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《有理数及其运算》全章复习与巩固（提高）
【学习目标】
1．理解有理数及其运算的意义，提高运算能力．
2．能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小；借助数轴理解相反数和绝对值
的意义，会求有理数的相反数与绝对值．
3．体会转化、归纳等思想；掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算并能解决简
单的实际问题．
4． 会用科学记数法表示数．
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、有理数的相关概念
1．有理数的分类：
（1）按定义分类： （2）按性质分类：
要点诠释：（1）用正数、负数表示相反意义的量；
（2）有理数“0”的作用：
作用
举例
表示数的性质
0 是自然数、是有理数
表示没有
3 个苹果用+3 表示，没有苹果用0 表示
表示某种状态
表示冰点
表示正数与负数的界点
0 非正非负，是一个中性数
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2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线．
要点诠释：
（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，
如
．
（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．
3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0 的相反数是0．
要点诠释：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两
点是关于原点对称的．
（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“
”号即可．
（3）多重符号的化简：数字前面“
”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，
若有奇数个时，化简结果为负．
4．绝对值：
（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是
0． 数a 的绝对值记作
．
（2)几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．
要点二、有理数的运算
1 ．法则：
（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号
两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数
同0 相加，仍得这个数．
（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ．
（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0 相乘，都
得0．
（4）除法法则：除以一个不等于0 的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·
(b≠0) ．
（5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次
幂都是正数，0 的任何非零次幂都是0．
(6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；
③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用：
（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，
－[+（－3）]=3．
（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中
积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．
（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为
偶数，则幂为正，例如：
，
．
2．运算律：
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（1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba；
（2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc)
（3）分配律：a(b+c)=ab+ac
要点三、有理数的大小比较
比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0 大于负
数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；
（5)倒数比较法．
要点四、科学记数法
把一个大于10 的数表示成
的形式（其中1≤
，是正整数），此种记法叫
做科学记数法．例如：200 000=
．
【典型例题】
类型一、有理数相关概念
1．已知x 与y 互为相反数，m 与n 互为倒数，|x+y |+（a-1）2＝0，求a2-(x+y+mn)a+
(x+y)2009+(-mn)2010的值．
【思路点拨】 (1)若有理数x 与y 互为相反数，则x+y＝0，反过来也成立．
(2)若有理数m 与n 互为倒数，则mn＝1，反过来也成立．
【答案与解析】
解：因为x 与y 互为相反数，m 与n 互为倒数，（a-1）2≥0，
所以x+y＝0，mn＝1，a＝1，
所以a2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010
＝a2-(0+1)a+02009+(-1)2010
＝a2-a+1．
∵a＝1，∴原式＝12-1+1＝1
【总结升华】要全面正确地理解倒数，绝对值，相反数等概念．
举一反三：
【变式1】选择题
（1）已知四种说法：
①|a|=a 时，a>0； |a|=-a 时， a<0． ②|a|就是a 与-a 中较大的数．
③|a|就是数轴上a 到原点的距离． ④对于任意有理数，-|a|≤a≤|a|．
