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《轴对称图形》全章复习与巩固—知识讲解（提高）
责编：杜少波
【学习目标】
1. 认识轴对称、轴对称图形，理解轴对称的基本性质及它们的简单应用；
2. 了解线段、角的轴对称性，并掌握与其相关的性质；
3. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，并掌握它们的性质以及判定方法.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、轴对称
1.轴对称图形和轴对称
（1）轴对称图形
如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴
对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对
对应点所连线段的垂直平分线.
（2）轴对称
定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两
个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：
①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；
②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分
线；
③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在
对称轴上.
（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系
区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴
对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对
称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个
整体，那么它就是一个轴对称图形．
2.线段的垂直平分线
垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．
3.作轴对称图形
（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连
接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；
（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端
点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.
4.用坐标表示轴对称
点（x , y ）关于x 轴对称的点的坐标为（x ,－y ）；点（x , y ）关于y 轴对称的点的坐
标为（－x , y ）；点（x , y ）关于原点对称的点的坐标为（－x ,－y ）.
要点二、线段、角的轴对称性
1.线段的轴对称性
（1）线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.
（2）线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；
（3）线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两个端距离相等的点在线段的垂直平分
线
2.角的轴对称性
（1）角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴.
（2）角平分线上的点到角两边的距离相等.
（3）角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
要点三、等腰三角形
1.等腰三角形
（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.
（2）等腰三角形性质
①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；
②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三
线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.
（3）等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等
边”）.
2.等边三角形
（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.
（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.
（3）等边三角形的判定：
①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等的三角形是等边三角形；
③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.
3.直角三角形的性质定理：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
【典型例题】
类型一、轴对称的性质与应用
1、
（2016 秋•苏州期中）如图，由四个小正方形组成的田字格中，△ABC 的顶点都是小正
方形的顶点．在田字格上能画出与△ABC 成轴对称，且顶点都在小正方形顶点上的三角形的
个数共有 个.
【思路点拨】因为顶点都在小正方形上，故可以分别以大正方形的两条对角线AB、EF 及MN、CH
为对称轴进行寻找.
【答案与解析】分别以大正方形的两条对角线AB、EF 及MN、CH 为对称轴图形，则△ABM、
△ANB、△EHF、△EFC 都是符合题意的三角形，故答案为：4.
【总结升华】本题考查了轴对称的性质；确定对称轴然后找出成轴对称的三角形是解题的关
键．
举一反三：
【变式】如图，△ABC 的内部有一点P，且D，E，F 是P 分别以AB，BC，AC 为对称轴的对称点．若
△ABC 的内角∠A＝70°，∠B＝60°，∠C＝50°，则∠ADB＋∠BEC＋∠CFA＝（
）
A.180° B.270° C.360° D.480°
【答案】C；
解：连接AP，BP，CP，
∵D，E，F 是P 分别以AB，BC，AC 为对称轴的对称点
∴∠ADB＝∠APB，∠BEC＝∠BPC，∠CFA＝∠APC，
∴∠ADB＋∠BEC＋∠CFA＝∠APB＋∠BPC＋∠APC＝360°．
2、茅坪民族中学八（2）班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图中的AO，BO），AO 桌面上
摆满了桔子，OB 桌面上摆满了糖果，站在C 处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到C 处，
请你在下图帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？
【思路点拨】本题意思是在OA 上找一点D，在OB 上找一点E，使△CDE 的周长最小．如果设点C
关于OA 的对称点是M，关于OB 的对称点是N，当点D、E 在MN 上时，△CDE 的周长为
CD+DE+EC=MN，此时周长最小．
【答案与解析】
解：①分别作点C 关于OA、OB 的对称点是M、N，
②连接MN，分别交OA 于D，OB 于E．
则C→D→E→C 为所求的行走路线．
【总结升华】灵活运用对称性解决生活中的最短距离问题．
举一反三：
【变式】如图，在五边形ABCDE 中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC，AE＝DE，在BC，DE
上分别找一点M，N，使得△AMN 的周长最小时，则∠AMN＋∠ANM 的度数为（ ）．
A．1 00° B．110° C． 120° D． 130°
【答案】C；
提示：找A 点关于BC 的对称点
1A ，关于ED 的对称点
2
A ，连接
1
2
A A ，交BC 于M
点，ED 于N 点，此时△AMN 周长最小. ∠AMN＋∠ANM＝180°－∠MAN，而2∠BAM＝
∠AMN，2∠EAN＝∠ANM，∠BAM＋∠EAN＋∠MAN＝120°,所以∠AMN＋∠ANM＝120°.
