文档文本内容
《特殊平行四边形》全章复习与巩固（提高）知识讲解
【学习目标】
1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系.
2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些
知识进行有关的证明和计算.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、平行四边形
1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
2．性质：（1）对边平行且相等；
（2）对角相等；邻角互补；
（3）对角线互相平分；
（4）中心对称图形.
3．面积：
高
底
平行四边形
S
4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．
边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；
对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形.
要点诠释：平行线的性质：
（1）平行线间的距离都相等；
（2）等底等高的平行四边形面积相等.
要点二、菱形
1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质；
（2）四条边相等；
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（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
（4）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积：
2
对角线
对角线
高＝
＝底
菱形
S
4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
（3）四边相等的四边形是菱形.
要点三、矩形
1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；
（2）四个角都是直角；
（3）对角线互相平分且相等；
（4）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积：
宽
＝长
矩形
S
４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形.
（2）对角线相等的平行四边形是矩形.
（3）有三个角是直角的四边形是矩形.
要点诠释：由矩形得直角三角形的性质：
（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
（2）直角三角形中，30 度角所对应的直角边等于斜边的一半．
要点四、正方形
1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.
2．性质：（1）对边平行；
（2）四个角都是直角；
（3）四条边都相等；
（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；
（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；
（6）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积：
边长×边长＝
×对角线×对角线
4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；
（2）一组邻边相等的矩形是正方形；
（3）对角线相等的菱形是正方形；
（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；
（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；
（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.
【典型例题】
类型一、平行四边形
1、已知，△ABC 中，∠BAC=45°，以AB 为腰以点B 为直角顶点在△ABC 外部作等腰直角
三角形ABD，以AC 为斜边在△ABC 外部作等腰直角三角形ACE，连结BE、DC，两条线段相交于
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点F，试猜想∠EFC 的度数并说明理由．
【答案与解析】
解法一：作DH//BE 交EA 延长线于H，连接CH
易证四边形BEHD 为平行四边形
CEH
EAB
CE=AE
CEH= EAB=90
HE=BD=AB
CEH
EAB
SAS
CH=BE=DH
CHE= ABE
CHD=90
EFC= CDH=45
在△
与△
中
△
△
（
）
，
解法二：作CG//BE交AB的延长线于G，连接DG，
∵△ABC 与△ACE 都是等腰直角三角形，
∴∠EAB=∠CAE+∠CAB=90°.
又∠AEC=90°，
∴AB∥CE.
∴四边形BECG 为平行四边形，
∴CE=GB，又AE=EC，
∴GB=AE.
在△BGD 与△AEB 中，
DB=AB，∠DBG=∠BAE=90°，GB=AE，
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∴△BGD≌△AEB( SAS) ，
∴∠GDB=∠ABE，BE=DG.
∵平行四边形BGCE,
∴∠ABE=∠AGC，BE=GC,
∴∠GDB =∠AGC, GC= DG.
∴∠DGC=∠DGA+∠AGC=∠DGA+∠GDB=90°.
于是
CDG
△
是等腰直角三角形，
所以
45
EFC
DCG
.
【总结升华】通过做平行线，构造平行四边形，再证明全等，使问题得解．
类型二、菱形
2、如图，平行四边形ABCD 中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝
．对角线AC，BD 相交于点O，将
直线AC 绕点O 顺时针旋转，分别交BC，AD 于点E，F.
（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF 是平行四边形；
（2）试说明在旋转过程中，线段AF 与EC 总保持相等；
（3）在旋转过程中，四边形BEDF 可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明
理由并求出此时AC 绕点O 顺时针旋转的度数．
【思路点拨】（1）当旋转角为90°时，∠AOF=90°，由AB⊥AC，可得AB∥EF，即可证明四边形
ABEF 为平行四边形；（2）证明△AOF≌△COE 即可；（3）当EF⊥BD 时，四边形BEDF 为菱形，又
由AB⊥AC，AB=1，BC=
，易求得OA=AB，即可得∠AOB=45°，求得∠AOF=45°，则可得此时
AC 绕点O 顺时针旋转的最小度数为45°．
【答案与解析】
（1）证明：当∠AOF＝90°时，AB∥EF，
又AF∥BE，
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∴四边形ABEF 为平行四边形．
（2）证明：四边形ABCD 为平行四边形，
∴AO＝CO，∠FAO＝∠ECO，∠AOF＝∠COE.
