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【巩固练习】
一、选择题
1. 如图，在直角梯形ABCD 中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P 为AB 边上一动点，
若△PAD 与△PBC 是相似三角形，则满足条件的点P 的个数是（ ）
A．
1 个
B．2 个 C．
3 个
D．4 个
2．（2014•黄浦区一模）在△ABC 中，D、E 分别是边AB、AC 上的点，下列条件中不能判定
△AED∽△ABC 是（ ）
A．∠ADE=∠C
B．∠AED=∠B C.
D.
3．如图，平行四边形ABCD 中，F 是CD 上一点，BF 交AD 的延长线于G，则图中的相似三角形对
数共有（ ）
A．
8 对 B．6 对 C．
4 对
D．2 对
4．下列五幅图均是由边长为1 的16 个小正方形组成的正方形网格，网格中的三角形的顶点
都在小正方形的顶点上，那么在下列右边四幅图中的三角形，与左图中的△ABC 相似的个数
有（ ）
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
5.如图，已知点P 是线段AB 的黄金分割点，且PA＞PB，若S1表示以PA 为边的正方形的面
积，S2表示长为AB、宽为PB 的矩形的面积，那么S1（ ）S2．
A.> B.= C.< D.无法确定
6.有以下命题：
①如果线段d 是线段a，b，c 的第四比例项，则有
．
②如果点C 是线段AB 的中点，那么AC 是AB、BC 的比例中项．
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③如果点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC＞BC，那么AC 是AB 与BC 的比例中项．
④如果点C 是线段AB 的黄金分割点，AC＞BC，且AB=2，则AC=-1．
其中正确的判断有（ ）.
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
二、填空题
7．如图，添加一个条件：
，使△ADE∽△ACB，（写出一个即可）
8．在△ABC 中，P 是AB 上的动点（P 异于A，B），过点P 的一条直线截△ABC，使截得的三角形
与△ABC 相似，我们不妨称这种直线为过点P 的△ABC 的相似线．如图，∠A=36°，AB=AC，当
点P 在AC 的垂直平分线上时，过点P 的△ABC 的相似线最多有 条．
9．如图，在矩形ABCD 中，AB=10，AD=4，点P 是边AB 上一点，若△APD 与△BPC 相似，则满足条
件的点P 有 个．
10．如图，点D、E、F 在△ABC 三边上，EF、DG 相交于点H，∠ABC=∠EFC=70°，∠ACB=60°，
∠DGB=50°，图中与△GFH 相似的三角形的个数是 ．
11．如图，正方形ABCD 的边长为2
，E 为AB 中点，MN=
，线段MN 的两端在CD、CD 上滑动，
当CM=
时，△AED 与以M、N、C 为顶点的三角形相似．
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12.如图所示，顶角A 为36°的第一个黄金三角形△ABC 的腰AB=1，底边与腰之比为K，三角
形△BCD 为第二个黄金三角形，依此类推，第2008 个黄金三角形的周长为____________．
三、解答题
13. 如图，点P 在平行四边形ABCD 的CD 边上，连接BP 并延长与AD 的延长线交于点Q．
（1）求证：△DQP∽△CBP；
（2）当△DQP≌△CBP，且AB=8 时，求DP 的长．
14.如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，且DB=DC=AC，已知∠ACE=108°，BC=2．
（1）求∠B 的度数；
（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比
（或者底边 长与腰长的比）等于黄金比
．
①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；
②求AD 的长；
③在直线AB 或BC 上是否存在点P（点A、B 除外），使△PDC 是黄金三角形？若存在，在备
用图中画出点P，简要说明画出点P 的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由．
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15.如图1，点C 将线段AB 分成两部分，如果
，那么称点C 为线段AB 的黄金分割
点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄
金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，
S2，如果
，那么称直线l 为该图形的黄金分割线．
（1）研究小组猜想：在△ABC 中，若点D 为AB 边上的黄金分割点（如图2），则直线CD 是△ABC
的黄金分割线．你认为对吗？为什么？
（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？
（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C 任作一条直线交AB 于点E，再过点D 作直线