3、如图，△ABC 关于平行于x 轴的一条直线对称，已知A 点坐标是（1，2），C 点坐标是
（1，－4），则这条平行于x 轴的直线是（ ）
A.直线x ＝－1 B.直线x ＝－3 C.直线y ＝－1 D.直线y ＝－3
【思路点拨】根据题意，可得A、C 的连线与该条直线垂直，且两点到此直线的距离相等，从而
可以解出该直线．
【答案】C；
【解析】
解：由题意可知，该条直线垂直平分线段AC
又A 点坐标是（1，2），C 点坐标是（1，－4）
∴AC＝6
∴点A，C 到该直线的距离都为3
即可得直线为y ＝－1
【总结升华】本题考查了坐标与图形的变化一一对称的性质与运用，解决此类题应认真观察
图形，由A 与C 的纵坐标求得对称轴．
举一反三：
【变式1】如图，若直线m 经过第二、四象限，且平分坐标轴的夹角，Rt△AOB 与Rt△A OB
关于直线m 对称，已知A（1，2），则点
'
A 的坐标为（ ）
A.（－1，2） B.（1，－2） C.（－1，－2） D.（－2，－1）
【答案】D；
提示：因为Rt△AOB 与Rt△A OB
关于直线m 对称，所以通过作图可知，A的坐
标是（－2，－1）．
【变式2】如图，ΔABC 中，点A 的坐标为（0，1），点C 的坐标为（4，3），点B 的坐标为
（3，1），如果要使ΔABD 与ΔABC 全等，求点D 的坐标．
【答案】
解：满足条件的点D 的坐标有3 个（4，－1）；（－1，－1）；（－1，3）.
类型二、等腰三角形的综合应用
4、如图①，△ABC 中．AB=AC，P 为底边BC 上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为
E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下：
如图①，连接AP．
∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，
∴
ABP
S△
= 1
2 AB•PE，
ACP
S△
= 1
2 AC•PF，
ABC
S△
= 1
2 AB•CH．
又∵
ABP
ACP
ABC
S
S
S
△
△
△
，
∴1
2 AB•PE+ 1
2 AC•PF= 1
2 AB•CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH．
（1）如图②，P 为BC 延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH 又有怎样的数量关系？请写
出你的猜想，并加以证明：
（2）填空：若∠A=30°，△ABC 的面积为49，点P 在直线BC 上，且P 到直线AC 的距离为PF，当
PF=3 时，则AB 边上的高CH=______.点P 到AB 边的距离PE=________.
【答案】7；4 或10；
【解析】
解：（1）如图②，PE=PF+CH．证明如下：
∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，
∴
ABP
S△
= 1
2 AB•PE，
ACP
S△
= 1
2 AC•PF，
ABC
S△
= 1
2 AB•CH，
∵
ABP
S△
=
ACP
S△
+
ABC
S△
，
∴1
2 AB•PE= 1
2 AC•PF+ 1
2 AB•CH，
又∵AB=AC，
∴PE=PF+CH；
（2）∵在△ACH 中，∠A=30°，
∴AC=2CH．
∵
ABC
S△
= 1
2 AB•CH，AB=AC，
∴1
2 ×2CH•CH=49，
∴CH=7．
分两种情况：
①P 为底边BC 上一点，如图①．
∵PE+PF=CH，
∴PE=CH-PF=7-3=4；
②P 为BC 延长线上的点时，如图②．
∵PE=PF+CH，
∴PE=3+7=10．
故答案为7；4 或10．
【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积，难度适中，运用面积证明可使问
题简便，（2）中分情况讨论是解题的关键．
举一反三：
【变式】如图，△ABC 是等腰三角形，D，E 分别是腰AB 及AC 延长线上的一点，且BD=CE，连接
DE 交底BC 于G．求证GD=GE．
【答案】证明：过E 作EF∥AB 交BC 延长线于F．
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵EF∥AB，
∴∠F=∠B，
∵∠ACB=∠FCE，
∴∠F=∠FCE，
∴CE=EF，
∵BD=CE，
∴BD=EF，
在△DBG 与△GEF 中，
，
∴△DGB≌△EGF（AAS），
∴GD=GE．
类型三、等边三角形的综合应用
5、已知，如图，∠1＝12°，∠2＝36°，∠3＝48°，∠4＝24°. 求
ADB
的度数．
【答案与解析】
解：将
ABD
△
沿AB 翻折，得到
ABE
△
，连结CE，
则
ABD
ABE
△
≌△
，
∴
,
,
BD
BE
ADB
AEB
∠1＝∠5＝12°.