∴△AOF≌△COE
∴AF＝CE
（3）四边形BEDF 可以是菱形．
理由：如图，连接BF，DE，
由（2）知△AOF≌△COE，得OE＝OF，
∴EF 与BD 互相平分．
∴当EF⊥BD 时，四边形BEDF 为菱形．
在Rt△ABC 中，
5 1
2
AC
，
∴OA＝1＝AB，又AB⊥AC，∴∠AOB＝45°，
∴∠AOF＝45°，
∴AC 绕点O 顺时针旋转45°时，四边形BEDF 为菱形．
【总结升华】要证明四边形是菱形，先证明这个四边形是平行四边形，再利用对角线互相垂直
的特征证明该平行四边形是菱形.
举一反三：
【变式】已知:如图所示，BD 是△ABC 的角平分线，EF 是BD 的垂直平分线，且交AB 于E，交BC
于点F.求证:四边形BFDE 是菱形.
【答案】
证明：∵EF 是BD 的垂直平分线，
∴EB=ED，∠EBD=∠EDB.
又∵∠EBD= ∠FBD，
∴∠FBD=∠EDB，ED∥BF. 同理，DF∥BE，
∴四边形BFDE 是平行四边形.
又∵EB=ED，
∴四边形BFDE 是菱形.
3、在口ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点O，BD=2AB，点E、F 分别是OA、BC 的中点．连接
BE、EF．
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（1）求证：EF=BF；
（2）在上述条件下，若AC=BD，G 是BD 上一点，且BG：GD=3：1，连接EG、FG，试判断四边形EBFG
的形状，并证明你的结论．
【思路点拨】
（1）根据平行四边形性质推出BD=2BO，推出AB=BO，根据三线合一定理得出BE⊥AC，在△BEC
中，根据直角三角形斜边上中线性质求出EF=BF=CF 即可；
（2）根据矩形性质和已知求出G 为OD 中点，根据三角形中位线求出EG∥AD，EG=
BC，求出
EG∥BC，EG=
BC，求出BF=EG，BF∥EG，EG=GF，得出平行四边形，根据菱形的判定推出即可．
【答案与解析】
（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴BD=2BO，
∵BD=2AB，
∴AB=BO，
∵E 为OA 中点，
∴BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∵F 为BC 中点，
∴EF=BF=CF，
即EF=BF；
（2）四边形EBFG 是菱形，
证明：连接CG，
∵四边形ABCD 是平行四边形，AC=BD，
∴四边形ABCD 是矩形，
∴AD=BC，AB=CD，AD∥BC，BD=2BO=2OD，
∴BD=2AB=2CD，
∴OC=CD，
∵BG：GD=3：1，OB=OD，
∴G 为OD 中点，
∴CG⊥OD（三线合一定理），
即∠CGB=90°，
∵F 为BC 中点，
∴GF=
BC=
AD，
∵E 为OA 中点，G 为OD 中点，
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∴EG∥AD，EG=
AD，
∴EG∥BC，EG=
BC，
∵F 为BC 中点，
∴BF=
BC，EG=GF，
即EG∥BF，EG=BF，
∴四边形EBFG 是平行四边形，
∵EG=GF，
∴平行四边形EBFG 是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）．
【总结升华】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形性质，菱形性质，三角形的中位线，直
角三角形斜边上中线性质，等腰三角形的性质等知识点，主要考查学生综合运用定理进行推
理的能力，注意：直角三角形斜边上中线等于斜边的一半．
类型三、矩形
