《旋转》全章复习与巩固--知识讲解（基础）
责编：康红梅
【学习目标】
1、 通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋
转中心连线所成的角彼此相等的性质；
2、通过具体实例认识中心对称，探索它的基本性质，理解对应点所连线段被对称中心平分的性质，
了解平行四边形、圆是中心对称图形；
3、 能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，欣赏旋转在现实生活中的应用；
4、探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平移和旋转的组合
进行图案设计．
【知识网络】
【要点梳理】要点一、旋转
1. 旋转的概念：把一个图形绕着某一点O 转动一个角度的图形变换叫做旋转..点O 叫做旋转中心，
转动的角叫做旋转角(如∠AO A′),如果图形上的点A 经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做
这个旋转的对应点.
要点诠释：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.
2.旋转的性质: (1)对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）；
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
(3)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△
).
要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.
3. 旋转的作图: 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键
沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．
要点诠释：
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作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；
(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；
(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；
(4)连接所得到的各对应点.
要点二、特殊的旋转—中心对称
1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两
个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心
的对称点．
要点诠释：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；
（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图
形重合 (全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) .
2.中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，
那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
要点诠释：(1)中心对称图形指的是一个图形；
（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.
要点三、平移、轴对称、旋转
平移、轴对称、旋转之间的对比
平移
轴对称
旋转
相同点
都是全等变换（合同变换），即变换前后的图形全等．
不
同
点
定
义
把一个图形沿某一方向
移动一定距离的图形变
换．
把一个图形沿着某一条直
线折叠的图形变换．
把一个图形绕着某一定
点转动一个角度的图形
变换．
图
形
要
素
平移方向
平移距离
对称轴
旋转中心、旋转方向、旋
转角度
性
质
连接各组对应点的线段
平行（或共线）且相等．
任意一对对应点所连线段
被对称轴垂直平分．
对应点到旋转中心的距
离相等；对应点与旋转中
心所连线段的夹角都等
于旋转角．
对应线段平行（或共线）
且相等．
任意一对对应点所连线段
被对称轴垂直平分．
*对应点到旋转中心的距
离相等；对应点与旋转中
心所连线段的夹角等于
旋转角， 即：对应点与旋
转中心连线所成的角彼
此相等．
【典型例题】
类型一、旋转
1.数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，问：它绕着圆心O 旋转多少度后和它自身
重合？甲同学说：45°；乙同学说：60°；丙同学说：90°；丁同学说：135°. 以上四位同学的回答
中，错误的是（ ）.
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A．甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【答案】B.
【解析】因为圆被平分为8 部分,所以旋转45°,90°,135°均能与原图形重合.
【总结升华】同一图形的旋转角可以是多个.
举一反三：
【变式】以图1 的边缘所在直线为轴将该图案向右翻折180°后，再按顺时针方向旋转180°，所得
到图形是（ ）.
【答案】A.
类型二、中心对称
2. 如图，△A′B′C′是△ABC 旋转后得到的图形，请确定旋转中心、旋转角.
【答案与解析】∵对应点到旋转中心的距离相等，即OA=OA′
∴O 点在AA′的垂直平分线上
同理O 点也在BB′的垂直平分线上
∴两条垂直平分线的交点O 就是旋转中心，∠AOA′的度数就是旋转角．
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【总结升华】中心对称的对应点到对称中心的距离相等，所以对称中心在对应点的垂直平分线上.
举一反三：
【变式】下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）.
A ．
B． C． D．
【答案】A.
类型三、平移、轴对称、旋转
3. （2015•裕华区模拟）如图，点O 是等边△ABC 内一点，∠AOB=110°，∠BOC=a．将△BOC 绕点C
按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．
（1）求证：△COD 是等边三角形；
（2）当a=150°时，试判断△AOD 的形状，并说明理由；
（3）探究：当a 为多少度时，△AOD 是等腰三角形？
【思路点拨】（1）根据旋转的性质可得出OC=OD，结合题意即可证得结论；
（2）结合（1）的结论可作出判断；
（3）找到变化中的不变量，然后利用旋转及全等的性质即可做出解答．
【答案与解析】（1）证明：∵将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC，
CO=CD
∴
，∠OCD=60°，
COD
∴△
是等边三角形．
（2）解：当α=150°时，△AOD 是直角三角形．
理由是：∵将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC，
BOC
ADC
∴△
△
≌
，
ADC= BOC=150°
∴∠
∠
，
又∵△COD 是等边三角形，
ODC=60°
∴∠
，
ADO= ADC
ODC=90°
∴∠
∠
∠
﹣
，
α=150° AOB=110°
∠
∠
∵
，∠COD=60°，
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AOD=360°
α
AOB
COD=360°
150°
110°
60°=40°
∴∠
∠
∠
∠
﹣
﹣
﹣
﹣
﹣
﹣
，
AOD
∴△
不是等腰直角三角形，即△AOD 是直角三角形．
（3）解：①要使AO=AD，需∠AOD= ADO
∠
，
AOD=360°
110°
60°
α=190°
α
∵∠
﹣
﹣
﹣
﹣，∠ADO=α
60°
﹣
，
190°
α=α
60°
∴
﹣
﹣
，
α=125°
∴
；
②要使OA=OD，需∠OAD= ADO
∠
．
OAD=180°
∵∠
﹣（∠AOD+ ADO
∠
）=180°﹣（190°
α+α
60°
﹣
﹣
）=50°，
α
60°=50°
∴﹣
，
α=110°
∴
；
③要使OD=AD，需∠OAD= AOD
∠
．
OAD=360°
110°
60°
α=190°
α
∵∠
﹣
﹣
﹣
﹣，
AOD=
∠
=120°﹣
，
190°
α=120°
∴
﹣
﹣
，
解得α=140°．
综上所述：当α 的度数为125°或110°或140°时，△AOD 是等腰三角形．
【总结升华】本题以“空间与图形”中的核心知识（如等边三角形的性质、全等三角形的性质与证明等）为
载体，内容由浅入深，层层递进．试题中几何演绎推理的难度适宜，蕴含着丰富的思想方法（如运动变化、
数形结合、分类讨论、方程思想等），能较好地考查学生的推理、探究及解决问题的能力．
举一反三：
【高清课堂: 旋转 高清ID 号388636 关联的位置名称：经典例题1】
【变式】 已知D 是等边△ABC 外一点,∠BDC=120º.求证：AD=BD+DC.
