文档文本内容
《生活中的轴对称》全章复习与巩固（基础）
【学习目标】
1.认识和欣赏身边的轴对称图形，增进学习数学的兴趣.
2.了解轴对称的概念，探索轴对称、轴对称图形的基本性质及它们的简单应用.
3.探索线段的垂直平分线、角平分线和等腰三角形的性质以及判定方法.
4.能按照要求，画出一些轴对称图形.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、轴对称
1.轴对称图形和轴对称
（1）轴对称图形
如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴
对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对
对应点所连线段的垂直平分线.
（2）轴对称
定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两
个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.
要求诠释：成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大
小相等，是全等形；
②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分
线；
③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在
对称轴上.
（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系
要点诠释: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图
形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形
沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成
一个整体，那么它就是一个轴对称图形．
2.线段的垂直平分线
线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反
过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
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要点诠释：
线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的
方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直
接或间接地为构造全等三角形创造条件.
三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接
圆的圆心——外心.
3.角平分线
角平分线性质是：角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等；反过来，在角的内部到
角两边的距离相等的点在角平分线上.
要点诠释：
前者的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；后者则是在结论中确定角被平分，
一定要注意着两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了.
要点二、作轴对称图形
1.作轴对称图形
（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连
接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；
（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端
点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.
要点三、等腰三角形
1.等腰三角形
（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.
如图所示，在△ABC 中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC 为腰，BC 为底边,∠A 是
顶角，∠B、∠C 是底角．
要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为
锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝
．
（2）等腰三角形性质
①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；
②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三
线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.
（3）等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等
边”）.
要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相
等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理．
2.等边三角形
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（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.
要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包
括等边三角形．
（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.
（3）等边三角形的判定：
①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等的三角形是等边三角形；
③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.
【典型例题】
类型一、轴对称的性质与应用
1、如图，由四个小正方形组成的田字格中，△ABC 的顶点都是小正方形的顶点．在田字
格上画与△ABC 成轴对称的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形
（不包含△ABC 本身）共有（ ）
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
【思路点拨】分别以正方形的对角线和田字格的十字线为对称轴，来找三角形.
【答案】C；
【解析】先把田字格图标上字母如图，确定对称轴找出符合条件的三角形，再计算个数．
△HEC 与△ABC 关于CD 对称；△FDB 与△ABC 关于BE 对称；△GED 与△ABC 关于HF 对
称；关于AG 对称的是它本身．所以共3 个．
【总结升华】本题考查了轴对称的性质；确定对称轴然后找出成轴对称的三角形是解题的关
键．
举一反三：
【变式】如图，△ABC 的内部有一点P，且D，E，F 是P 分别以AB，BC，AC 为对称轴的对称点．若
△ABC 的内角∠A＝70°，∠B＝60°，∠C＝50°，则∠ADB＋∠BEC＋∠CFA＝（
）
A.180° B.270° C.360° D.480°
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【答案】C；
解：连接AP，BP，CP，
∵D，E，F 是P 分别以AB，BC，AC 为对称轴的对称点
∴∠ADB＝∠APB，∠BEC＝∠BPC，∠CFA＝∠APC，
∴∠ADB＋∠BEC＋∠CFA＝∠APB＋∠BPC＋∠APC＝360°．
2、已知∠MON＝40°，P 为∠MON 内一定点，OM 上有一点A，ON 上有一点B，当△PAB 的周
长取最小值时，求∠APB 的度数.
【思路点拨】求周长最小，利用轴对称的性质，找到P 的对称点来确定A、B 的位置，角度的计
算，可以通过三角形内角和定理和等腰三角形的性质计算.
【答案与解析】
解：分别作P 关于OM、ON 的对称点
，
，连接
交OM 于A，ON 于B.则△PAB 为符合条件
的三角形.
∵∠MON＝40°
∴∠
＝140°.
∠
＝
∠PAB,∠
＝
∠PBA.
∴
(∠PAB＋∠PBA)＋∠APB＝140°
∴∠PAB＋∠PBA＋2∠APB＝280°
∵∠PAB＝∠
＋∠
, ∠PBA＝∠
＋∠
∴∠
＋∠
＋∠
＝180°
∴∠APB＝100°
【总结升华】将实际问题抽象或转化为几何模型，将周长的三条线段的和转化为一条线段，这
样取得周长的最小值.