DF∥CE，交AC 于点F，连接EF（如图3），则直线EF 也是△ABC 的黄金分割线．请你说明理由．
（4）如图4，点E 是平行四边形ABCD 的边AB 的黄金分割点，过点E 作EF∥AD，交DC 于点F，
显然直线EF 是平行四边形ABCD 的黄金分割线．请你画一条平行四边形ABCD 的黄金分割线，
使它不经过平行四边形ABCD 各边黄金分割点．
【答案与解析】
一、选择题
1．【答案】C；
【解析】∵AB⊥BC，
∴∠B=90°．
∵AD∥BC，
∴∠A=180°﹣∠B=90°，
∴∠PAD=∠PBC=90°．AB=8，AD=3，BC=4，
设AP 的长为x，则BP 长为8﹣x．
若AB 边上存在P 点，使△PAD 与△PBC 相似，那么分两种情况：
①若△APD∽△BPC，则AP：BP=AD：BC，即x：（8﹣x）=3：4，解得x=
；
②若△APD∽△BCP，则AP：BC=AD：BP，即x：4=3：（8﹣x），解得x=2 或x=6．
∴满足条件的点P 的个数是3 个，
故选：C．
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2.【答案】D;
【解析】A、有条件∠ADE=∠C，∠A=∠A 可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相
似证明△AED 和△ABC 相似；
B、有条件∠AED=∠B，∠A=∠A 可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似
证明△AED 和△ABC 相似；
C、根据两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似证
明△AED 和△ABC 相似；
D、不能证明△AED 和△ABC 相似；
故选：D．
3.【答案】C；
【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴△BEC∽△GEA，△ABE∽△CEF，△GDF∽△GAB，△DGF∽△BCF，
∴△GAB∽△BCF，
还有△ABC≌△CDA（是特殊相似），
∴共有6 对．
故选：C．
4.【答案】B；
【解析】观察可以发现AC=
，BC=2
，AB=
，故该三角形中必须有一条边与邻边的比
值为2，且为直角三角三角形，
第1 个图形中，有两边为2，4，且为直角三角三角形，
第2，3 图形中，两边不具备2 倍关系，不可能相似，
第4 个图形中，有两边为
，2
，且为直角三角三角形，
∴只有第1，4 个图形与左图中的△ABC 相似．
故选：B．
5．【答案】B．
【解析】根据黄金分割的概念得：
，
则
==1，即S1=S2．故选B．
6．【答案】B．
【解析】①、根据第四比例项的概念，显然正确；
②、如果点C 是线段AB 的中点，AB：AC=2，AC：BC=1，不成比例，错误；
③、根据黄金分割的概念，正确；
④、根据黄金分割的概念：AC=
，错误．故选B．
二、填空题
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7．【答案】∠ADE=∠ACB；
【解析】由题意得，∠A=∠A（公共角），
则可添加：∠ADE=∠ACB，利用两角法可判定△ADE∽△ACB．
故答案可为：∠ADE=∠ACB．
8．【答案】3；
【解析】当PD∥BC 时，△APD∽△ABC，
当PE∥AC 时，△BPE∽△BAC，
连接PC，
∵∠A=36°，AB=AC，点P 在AC 的垂直平分线上，
∴AP=PC，∠ABC=∠ACB=72°，
∴∠ACP=∠PAC=36°，
∴∠PCB=36°，
∴∠B=∠B，∠PCB=∠A，
∴△CPB∽△ACB，
故过点P 的△ABC 的相似线最多有3 条．
故答案为：3．
9．【答案】3；
【解析】设AP 为x，
∵AB=10，
∴PB=10﹣x，
①AD 和PB 是对应边时，
∵△APD 与△BPC 相似，
∴
=
，
即
= ，
整理得，x2﹣10x+16=0，
解得x1=2，x2=8，
②AD 和BC 是对应边时，
∵△APD 与△BPC 相似，
∴
=
，
即=
，
解得x=5，
所以，当AP=2、5、8 时，△APD 与△BPC 相似，
满足条件的点P 有3 个．
故答案为：3．
10．【答案】3;
【解析】①∵∠ABC=∠EFC=70°，
∴HF∥DB；
∴△GBD∽△△GFH；
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②∵在△BDG 中，∠B=∠EFC=70°，∠DGB=50°，则∠GDB=60°；
在△ABC 中，∠B=70°，∠ACB=60°，则∠A=50°；
∴△ABC∽△GFH．
③∵△DGB=∠A=∠FEC=50°，∠EFC 为公共角
∴△EFC∽△GFH；
综上所述，图中与△GFH 相似的三角形的个数是3．
故答案是：3．
11．【答案】1 或2;
【解析】如图，正方形ABCD 的边长为2
，E 为AB 中点，
∴AE= AD=
．
设CM 的长为x．
在Rt△MNC 中
∵MN=
，
∴NC=
，
①当Rt△AED∽Rt△CMN 时，
则
=
，
即
=
，
解得x=1 或x=﹣1（不合题意，舍去），
②当Rt△AED∽Rt△CNM 时，
则
=
，即
=
，
解得x=2 或﹣2（不合题意，舍去），
综上所述，当CM=1 或2 时，△AED 与以M，N，C 为顶点的三角形相似．
故答案为：1 或2．
12.【答案】K2007（K+2）.