【答案】∵△ABC 为等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°.
将△ABD 绕点A 逆时针旋转60°，得到△EAC，
∴△DAB≌△EAC,即∠ABD=∠ACE,
∵四边形ABCD 中,∠BDC=120º, ∠BAC=60°,
∴∠DBA+∠DCA=180°,
即∠ACE+∠DCA=180°,点D,C,E 三点共线.
∴BD+DC=CE+DC=DE.
又∵∠DBE=60°.
∴△ADE 是等边三角形,
即DE=AD.
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∴BD+DC=AD.
4． 如图，在四边形ABCD 中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD=CD. 求证：BD2=AB2+BC2.
【思路点拨】利用AD=CD 可以将△BCD 绕点D 逆时针 旋转60°，从而把条件集中到一个三角形中.
【答案与解析】
证明：∵AD=CD，∠ADC=60°，
∴△BCD 绕点D 逆时针旋转60°，得到△EAD，
∴∠BDE=∠CDA=60°，△BCD≌△EAD．
∴BC=AE， BD=DE，∠DAE=∠DCB,
∴△BDE 为等边三角形．
∴BE=BD．
∵在四边形ABCD 中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，
∴∠DCB+∠DAB=270°，即∠DAE+∠DAB=270°．
∴∠BAE=90°．
∵在Rt△BAE 中，
，
∴
．
【总结升华】由求证可知应该建立一个直角三角形，再由已知知道有30°，60°的角，有等线段，可
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以构想通过旋转构建直角三角形.
【高清课堂:旋转 高清ID 号： 388636 ，关联的位置名称：经典例题2-3】
5 、（2016•西宁）如图，已知正方形ABCD 的边长为3，E、F 分别是AB、BC 边上的点，且
∠EDF=45°，将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM．若AE=1，则FM 的长为
．
【思路点拨】
由旋转可得DE=DM，∠EDM 为直角，可得出∠EDF+∠MDF=90°，由∠EDF=45°，得到∠MDF 为45°，可
得出∠EDF=∠MDF，再由DF=DF，利用SAS 可得出三角形DEF 与三角形MDF 全等，由全等三角形的对
应边相等可得出EF=MF；则可得到AE=CM=1，正方形的边长为3，用AB
AE
﹣
求出EB 的长，再由
BC+CM 求出BM 的长，设EF=MF=x，可得出BF=BM
FM=BM
EF=4
x
﹣
﹣
﹣，在直角三角形BEF 中，利用
勾股定理列出关于x 的方程，求出方程的解得到x 的值，即为FM 的长．
【答案与解析】
解：∵△DAE 逆时针旋转90°得到△DCM，
∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，
∴F、C、M 三点共线，
∴DE=DM，∠EDM=90°，
∴∠EDF+∠FDM=90°，
∵∠EDF=45°，
∴∠FDM=∠EDF=45°，
在△DEF 和△DMF 中，
，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF=MF，
设EF=MF=x，
∵AE=CM=1，且BC=3，
∴BM=BC+CM=3+1=4，
∴BF=BM
MF=BM
EF=4
x
﹣
﹣
﹣，
∵EB=AB
AE=3
1=2
﹣
﹣
，
在Rt△EBF 中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2，
即22+（4
x
﹣）2=x2，
解得：x=
，
∴FM=
．
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故答案为：
．
【总结升华】此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理．此题难
度适中，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
举一反三：
【变式】（2015•沈阳）如图，正方形ABCD 绕点B 逆时针旋转30°后得到正方形BEFG，EF 与AD 相交于点
H，延长DA 交GF 于点K．若正方形ABCD 边长为
，求AK 的长？
【答案与解析】
解：连接BH，如图所示：
∵四边形ABCD 和四边形BEFG 是正方形，
BAH= ABC= BEH= F=90°
∴∠
∠
∠
∠
，
由旋转的性质得：AB=EB，∠CBE=30°，
ABE=60°
∴∠
，
在Rt
ABH
△
和Rt
EBH
△
中，
，
Rt
ABH
Rt
EBH
∴
△
△
△
≌
（HL），
ABH= EBH=
∴∠
∠
ABE=30°
∠
，AH=EH，
AH=
∴
×
=1，
EH=1
∴
，
FH=
∴
1
﹣，
在Rt
FKH
△
中，∠FKH=30°，
KH=2FH=2
∴
（
﹣1），
AK=KH
AH=2
∴
﹣
（
﹣1）﹣1=2
3
﹣；
故答案为：
.
6. 如图，已知△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC=900，E、F 是BC 边上点且∠EAF=45°.
求证：
．
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【思路点拨】通过求证可以猜测要证得直角三角形，所以可以考虑旋转.
【答案与解析】∵ △ABC 为等腰直角三角形且∠BAC=90°
∴ AB=AC，
将△CAF 绕点A 顺时针旋转90°，如图，得到
∴
∴
，
，
，
,
∴
,
连结
，则在
中，
,
∴
①,
又∵
,
∵
.
又∵
,
∴ 在
与
中,
.
∴
②,
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∴ 由①②得：
.
【总结升华】旋转性质：旋转前，后的图形全等.
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