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《相交线与平行线》全章复习与巩固（提高）知识讲解
【学习目标】
1．熟练掌握对顶角，余角，补角，邻补角及垂线的概念及性质，了解点到直线的距离与两平
行线间的距离的概念；
2. 区别平行线的判定与性质，并能灵活运用；
3. 了解尺规作图的概念，熟练掌握用尺规作角或线段的方法.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、两条直线的位置关系
1.同一平面内两条直线的位置关系：相交与平行.
要点诠释：
（1）只有一个公共点的两条直线叫做相交直线，这个公共点叫做交点.
（2）在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.平行用符号“∥”表示.
2.对顶角、补角、余角
（1）定义：
①由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角叫做对
顶角.
②如果两个角的和是180°，那么这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫做另一个角
的补角．类似地，如果两个角的和是90°，那么这两个角互为余角．简称互余，其中一个角叫做
另一个角的余角．
（2）性质：同角或等角的余角相等．同角或等角的补角相等．对顶角相等．
3.垂线
（1）垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就称这两条直线互相垂
直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．垂直用符号“⊥”表示，如下
图．
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（2）垂线的性质：
①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
②垂线段最短．
（3）点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
要点二、平行线的判定与性质
1．平行线的判定
判定方法1：同位角相等，两直线平行．
判定方法2：内错角相等，两直线平行．
判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．
要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：
（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行.
（2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）.
（3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.
（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
2．平行线的性质
性质1：两直线平行，同位角相等；
性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3：两直线平行，同旁内角互补.
要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：
（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．
（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．
3．两条平行线间的距离
如图，直线AB∥CD，EF⊥AB 于E，EF⊥CD 于F，则称线段EF 的长度为两平行线AB 与CD 间
的距离.
要点诠释：
（1）两条平行线之间的距离处处相等.
（2）初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种
距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,
点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是一条直线上的一
点到与之平行的另一直线的距离.
（3）如何理解 “垂线段”与 “距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是一
个量，它们之间不能等同.
要点三、用尺规作线段和角
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1.用尺规作线段
（1）用尺规作一条线段等于已知线段.
（2）用尺规作一条线段等于已知线段的倍数.
（3）用尺规作一条线段等于已知线段的和.
（4）用尺规作一条线段等于已知线段的差.
2.用尺规作角
（1）用尺规作一个角等于已知角.
（2）用尺规作一个角等于已知角的倍数.
（3）用尺规作一个角等于已知角的和.
（4）用尺规作一个角等于已知角的差.
【典型例题】
类型一、两条直线的位置关系
1. (1)如图（1）已知直线AB，CD 相交于点0．
(2)如图（2）已知直线AE，BD 相交于点C．
分别指出两图中哪些角是邻补角? 哪些角是对顶角?
【答案与解析】
解： (1)邻补角是∠DOA 与∠AOC，∠AOE 与∠EOB，∠BOC 与∠COA，∠COE 与∠DOE，∠DOA 与
∠DOB，∠DOB 与∠BOC；对顶角是∠AOD 与∠COB，∠AOC 与∠DOB.
(2)邻补角是∠ACB 与∠ACD，∠ECD 与∠DCA，∠DCE 与∠ECB，∠ECB 与∠ACB；对顶角是
∠ACB 与∠DCE，∠BCE 与∠ACD．
【总结升华】当需要写出的角较多时，写完后再计算一下个数，可以检验是否写全.
2.直线AB、CD 相交于点O，OE⊥AB 于点O，∠COE＝40°，求∠BOD 的度数.
【答案与解析】
解：分两种情况.
第一种：如图1，直线AB，CD 相交后，∠BOD 是锐角，
∵OE⊥AB, ∴∠AOE＝90°，即∠AOC+∠COE＝90°.
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∵∠COE＝40°, ∴∠AOC＝50°.
∵∠BOD＝∠AOC ∴∠BOD＝50°
第二种：如图2，直线AB、CD 相交后，∠BOD 是钝角，
∵OE⊥AB, ∴∠AOE＝90°.
∵∠COE＝40°,
∴∠AOC＝90°+40°＝130°，
∴∠BOD＝∠AOC＝130°.
【总计升华】本题属于无图题，首先应根据题意，画出图形，画图时要考虑两种情况：一种情况
为∠BOD 是锐角，第二种情况是∠BOD 是钝角.此外关于两条直线相交，应想到邻补角、对顶
角的定义及性质.