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举一反三：
【变式】如图，在五边形ABCDE 中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC，AE＝DE，在BC，DE
上分别找一点M，N，使得△AMN 的周长最小时，则∠AMN＋∠ANM 的度数为（ ）．
A．1 00° B．110° C． 120° D． 130°
【答案】C；
提示：找A 点关于BC 的对称点
，关于ED 的对称点
，连接
，交BC 于M
点，ED 于N 点，此时△AMN 周长最小. ∠AMN＋∠ANM＝180°－∠MAN，而2∠BAM＝
∠AMN，2∠EAN＝∠ANM，∠BAM＋∠EAN＋∠MAN＝120°,所以∠AMN＋∠ANM＝120°.
类型二、线段垂直平分线性质
3、如图，在等腰△ABC 中，∠BAC=120°，DE 是AC 的垂直平分线，线段DE=1cm，求BD 的
长．
【思路点拨】连接AD，根据等腰三角形的两底角相等求出∠B=∠C=30°，再根据线段垂直平分
线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=CD，然后求出∠CAD=30°，再求出∠BAD=90°，然
后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出CD=2DE，BD=2AD，代入数据进行计算即可
得解．
【答案与解析】
解：连接AD，∵等腰△ABC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵DE 是AC 的垂直平分线，
∴AD=CD，
∴∠CAD=∠C=30°，
∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=120°﹣30°=90°，
在Rt△CDE 中，CD=2DE，
在Rt△ABD 中，BD=2AD，
∴BD=4DE，
∵DE=1cm，
∴BD 的长为4cm．
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故答案为：4cm．
【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一
半的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
举一反三
【变式】如图，在△ABC 中，∠A=50°，DE 是线段AB 的垂直平分线，E 为垂足，交AC 于点D，则
∠ABD=
_________
．
【答案】50°；
类型三、角平分线性质
4、已知：如图，CD⊥AB 于D，BE⊥AC 于E，BE、CD 相交于点O，且AO 平分∠BAC，
求证：OB=OC．
证明：∵AO 平分∠BAC，
∴OB=OC（角平分线上的点到角的两边距离相等）上述解答不正确，请你写出正确解答．
【思路点拨】由角平分线的性质可得OD=OE，然后证明△DOB≌△EOC，可得证OB=OC．
【答案与解析】
证明：∵AO 平分∠BAC，CD⊥AB，BE⊥AC，
∴OD=OE，
在△DOB 和△EOC 中，
∠DOB=∠EOC，OD=OE，∠ODB=∠OEC，
∴△DOB≌△EOC（ASA），
∴OB=OC．
【总结升华】此题主要考查角平分线的性质和全等三角形的判定和性质，注意点到直线的距
离是垂线段的长．
举一反三
【变式】如图，△ABC 中，AB=AC，AD 是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F 为垂足，对于结论：
①DE=DF；②BD=CD；③AD 上任一点到AB、AC 的距离相等；④AD 上任一点到B、C 的距离相等．
其中正确的是（ ）
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A．仅①② B．仅③④ C．仅①②③ D．①②③④
【答案】D；
类型四、等腰三角形的综合应用
5、（2012•牡丹江）如图①，△ABC 中．AB=AC，P 为底边BC 上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，
CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下：
如图①，连接AP．
∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，
∴
=
AB•PE，
=
AC•PF，
=
AB•CH．
又∵
，
∴
AB•PE+
AC•PF=
AB•CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH．
（1）如图②，P 为BC 延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH 又有怎样的数量关系？请写
出你的猜想，并加以证明：
（2）填空：若∠A=30°，△ABC 的面积为49，点P 在直线BC 上，且P 到直线AC 的距离为PF，当
PF=3 时，则AB 边上的高CH=______.点P 到AB 边的距离PE=________.