其中说法正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（2）有四个说法：
①有最小的有理数 ②有绝对值最小的有理数
③有最小的正有理数 ④没有最大的负有理数
上述说法正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．②④ D．①②
（3）已知(-ab)3>0，则（ ）
A．ab<0 B．ab>0 C．a>0 且b<0 D．a<0 且b<0
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（4）若|x-1|+|y+3|+|z-5|=0，则(x+1)(y-3)(z+5)的值是（ ）
A．120 B．-15 C．0 D．-120
（5）下列各对算式中，结果相等的是（ ）
A．-a6与(-a)6 B．-a3与|-a|3 C．[(-a)2]3与(-a3)2 D．(ab)3与ab3
【答案】（1）C；（2）C；（3）A；（4）D；(5)C
【变式2】明明同学在“百度”搜索引擎输入“钓鱼岛最新消息”，能搜索到与之相关的结果
个数约为4680000，这个数用科学记数法表示为 ．
【答案】
．
2． 在下列两数之间填上适当的不等号：
________
．
【思路点拨】在a、b 均为正数的条件下，根据“
，
，
分别得到a＞b，a＝b，
a＜b”来比较两数的大小．
【答案】 ＞
【解析】解法一：作差法：
（
）
=
，
∴
．
解法二：作商法：由于
，所以
．
再根据两个负数，绝对值大的反而小，得到：
．
【总结升华】比较大小常用的有五种方法，要根据数的特征选择使用．
举一反三：
【变式】在下列两数之间填上适当的不等号．
_________
．
【答案】＞ （提示：倒数法较简便）
类型二、有理数的运算
3．(1)
(2)
(4)
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(5)
【答案与解析】
解：（1）原式
（2）原式
（3）原式
（4）原式
（5）
【总结升华】有理数的混合运算有很多技巧，如：正、负数分别相加；分数中，同分母或分母有
倍数关系的分数结合相加；除法转化为乘法、正向应用乘法分配律：a(b+c)＝ab+ac；逆向应
用分配律：ab+ac＝a(b+c)等．
举一反三：
【变式】
（1）
（2）
【答案】
解：（1）
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（2）
4．先观察下列各式：
；
；
；…；
，根据以上观察，计算：
…
的值．
【答案与解析】
解：原式
【总结升华】根据题中提供的拆项方法把每一项拆成
的形式，然后再进行计算．
举一反三：
【变式】用简单方法计算：
【答案】
解：原式=
类型三、数学思想在本章中的应用
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5．（1）数形结合思想：已知有理数a、b 在数轴上对应点的位置如图所示，且|a|＞|b|，
求|a|-|a+b|-|b-a|的值．
A．2b+a B．2b-a C．a D．b
（2）分类讨论思想：已知a 是任一有理数，试比较|a|与-2a 的大小．
（3）转化思想：
．
【答案与解析】
解：（1）从数轴上a、b 两点的位置可以看出a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，所以|a|-|a+b|-|b-a|
＝-a+a+b-b+a＝a．
（2）a 可能是正数，0 或负数，这就需要分类讨论：
当a＞0 时，|a|＝a＞0，-2a＜0，所以|a|＞-2a；
当a＝0 时，|a|＝0，-2a＝0，所以|a|＝-2a；
当a＜0 时，|a|＝-a>0，-2a＞0，又-a＜-2a，所以|a|＜-2a．
综上所述：当a≥0 时， |a|≥-2a；当a＜0 时，|a|＜-2a．
（3）
．
【总结升华】在解题中合理利用数学思想，是解决问题的有效手段．数形结合——“以形助
数”或“以数解形”使问题简单化，具体化；分类讨论中注意分类的两条原则：分类标准
要统一，而且分类要做到不重不漏；转化思想就是把“新知识”转化为“旧知识”，将
“未知”转化为“已知”．
类型四、规律探索
6．下面两个多位数1248624…，6248624…都是按照如下方法得到的：将第1 位数字乘
以2，若积为一位数，将其写在第2 位；若积为两位数，则将其个位数字写在第2 位．对第2 位
数字再进行如上操作得到第3 位数字……，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操
作得到的．当第1 位数字是3 时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100 位的所
有数字之和是( )．
A．495 B．497 C．501 D．503
【思路点拨】多位数1248624…是怎么来的？当第1 个数字是1 时，将第1 位数字乘以2 得2，
将2 写在第2 位上，再将第2 位数字2 乘以2 得4，将其写在第3 位上，将第3 位数字4 乘以2
的8，将8 写在第4 位上，将第4 位数字8 乘以2 得16，将16 的个位数字6 写在第5 位上，将
第5 位数字6 乘以2 得12，将12 的个位数字2 写在第6 位上，再将第6 位数字2 乘以2 得4，
将其写在第7 位上，以此类推．根据此方法可得到第一位是3 的多位数后再求和．
【答案】A
【解析】按照法则可以看出此数为362 486 248…，后面6248 循环，所以前100 位的所有数字
之和是3+(6+2+4+8)×24+6+2+4＝495，所以选A．
【总结升华】特例助思，探究规律，这类题主要是通过观察分析，从特殊到一般来总结发现规
律，并表示出来．
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举一反三：
【变式】世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示，则排在第10 行从左边数第3 个位置上的数
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B 提示：观察发现：分子总是1，第n 行的第一个数的分母就是n，第二个数的分母是
第一个数的（n-1）倍，第三个数的分母是第二个数的分母的
倍．根据图表的规律，则
第10 行从左边数第3 个位置上的数是
．
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