举一反三：
【变式】如图所示，O 是直线AB 上一点，射线OC、OD 在AB 的两侧，且∠AOC＝∠BOD，试
证明∠AOC 与∠BOD 是对顶角．
【答案】
证明：因为∠AOC+∠COB＝180°(平角定义)，
又因为∠AOC＝∠BOD(已知)，
所以∠BOD+∠COB＝180°，即∠COD＝180°．
所以C、O、D 三点在一条直线上(平角定义)，
即直线AB、CD 相交于点O，
所以∠AOC 与∠BOD 是对顶角(对顶角定义)．
提示：证三点共线的方法，通常采用证这三点组成的角为平角，即∠COD＝180°．
类型二、平行线的性质与判定
3.如图所示，AB∥CD，∠1＝∠B，∠2＝∠D，试说明BE⊥DE．
【思路点拨】这是初学几何时较为复杂的题目，通常是过“拐点”(拐角处的顶点)作平行线为
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辅助线，把一个大角分成两个角，分别与两个已知角建立起了联系．
【答案与解析】
解：过E 点作EF∥AB，
因为AB∥CD(已知)，
所以EF∥CD．
所以∠4＝∠D(两直线平行，内错角相等)．
又因为∠D＝∠2(已知)，
所以∠4＝∠2(等量代换)．
同理，由EF∥AB，∠1＝∠B，可得∠3＝∠1．
因为∠1+∠2+∠3+∠4＝180°(平角定义)，
所以∠1+∠2＝∠3+∠4＝90°，
即∠BED＝90°．故BE⊥DE．
【总结升华】解此题的关键是如何构造平行关系，即过哪一点作哪条直线的平行线，只有通过
适当的练习才能逐步达到熟练解题的目的．
举一反三：
【变式1】已知直线AB∥CD，当点E 在直线AB 与CD 之间时，有∠BED＝
∠ABE+∠CDE 成立；而当点E 在直线AB 与CD 之外时，下列关系式成立的是( ).
A．∠BED＝∠ABE+∠CDE 或∠BED＝∠ABE-∠CDE
B．∠BED＝∠ABE-∠CDE
C．∠BED＝∠CDE-∠ABE 或∠BED＝∠ABE-∠CDE
D．∠BED＝∠CDE-∠ABE
【答案】C （提示：过点E 作EF∥AB）
【变式2】如图，两直线AB、CD 平行，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝ .
【答案】900°
4.如图，已知CD∥EF，∠1＋∠2＝∠ABC，求证：AB∥GF.
【答案与解析】
证明：如图，过点C 做CK∥FG，并延长GF、CD 交于点H，
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∵ CD∥EF （已知），
∴ ∠CHG＝∠1(两直线平行，同位角相等）.
又∵ CK∥FG，
∴ ∠CHG＋∠2＋∠BCK＝180°（(两直线平行，同旁内角互补）.
∴ ∠1＋∠2＋∠BCK＝180°（等量代换）.
∵ ∠1＋∠2＝∠ABC（已知），
∴ ∠ABC＋∠BCK＝180°（等量代换）.
∴ CK∥AB（同旁内角互补，两直线平行）.
∴ AB∥GF（平行的传递性）.
【总结升华】反复应用平行线的判定与性质，见到角相等或互补，就应该想到判断直线是否平
行，见到直线平行就应联想到角相等或互补.
类型三、用尺规作线段和角
5. 已知：如图，AB//CD，BC//DE，∠B＝70°，
（1）求∠D 的度数.
（2）用尺规在图上作一个∠
，使∠
=∠D—∠B（不写作法，保留痕迹）.
【思路点拨】
（1）根据作一个角等于已知角的方法即可作出；
（2）根据平行线的性质即可求解．
【答案与解析】
解：（1）∵AB//CD，BC//DE，
∴ ∠C＝∠B＝70°，∠D＝180°－∠C＝180°－70°＝110°.
（2）作法如图：
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A
B
E
D
C
【总结升华】本题考查了基本作图：作一个角等于已知角的差，以及平行线的性质定理，正确
掌握基本作图是关键．
类型四、实际应用
6.手工制作课上，老师先将一张长方形纸片折叠成如图所示的那样，若折痕与一条边
BC 的夹角∠EFB＝30°，你能说出∠EGF 的度数吗？
【思路点拨】长方形的对边是平行的，所以AD∥BC，可得∠DEF＝∠EFG＝30°，又因为折后
重合部分相等，所以∠GEF＝∠DEF＝30°，所以∠DEG＝2∠DEF＝60°，又因为两直线平行，
同旁内角互补，所以∠EGC＝180°－∠DEG，问题可解.
【答案与解析】
解：因为AD∥BC（已知），
所以∠DEF＝∠EFG＝30°（两直线平行，内错角相等）.
因为∠GEF＝∠DEF＝30°（对折后重合部分相等），
所以∠DEG＝2∠DEF＝60°.
所以∠EGC＝180°－∠DEG＝180°－60°＝120°（两直线平行，同旁内角互补）.
【总结升华】本题利用了：
（1）折叠的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应
边和对应角相等；（2）平行线的性质．
举一反三：
【变式】（山东滨州）如图，把—个长方形纸片对折两次，然后剪下—个角．为了得到一个正方
形，剪刀与折痕所成的角的度数应为（ ）．
A．60° B．30° C．45° D．90°
【答案】C
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