【答案】7；4 或10；
【解析】
解：（1）如图②，PE=PF+CH．证明如下：
∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，
∴
=
AB•PE，
=
AC•PF，
=
AB•CH，
∵
=
+
，
∴
AB•PE=
AC•PF+
AB•CH，
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又∵AB=AC，
∴PE=PF+CH；
（2）∵在△ACH 中，∠A=30°，
∴AC=2CH．
∵
=
AB•CH，AB=AC，
∴
×2CH•CH=49，
∴CH=7．
分两种情况：
①P 为底边BC 上一点，如图①．
∵PE+PF=CH，
∴PE=CH-PF=7-3=4；
②P 为BC 延长线上的点时，如图②．
∵PE=PF+CH，
∴PE=3+7=10．
故答案为7；4 或10．
【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积，难度适中，运用面积证明可使问
题简便，（2）中分情况讨论是解题的关键．
6、已知，如图，∠1＝12°，∠2＝36°，∠3＝48°，∠4＝24°. 求
的度数．
【答案与解析】
解：将
沿AB 翻折，得到
，连结CE，
则
，
∴
∠1＝∠5＝12°.
∴
60°
∵
48°∴
．
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A
C
D
1
2
3
B
5
E
又∵∠2＝36°，
72°，
∴
∴BE＝BC
∴
为等边三角形.
∴
又
垂直平分BC．
∴AE 平分
．
∴
30°
∴∠ADB＝30°
【总结升华】直接求
很难，那就想想能不能通过翻折或旋转构造一个与
全等
的三角形，从而使其换个位置，看看会不会容易求．
举一反三：
【变式】在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝80°，D 为形内一点，且∠DAB＝∠DBA＝10°，
求∠ACD 的度数.
【答案】
解：作D 关于BC 中垂线的对称点E，连结AE，EC，DE
∴△ABD≌△ACE
∴AD＝AE, ∠DAB＝∠EAC＝10°
∵∠BAC=80°，
∴∠DAE＝60°，△ADE 为等边三角形
∴∠AED＝60°
∵∠DAB＝∠DBA＝10°
∴AD＝BD＝DE＝EC
∴∠AEC＝160°，
∴∠DEC＝140°
∴∠DCE＝20°
∴∠ACD＝30°
类型五、等边三角形的综合应用
7、如图所示，已知等边三角形ABC 中，点D，E，F 分别为边AB，AC，BC 的中点，M 为直线
BC 上一动点，△DMN 为等边三角形．
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(1)如图(1)所示，当点M 在点B 左侧时，请你判断EN 与MF 有怎样的数量关系？点F 是
否在直线NE 上？
(2)如图(2)所示，当点M 在BC 上时，其他条件不变，(1)的结论中EN 与MF 的数量关系是
否仍然成立？若成立，请利用图(2)证明；若不成立，请说明理由．
【答案与解析】
解：(1)EN＝MF，点F 在直线NE 上．
证明：连接DF，DE，
∵ △ABC 是等边三角形，
∴ AB＝AC＝BC．
又∵ D，E，F 是△ABC 三边的中点，
∴ DE，DF，EF 为三角形的中位线．
∴ DE＝DF＝EF，∠FDE＝60°．
又∠MDN＋∠NDF＝∠MDF，∠NDF＋∠FDE＝∠NDE，
∵△DMN 为等边三角形，DM＝DN，∠MDN＝60°
∴ ∠MDF＝∠NDE．
在△DMF 和△DNE 中，
，
∴ △DMF≌△DNE，
∴ MF＝NE，∠DMF＝∠DNE.
∵∠DMF＋60°＝∠DNE＋∠MFN
∴∠MFN＝60°
∴FN∥AB，
又∵EF∥AB，
∴E、F、N 在同一直线上.
(2)成立．证明：连结DE，DF，EF，
∵ △ABC 是等边三角形，
∴ AB＝AC＝BC．
又∵ D，E，F 是△ABC 三边的中点，
∴ DE，DF，EF 为三角形的中位线．
∴ DE＝DF＝EF，∠FDE＝60°．
又∠MDF＋∠FDN＝60°，∠NDE＋∠FDN＝60°，
∴ ∠MDF＝∠NDE．
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在△DMF 和△DNE 中，
，
∴ △DMF≌△DNE，
∴ MF＝NE．
【总结升华】此题综合应用了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定.全等是证
明线段相等的重要方法.（2）题的证明可以沿用（1）题的思路.
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