∴
1
2
5
EBC
60°
∵
3
ABC
48°∴AB
AC
．
又∵∠2＝36°，
3
4
BCD
72°，
∴
,
BDC
BCD BD
BC
∴BE＝BC
∴
BCE
△
为等边三角形.
∴
.
BE
CE
又
,
AB
AC
AE
∴
垂直平分BC．
∴AE 平分
BEC
．
∴
1
2
AEB
BEC
30°
∴∠ADB＝30°
【总结升华】直接求
ADB
很难，那就想想能不能通过翻折或旋转构造一个与
ABD
△
全等
的三角形，从而使其换个位置，看看会不会容易求．
举一反三：
【变式】在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝80°，D 为形内一点，且∠DAB＝∠DBA＝10°，
求∠ACD 的度数.
【答案】
解：作D 关于BC 中垂线的对称点E，连结AE，EC，DE
∴△ABD≌△ACE
∴AD＝AE, ∠DAB＝∠EAC＝10°
∵∠BAC=80°，
∴∠DAE＝60°，△ADE 为等边三角形
∴∠AED＝60°
∵∠DAB＝∠DBA＝10°
∴AD＝BD＝DE＝EC
∴∠AEC＝160°，
∴∠DEC＝140°
∴∠DCE＝20°
∴∠ACD＝30°
6、如图所示，已知等边三角形ABC 中，点D，E，F 分别为边AB，AC，BC 的中点，M 为直线
BC 上一动点，△DMN 为等边三角形．
(1)如图(1)所示，当点M 在点B 左侧时，请你判断EN 与MF 有怎样的数量关系？点F 是
否在直线NE 上？
(2)如图(2)所示，当点M 在BC 上时，其他条件不变，(1)的结论中EN 与MF 的数量关系是
否仍然成立？若成立，请利用图(2)证明；若不成立，请说明理由．
【答案与解析】
解：(1)EN＝MF，点F 在直线NE 上．
证明：连接DF，DE，
∵ △ABC 是等边三角形，
∴ AB＝AC＝BC．
又∵ D，E，F 是△ABC 三边的中点，
∴ DE，DF，EF 为三角形的中位线．
∴ DE＝DF＝EF，∠FDE＝60°．
又∠MDN＋∠NDF＝∠MDF，∠NDF＋∠FDE＝∠NDE，
∵△DMN 为等边三角形，DM＝DN，∠MDN＝60°
∴ ∠MDF＝∠NDE．
在△DMF 和△DNE 中，
DF
DE
MDF
NDE
DM
DN
，
∴ △DMF≌△DNE，
∴ MF＝NE，∠DMF＝∠DNE.
∵∠DMF＋60°＝∠DNE＋∠MFN
∴∠MFN＝60°
∴FN∥AB，
又∵EF∥AB，
∴E、F、N 在同一直线上.
(2)成立．证明：连结DE，DF，EF，
∵ △ABC 是等边三角形，
∴ AB＝AC＝BC．
又∵ D，E，F 是△ABC 三边的中点，
∴ DE，DF，EF 为三角形的中位线．
∴ DE＝DF＝EF，∠FDE＝60°．
又∠MDF＋∠FDN＝60°，∠NDE＋∠FDN＝60°，
∴ ∠MDF＝∠NDE．
在△DMF 和△DNE 中，
DF
DE
MDF
NDE
DM
DN
，
∴ △DMF≌△DNE，
∴ MF＝NE．
【总结升华】此题综合应用了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定.全等是证
明线段相等的重要方法.（2）题的证明可以沿用（1）题的思路.