4、如图，O 是矩形ABCD 的对角线的交点，E、F、G、H 分别是OA、OB、OC、OD 上的点，且AE
＝BF＝CG＝DH．
（1）求证：四边形EFGH 是矩形；
（2）若E、F、G、H 分别是OA、OB、OC、OD 的中点，且DG⊥AC，OF＝2
，求矩形ABCD 的面积．
【答案与解析】
（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，
∴OA＝0B＝OC＝OD，
∵AE＝BF＝CG＝DH，
∴AO－AE＝OB－BF＝CO－CG＝DO－DH，
即：OE＝OF＝OG＝OH，
∴四边形EFGH 是矩形；
（2）解：∵G 是OC 的中点，
∴GO＝GC，
∵DG⊥AC，
∴∠DGO＝∠DGC＝90°，
又∵DG＝DG，
∴△DGC≌△DGO，
∴CD＝OD，
∵F 是BO 中点，OF＝2
，
∴BO＝4
，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴DO＝BO＝4
，
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∴DC＝4
，DB＝8
，
∴CB＝
，
∴矩形ABCD 的面积＝4×
．
【总结升华】本题主要考查矩形的判定，首先要判定四边形是平行四边形，然后证明对角线相
等．
举一反三：
【变式】如图，O 为△ABC 内一点，把AB、OB、OC、AC 的中点D、E、F、G 依次连接形成四边形
DEFG．
（1）四边形DEFG 是什么四边形，请说明理由；
（2）若四边形DEFG 是矩形，点0 所在位置应满足什么条件？说明理由．
【答案】
解：（1）四边形DEFG 是平行四边形．理由如下：
∵D、G 分别是AB、AC 的中点，
∴DG 是△ABC 的中位线；
∴DG∥BC，且DG＝
BC；
同理可证：EF∥BC，且EF＝
BC；
∴DG∥EF，且DG＝EF；
故四边形DEFG 是平行四边形；
（2）O 在BC 边的高上且A 和垂足除外．理由如下：
连接OA；
同（1）可证：DE∥OA∥FG；
∵四边形DEFG 是矩形，
∴DG⊥DE；
∴OA⊥BC；
即O 点在BC 边的高上且A 和垂足除外．
5、在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，BC=4．过点A 作AE⊥AB 且AB=AE，过点E 分别作EF⊥AC，
ED⊥BC，分别交AC 和BC 的延长线与点F，D．若FC=5，求四边形ABDE 的周长．
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【思路点拨】首先证明△ABC≌△EAF，即可得出BC=AF，AC=EF，再利用勾股定理得出AB 的长，
进而得出四边形EFCD 是矩形，求出四边形ABDE 的周长即可．
【答案与解析】
解：∵∠ACB=90°，AE⊥AB，
∴∠1+∠B=∠1+∠2=90°．
∴∠B=∠2．
∵EF⊥AC，
∴∠4=∠5=90°．
∴∠3=∠4．
在△ABC 和△EAF 中，
∵
，，
∴△ABC≌△EAF（AAS）．
∴BC=AF，AC=EF．
∵BC=4，
∴AF=4．
∵FC=5，
∴AC=EF=9．
在Rt△ABC 中，AB=
.
∴AE=
．
∵ED⊥BC，
∴∠7=∠6=∠5=90°．
∴四边形EFCD 是矩形．
∴CD=EF=9，ED=FC=5．
∴四边形ABDE 的周长=AB+BD+DE+EA=
+4+9+5+
=18+2
．
【总结升华】此题主要考查了全等三角形的判定以及矩形的判定与性质和勾股定理等知识，
根据已知得出AC=EF=9 是解题关键．
举一反三：
【变式】如图所示，在矩形ABCD 中，E，F 分别是边AB，CD 上的点，AE＝CF，连接EF，BF，
EF 与对角线AC 交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC.