【解析】第一个三角形的周长为K+2；
第二个三角形的周长K+K+K2=K（K+2）；
第三个周长为K2+K2+K3=K2（K+2）
…
所以第2008 个三角形的周长为K2007（K+2）.
三、解答题
13.【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AQ∥BC，
∴∠QDP=∠BCP，
又∠QPD=∠CPB，
∴△DQP∽△CBP；
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（2）解：∵△DQP≌△CBP，
∴DP=CP= CD，
∵AB=CD=8，
∴DP=4．
14.【解析】（1）∵BD=DC=AC．
则∠B=∠DCB，∠CDA=∠A．
设∠B=x，则∠DCB=x，∠CDA=∠A=2x．
又∠BOC=108°，
∴∠B+∠A=108°．
∴x+2x=108，x=36°．
∴∠B=36°；
（2）①有三个：△BDC，△ADC，△BAC．
∵DB=DC，∠B=36°，
∴△DBC 是黄金三角形，
（或∵CD=CA，∠ACD=180°-∠CDA-∠A=36°．
∴△CDA 是黄金三角形．
或∵∠ACE=108°，
∴∠ACB=72°．又∠A=2x=72°，
∴∠A=∠ACB．
∴BA=BC．
∴△BAC 是黄金三角形．
②△BAC 是黄金三角形，
∴
，
∵BC=2，∴AC=
．
∵BA=BC=2，BD=AC=
，
∴AD=BA-BD=2-（
）=3-
，
③存在，有三个符合条件的点P1、P2、P3．
ⅰ）以CD 为底边的黄金三角形：作CD 的垂直平分线分别交直线AB、BC 得到点P1、
P2．
ⅱ）以CD 为腰的黄金三角形：以点C 为圆心，CD 为半径作弧与BC 的交点为点 P3．
15.【解析】（1）直线CD 是△ABC 的黄金分割线．理由如下：
设△ABC 的边AB 上的高为h．
则S△ADC=
AD•h，S△BDC=
BD•h，S△ABC=
AB•h，
∴
=
，
=
．
又∵点D 为边AB 的黄金分割点，
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∴
=
，
∴
=
．
故直线CD 是△ABC 的黄金分割线．
（2）∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，
∴s1=s2=
s，即
，
故三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．
（3）∵DF∥CE，
∴△DFC 和△DFE 的公共边DF 上的高也相等，
∴S△DFC=S△DFE，
∴S△ADC=S△ADF+S△DFC=S△ADF+S△DFE=S△AEF，S△BDC=S 四边形BEFC．
又∵
=
，
∴
=
．
因此，直线EF 也是△ABC 的黄金分割线．
（4）画法不惟一，现提供两种画法；
画法一：如答图1，取EF 的中点G，再过点G 作一条直线分别交AB，DC 于M，N 点，则直线
MN 就是平行四边形ABCD 的黄金分割线．
画法二：如答图2，在DF 上取一点N，连接EN，再过点F 作FM∥NE 交AB 于点M，连接MN，
则直线MN 就是平行四边形ABCD 的黄金分割线．
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