（1）求证：OE＝OF；
（2）若BC＝2 3 ，求AB 的长.
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【答案】（1）证明:∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ AB∥CD.
∴ ∠OAE=∠OCF.
又∵ OA=OC, ∠AOE=∠COF.
∴ △AEO≌△CFO（ASA）.
∴ OE=OF.
（2）解:连接BO.∵ BE=BF，∴ △BEF 是等腰三角形.
又∵ OE=OF,∴ BO⊥EF,且∠EBO=∠FBO.∴ ∠BOF=90°.
∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ ∠BCF=90°.
又∵ ∠BEF=2∠BAC,∠BEF=∠BAC+∠EOA,
∴ ∠BAC=∠EOA.∴ AE=OE.
∵ AE=CF,OE=OF,∴ OF=CF.
又∵ BF=BF,∴ Rt△BOF≌Rt△BCF（HL）.
∴ ∠OBF=∠CBF.∴ ∠CBF=∠FBO=∠OBE.
∵ ∠ABC=90°,∴ ∠OBE=30°.∴ ∠BEO=60°.∴ ∠BAC=30°.
在Rt△BAC 中，∵ BC=2 3 ,∴ AC=2BC=4 错误: 引用源未找到.
AB=错误: 引用源未找到
点拨:证明线段相等的常用方法有以下几种：①等腰三角形中的等角对等边；②全等三角
形中的对应边相等；③线段垂直平分线的性质；④角平分线的性质；⑤勾股定理；⑥借助第
三条线段进行等量代换．
类型四、正方形
6、正方形ABCD 的边长为3，E、F 分别是AB、BC 边上的点，且∠EDF＝45°．将△DAE 绕点
D 逆时针旋转90°，得到△DCM．
（1）求证：EF＝FM；
（2）当AE＝1 时，求EF 的长．
【答案与解析】
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解：（1）证明：∵△DAE 逆时针旋转90°得到△DCM，
∴DE＝DM，∠EDM＝90°，
∴∠EDF＋∠FDM＝90°，
∵∠EDF＝45°，
∴∠FDM＝∠EDF＝45°，
在△DEF 和△DMF 中，
DE
DM
EDF
MDF
DF
DF
，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF＝MF；
（2）设EF＝MF＝
，
∵AE＝CM＝1，且BC＝3，
∴BM＝BC＋CM＝3＋1＝4，
∴BF＝BM－MF＝BM－EF＝4－
，
∵EB＝AB－AE＝3－1＝2，
在Rt△EBF 中，由勾股定理得EB2＋BF2＝EF2，
即
，
解得：
，则EF＝
．
【总结升华】此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定
理，利用了转化及方程的思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
举一反三：
【变式】如图（1），正方形ABCD 和正方形CEFG 有一公共顶点C，且B、C、E 在一直线上，连接
BG、DE．
（1）请你猜测BG、DE 的位置关系和数量关系？并说明理由．
（2）若正方形CEFG 绕C 点向顺时针方向旋转一个角度后，如图（2），BG 和DE 是否还存在
上述关系？若存在，试说明理由；若不存在，也请你给出理由．
【答案】
解：(1)BG＝DE，BG⊥DE；
理由是：延长BG 交DE 于点H，
因为BC＝DC，CG ＝CE，∠BCG＝∠DCE
所以△BCG≌△DCE，
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所以BG＝DE，∠GBC＝∠CDE．
由于∠CDE＋∠CED＝90°，
所以∠GBC＋∠DEC＝90°， 得∠BHE＝90°．
所以BG⊥DE.
(2)上述结论也存在．
理由：设BG 交DE 于H，BG 交DC 于K，
同理可证△BCG≌△DCE，
得BG＝ED，∠KBC＝∠KDH．
又因为∠KBC＋∠BKC＝90°，
可得∠DKH＋∠KDH＝90°，从而得∠KHD＝90°．
所以BG⊥DE.
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